苏教版高中数学必修第二册章末综合测评+模块综合测评含答案

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章末综合测评(三)　解三角形
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，a＝k，b＝k(k>0)，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
A　[由正弦定理得＝，
所以sin B＝＝>1，即sin B>1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．]
2．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
A　[根据正弦定理，a∶b∶c＝si A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，
设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)．
则有cos C＝＝．]
3．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝(　　)
A．或 B．
C． D．
C　[由＝，得sin C＝．
∵BC＝3，AB＝，∴A>C，则C为锐角，故C＝．]
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为(　　)
A．6 B．12 C．4 D．2
A　[法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6．故选A．
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6．故选A．]
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
B　[由已知可得＝－，
即cos A＝，b＝ccos A．
法一：由余弦定理得cos A＝，则b＝c·，
所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．
法二：由正弦定理，得sin B＝sin Ccos A．
在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)，
从而有sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A，
即sin Acos C＝0．在△ABC中，sin A≠0，
所以cos C＝0，由此得C＝，
故△ABC为直角三角形．]
6．设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a＝2，B＝2A，则b的取值范围为(　　)
A．(2，2) B．(2，4)
C．(2，2) D．(0，4)
A　[∵在锐角三角形ABC中，B＝2A，
∴0<2A<，且B＋A＝3A，∴C＝π－3A．
∵0<π－3A<，
∴ ∵a＝2，B＝2A，
∴由正弦定理得＝＝2cos A，∴b＝4cos A，
∴2<4cos A<2，则b的取值范围为(2，2)．]
7．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为(　　)

A． B． C． D．
D　[设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a．
在△ABD中，由余弦定理，得
cos A＝＝＝．
又∵A为△ABC的内角，∴sin A＝．
在△ABC中，由正弦定理得，＝．
∴sin C＝·sin A＝·＝．]
8．启东中学天文台是启中校园的标志性建筑．小明同学为了估算学校天文台的高度，在学校宿舍楼AB，其高为(15－5)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则小明估算学校天文台的高度为(　　)

A．20 m B．30 m C．20 m D．30 m
B　[在直角三角形ABM中，AM＝，
在△ACM中，∠CAM＝30°＋15°＝45°，∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，
故∠ACM＝180°－45°－105°＝30°，
由正弦定理，＝，
故CM＝·AM＝×．
在直角三角形CDM中，
CD＝CMsin 60°＝×＝×＝30(m)．故选B．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分)
9．在△ABC中，b＝2，B＝45°，若这样的三角形有两个，则边a的取值可以为(　　)
A．2 B． C． D．2
BC　[由题意得⇒⇒2 10． 若△ABC中， AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的可能取值为(　　)
A．2 B． C．2 D．3
ABC　[设BC＝x，则AC＝x．根据三角形的面积公式，
得S△ABC＝·AB·BCsin B＝x． ①
根据余弦定理，得cos B＝＝＝． ②
将②代入①，得S△ABC＝x＝．
由三角形的三边关系，得解得2－2 故当x＝2时，S△ABC取得最大值2，故选A． 不选D；
当x＝1时，S△ABC＝，故选B；
当x＝2时，S△ABC＝2 ，故选C，应选ABC．]
11．在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－． 则(　　)
A．A＝ B．A＝
C．S△ABC＝6 D．S△ABC＝3
AC　[在△ABC中，因为cos B＝－，所以sin B＝＝．
由正弦定理得sin A＝＝．由题设知 在△ABC中，因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以S△ABC＝×7×8×＝6，故选AC．]
12．在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB＝－，则(　　)
A．sin∠CDB＝
B．△ABC的面积为8
C．△ABC的周长为8＋4
D．△ABC为钝角三角形
BCD　[因为cos∠CDB＝－，所以sin∠CDB＝＝，故A错误；
设CD＝a，则BC＝2a，在△BCD中，BC2＝CD2＋BD2－2BD·CD·cos∠CDB，解得a＝，所以S△DBC＝BD·CD·sin∠CDB＝×3××＝3，
所以S△ABC＝S△DBC＝8，故B正确；
因为∠ADC＝π－∠CDB，
所以cos∠ADC＝cos＝－cos∠CDB＝，
在△ADC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos∠ADC，解得AC＝2，
所以C△ABC＝AB＋AC＋BC＝＋2＋2＝8＋4，故C正确；
因为AB＝8为最大边，所以cos C＝＝－<0，即C为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故D正确． 故选BCD．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知△ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为________．
a2＋b2 ∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0，故a2＋b2 14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝________．
　[由3sin A＝5sin B，得3a＝5b．
因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，
所以cos C＝＝＝－．因为C∈(0，π)，所以C＝．]
15．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________．(本题第一空2分，第二空3分)
　　 [如图，在△ABD中，由正弦定理有：＝，而AB＝4，∠ADB＝，

AC＝＝5，sin∠BAC＝＝，cos∠BAC＝＝，所以BD＝．
cos∠ABD＝cos(∠BDC－∠BAC)＝coscos∠BAC＋sinsin∠BAC＝．]
16．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________．

80　[在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，
∴∠DAC＝15°，
由正弦定理，得AC＝＝＝40(＋)．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC＝30°，
由正弦定理，得＝，
BC＝＝
＝80××2
＝40(－)，
在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°
＝1 600(＋)2＋1 600(－)2－2×40(＋)×40(－)×＝32 000．
∴AB＝80．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a．
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B．
[解]　(1)由正弦定理得，sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A．
故sin B＝sin A，所以＝．
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，
得cos B＝．
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2．
可得cos2B＝，又cos B>0，
故cos B＝，所以B＝45°．
18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；
(2)若＝，求sin(B＋)的值．
[解]　(1)因为a＝3c，b＝，cos B＝，
由余弦定理cos B＝，
得＝，即c2＝．所以c＝．
(2)因为＝，
由正弦定理＝，得＝，所以cos B＝2sin B．
从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4，故cos2B＝．
因为sin B>0，所以cos B＝2sin B>0，从而cos B＝．
因此sin＝cos B＝．
19．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin A＋cos A＝2．
(1)求角A的大小；
(2)现给出三个条件：①a＝2；②B＝；③c＝b．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积．(写出一种方案即可)
[解]　(1)依题意得2sin＝2，
即sin＝1，
∵0 ∴A＝．
(2)方案一：选择①②
由正弦定理＝，得b＝＝2．
∵A＋B＋C＝π，
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
∴S＝absin C＝×2×2×＝＋1．
方案二：选择①③
由余弦定理b2＋c2－2bccos A＝a2，
即b2＋3b2－3b2＝4，解得b＝2，c＝2，
∴S＝bcsin A＝×2×2×＝．
说明：若选择②③，由c＝b得，sin C＝sin B＝>1不成立，这样的三角形不存在．
20．(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?
[解]　如图所示，

设∠ACD＝α，∠CDB＝β．
在△CBD中，由余弦定理得
cos β＝
＝＝－，
∴sin β＝．
而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝×＋×＝．
在△ACD中，＝，
∴AD＝＝15(千米)．
所以这人还要再走15千米可到达城A．
21．(本小题满分12分)已知△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，＝．
(1)求证：2a＝b＋c；
(2)若cos A＝，S△ABC＝6，求a的值．
[解]　(1)证明：∵＝，
∴2sin A－sin Acos B＝sin B＋sin Bcos A，
可得2sin A＝sin B＋sin Acos B＋sin Bcos A＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin C，
所以由正弦定理可得2a＝b＋c．
(2)∵cos A＝，A为三角形内角，
∴sin A＝＝．
又S△ABC＝6，
∴6＝bcsin A，
∴bc＝20，
由余弦定理可得cos A＝＝＝＝＝＝．
整理得a2＝24，解得a＝2(负值舍去)．
22．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中，△ABD中边BD所对的角为A，△BCD中边BD所对的角为C，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．

(1)试问cos A－cos C是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；
(2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，求出S＋S的最大值．
[解]　(1)在△ABD中，由余弦定理得
BD2＝4＋12－8cos A＝16－8cos A，
在△BCD中，由余弦定理得BD2＝4＋4－8cos C＝8－8cos C，
所以16－8cos A＝8－8cos C，
则8＝8，
所以cos A－cos C＝1，
所以cos A－cos C为定值1．
(2)S1＝×2×2sin A＝2sin A，
S2＝×2×2sin C＝2sin C，
则S＋S＝12sin2A＋4sin2C＝16－(12cos2A＋4cos2C)，
由(1)知：cos A＝1＋cos C，代入上式得
S＋S＝16－12cos2A－42＝－24cos2A＋8cos A＋12，
配方得S＋S＝－24＋14，
所以当cos A＝时，S＋S取到最大值14．