人教B版高中数学必修第四册章末综合测评+模块综合测评含答案

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章末综合测评(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的 (　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
B　[已知m，n，l两两相交，可以推出m，n，l在同一个平面，反之，已知m，n，l在一个平面，可以推出m，n，l两两相交，或者m∥n，l与m，n相交等多种情况，故“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件．]
2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是(　　)
A．3π B．3π C．6π D．9π
A　[根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π．]
3．如图所示，平面PAD⊥矩形ABCD，且PA⊥AB，下列结论中不正确的是(　　)

A．PD⊥BD
B．PD⊥CD
C．PB⊥BC
D．PA⊥BD
A　[若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，
又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确；
因为平面PAD⊥矩形ABCD，且PA⊥AB，所以PA⊥矩形ABCD，所以PA⊥CD，AD⊥CD，
所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD，
同理可证PB⊥BC．
因为PA⊥矩形ABCD，
所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD．故选A．]
4．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′．已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1，则△ABC的BC边上的高为(　　)

A．1 B．2 C． D．2
D　[∵直观图是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝．根据直观图中平行于y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的BC边上的高AC＝2A′C′＝2．故选D．]
5．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是(　　)

A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
C　[由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，
又因为BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1，C正确．]
6．棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AB，CC1，C1D1的中点，则过E，F，G三点的平面截正方体所得截面面积为(　　)
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
C　[如图，作出过E，F，G三点的平面截面图．

由图可知，截面为正六边形，边长为a，
所以截面面积S＝6××＝a2．]
7．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1(不包括端点)上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则三棱锥P2­AP1B1的体积的最大值是(　　)
A． B． C． D．
A　[连接BD，过点P2作P2O⊥底面ABCD于点O，可知点O在BD上，连接OP1，由题意可知OP1⊥AB，即OP1为三棱锥P2­AP1B1的高．设AP1＝x,0＜x＜1，则由题意知OP1∥AD，所以有＝，即OP1＝1－x．又S△AP1B1＝x，所以三棱锥P2­AP1B1的体积为S△AP1B1×OP1＝×x(1－x)＝－×＋≤，当x＝时等号成立，所以三棱锥P2­AP1B1的体积的最大值为，故选A．]
8．正方体ABCD­A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．以下结论中，错误的是(　　)
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH⊥平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．AH⊥BB1
D　[因为AH⊥平面A1BD，

BD⊂平面A1BD，
所以BD⊥AH．又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A．
所以BD⊥平面AA1H．又A1H⊂平面AA1H．
所以A1H⊥BD，
同理可证BH⊥A1D，
所以点H是△A1BD的垂心，A正确．
因为平面A1BD∥平面CB1D1，
所以AH⊥平面CB1D1，B正确．
易证AC1⊥平面A1BD．因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故C正确．
因为AA1∥BB1，AA1与AH显然不垂直，∴AH与BB1也不垂直，故D错误．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，其中正确的是(　　)

A．直线AM与C1C是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线MN与AC所成的角为60°
CD　[结合题图，显然直线AM与C1C是异面直线，直线AM与BN是异面直线，直线BN与MB1是异面直线．连接D1C，AD1，直线MN与AC所成的角即直线D1C与AC所成的角，在等边三角形AD1C中，易知∠ACD1＝60°，所以直线MN与AC所成的角为60°，故选CD．]
10．如图，在正四棱锥S­ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点．当点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的是(　　)

A．EP⊥AC
B．EP∥BD
C．EP∥平面SBD
D．EP⊥平面SAC
AC　[如图所示，连接NE，ME．∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EN∥SB，MN∥SD，又EN∩MN＝N，SB∩SD＝S，∴平面SBD∥平面NEM，∴EP∥平面SBD，选项C恒成立．由正四棱锥S­ABCD，知AC⊥平面SBD，∴AC⊥平面NEM，

∴AC⊥EP，选项A恒成立．选项B，D对于线段MN上的任意一点P不一定成立，故选AC．]
11．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在面对角线AC上运动，则下列结论正确的为 (　　)

A．D1P∥平面A1BC1
B．D1P⊥BD
C．平面PDB1⊥平面A1BC1
D．三棱锥A1­BPC1的体积不变
ACD　[对A，因为在正方体中，D1A∥BC1，D1C∥BA1，且D1A∩D1C＝D1，BC1∩BA1＝B，

所以平面D1AC∥平面A1BC1．
因为P在面对角线AC上运动，
所以D1P∥平面A1BC1，所以A正确．
对B，当P位于AC的中点时，D1P⊥BD不成立，
所以B错误．
对C，因为A1C1⊥平面BDD1B1；
所以A1C1⊥B1D，
同理A1B⊥B1D，
因为A1C1∩A1B＝A1，所以B1D⊥平面A1BC1，
又B1D⊂平面PDB1，
所以平面PDB1⊥平面A1BC1，所以C正确．
对D，三棱锥A1­BPC1的体积等于三棱锥B­A1PC1的体积．
△A1PC1的面积为定值A1C1·AA1，
B到平面A1PC1的高为定值，
所以三棱锥A1­BPC1的体积不变，所以D正确．]
12．如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列四个命题中正确的是(　　)

A．恒有平面A′FG⊥平面BCED
B．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
C．三棱锥A′­FED的体积有最大值
D．直线A′E与BD不可能垂直
ABC　[对于A，由题意，知A′G⊥DE，FG⊥DE，A′G∩FG＝G，故DE⊥平面A′FG．因为DE⊂平面BCED，所以平面A′FG⊥平面BCED，故A选项正确；对于B，结合选项A的分析可知正确；对于C，当A′G⊥平面ABC时，三棱锥A′­FED的体积有最大值，故C选项正确；对于D，当A′E在平面ABC上的射影与直线BD垂直时，易证A′E与BD垂直，故D选项不正确．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________．
9　[由面面平行的性质得AC∥BD，＝，解得SD＝9．]
14．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的底面半径为________，体积为________．(本题第一空2分，第二空3分)
2　8π　[由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得l2＝8，得l＝4．在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝l＝2，AO＝l＝2．故该圆锥的体积V＝π×AO2×SO＝π×(2)2×2＝8π．]

15．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱C1C，C1D1，D1D，DC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1，其中N是BC的中点．(填上一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况)

M∈FH　[连接FH(图略)，因为平面FHN∥平面B1BDD1，若M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∩平面B1BDD1＝∅，所以MN∥平面B1BDD1．]
16．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．
　[作PD，PE分别垂直于AC，BC于点D，E，PO⊥平面ABC，连接OD，CO，知CD⊥PD，CD⊥PO，PD∩PO＝P，

所以CD⊥平面PDO，OD⊂平面PDO，所以CD⊥OD，
因为PD＝PE＝，PC＝2．
所以sin∠PCE＝sin∠PCD＝，
所以∠PCB＝∠PCA＝60°，
所以PO⊥CO，CO为∠ACB的平分线，
所以∠OCD＝45°，
所以OD＝CD＝1，OC＝，又PC＝2，
所以PO＝＝．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在正方体ABCD­A1B1C1D1中挖去一个圆锥，得到一个几何体M，已知圆锥顶点为正方形ABCD的中心，底面圆是正方形A1B1C1D1的内切圆，若正方体的棱长为a cm．
(1)求挖去的圆锥的侧面积；
(2)求几何体M的体积．
[解]　(1)圆锥的底面半径r＝，高为a，母线l＝＝a，
所以挖去的圆锥的侧面积为
πrl＝π··a＝a2π(cm2)．
(2)因为M的体积为正方体体积减去圆锥的体积，
所以M的体积为a3－π·a＝a3(cm3)．
18．(本小题满分12分)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长均为4，M，N分别是BC，CC1的中点．

(1)求证：BN⊥平面AMB1；
(2)求直线AB与平面AMB1所成角的余弦值．
[解]　(1)证明：因为AB＝AC，且M为BC的中点，所以AM⊥BC，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，且平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，所以AM⊥平面BCC1B1．
因为BN⊂平面BCC1B1，所以AM⊥BN．
因为M，N分别为BC，CC1的中点，所以BM＝CN＝2．
又因为BB1＝CB＝4，∠MBB1＝∠NCB＝90°，所以△MBB1≌△NCB，所以∠BMB1＝∠CNB，∠BB1M＝∠CBN，
所以∠BMB1＋∠CBN＝∠CNB＋∠CBN＝90°，所以BN⊥B1M．
又因为AM⊂平面AMB1，B1M⊂平面AMB1，AM∩B1M＝M，
所以BN⊥平面AMB1．

(2)设BN∩B1M＝O，连接AO．由(1)可知BO⊥平面AMB1，所以∠BAO为AB与平面AMB1所成的角．
由题可知AN＝BN＝＝2，
所以△ABN为等腰三角形，作NE⊥AB于E，
则E为AB的中点，所以NE＝＝4，所以AO＝＝＝．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，所以cos∠BAO＝＝，
所以直线AB与平面AMB1所成角的余弦值为．
19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
[解]　(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2．
如图，连接OB．因为AB＝BC＝AC，
所以△ABC为等腰直角三角形，
且OB⊥AC，OB＝AC＝2．
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，知，PO⊥平面ABC．
(2)如图，作CH⊥OM，垂足为H，

又由(1)可得OP⊥CH，
所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC＝AC＝2，
CM＝BC＝，
∠ACB＝45°，
所以OM＝，CH＝＝．
所以点C到平面POM的距离为．
20．(本小题满分12分)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．

图1　　　　　　　图2
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的四边形ACGD的面积．
[解]　(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，
故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE．
又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE．
(2)取CG的中点M，连接EM，DM．

因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG．
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM．
因此DM⊥CG．
在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝，
故DM＝2．
所以四边形ACGD的面积为4．
21．(本小题满分12分)如图，矩形ADEF和菱形ABCD所在平面互相垂直，已知∠ADC＝，点N是线段AD的中点．

(1)求证：CN⊥AF；
(2)试问在线段BE上是否存在点M，使得直线AF∥平面MNC？若存在，请证明AF∥平面MNC，并求出的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)证明：在菱形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝，则△ADC是等边三角形．
又N是线段AD的中点，∴CN⊥AD．
又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，CN⊂平面ABCD，
∴CN⊥平面ADEF．
又∵AF⊂平面ADEF，故CN⊥AF．
(2)取FE的中点P，连接CP交BE于点M，点M即为所求的点．

证明：连接PN，∵PE∥AD，AD∥BC，∴PE∥BC，
∴CP与CE相交于点M，∵N是AD的中点，P是FE的中点，
∴PN∥AF，又PN⊂平面MNC，AF⊄平面MNC，
∴直线AF∥平面MNC．
又∵PE∥BC，∴＝＝2．
22．(本小题满分12分)如图所示，已知三棱锥P­ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．

(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求二面角D­AP­C的正弦值；
(3)若M为PB的中点，求三棱锥M­BCD的体积．
[解]　(1)证明：因为D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB＝20，所以PD＝AB＝10，所以AP⊥PB．
又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC．
又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC．
又AC⊥BC，AP∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC．
又BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC．
(2)因为PA⊥PC，且PA⊥PB，
所以∠BPC是二面角D­AP­C的平面角．
由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，
所以sin∠BPC＝＝．
(3)因为D为AB的中点，M为PB的中点，所以DMPA，且DM＝5，
由(1)知PA⊥平面PBC，所以DM⊥平面PBC，
因为S△BCM＝S△PBC＝2，
所以VM­BCD＝VD­BCM＝×5×2＝10．