2020-2021学年3.2 双曲线完美版ppt课件

环节二  双曲线的简单几何性质

【引入新课】

复习：双曲线的概念及双曲线的标准方程．

1.双曲线的概念

一般地，我们把与平面内两个定点的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．

2.双曲线的标准方程

思考：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线

的哪些几何性质呢？

【探究新知】

问题: 如何研究双曲线的几何性质？

答案：类比椭圆几何性质的研究方法，对双曲线的几何性质进

行研究．（分别从“形”的角度和“数”的角度分析）

追问1：你能从两个角度分析双曲线的范围吗？

　　答案：“形”的角度：观察双曲线，可以直观发现双曲线上的点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是．

“数”的角度：根据方程①，

得到，

所以，或；．

由的范围，可以发现双曲线不是封闭的曲线．双曲线位于直线及其左侧，以及直线及其右侧的区域，并且两支都向外无限延伸．

追问2：你能从两个角度分析双曲线的对称性吗？

答案： “形”的角度：双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点对称．

“数”的角度：用代，代，方程的形式不变，所以双曲线关于坐标轴、原点对称．

双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．

追问3：你能从两个角度分析双曲线的顶点吗？

答案：“形”的角度：从图形直观上可以发现双曲线与轴有两个交点和，与轴没有公共点．这与椭圆不同．

“数”的角度：令，得或，所以和，

令,，没有实数解．

追问4：能否类比椭圆把和两点画在y轴上？线段有何几何意义？

答案：线段称为双曲线的虚轴，是直角三角形，且，，，线段叫做双曲线的实轴，它的长等于，叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于，叫做双曲线的虚半轴长．并且在后面渐近线的研究中就要用到它．

追问5：在双曲线右支上找一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离d，向右拖动点，观察与d的大小关系，你发现了什么？

　　答案：通过几何画板软件作图，在向右拖动点时，点的横坐标越来越大，d越来越小，但是d始终不等于0．

实际上，经过两点A1，A2作y轴的平行线x＝±3，经过两点B1，B2作x轴的平行线y＝±2，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程是．可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交．

一般地，双曲线（,）的两支向外延伸时，与两条直线逐

渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交．

对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能较为精确地画出它的图形．

追问6：已知双曲线方程(,)，如何求其渐近线方程？

答案：对于双曲线（,），令，得双曲线的渐近线方程为.

追问7：在双曲线方程（,）中，如果，渐近线是什么？

答案：此时方程变为，双曲线的实轴和虚轴的长都等于．这时，四条直线，围成正方形，渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．

追问8：双曲线的离心率是什么？

答案：与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率．因为，

所以双曲线的离心率．

追问9：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？

类比椭圆的离心率，我们猜想双曲线的离心率刻画的也是某种“扁平程度”．

答案：由 可知，当逐渐增大时， 逐渐增大，即双曲线的渐近线 的斜率逐渐增大，此时双曲线的“张口”逐渐增大，反之也成立．此时的 “扁平程度”描述的是双曲线的“张口大小”．因此，双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．

追问10：类比焦点在轴上的双曲线的简单几何性质，你能写出焦点在y轴上的双曲线的简单几何性质吗？

【知识应用】

例1  求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

解：把双曲线的方程化为标准方程

.

由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；

，

焦点坐标是，；离心率；

渐近线方程为．

例2  求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8；

（2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长是8．

解：（1）设双曲线方程为  ，

由题意可知，所以双曲线方程为：．

（2）设双曲线方程为  ，

由题意可知，所以，双曲线方程为：．