高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数精品第2课时导学案

4.4.2  第2课时 对数函数的图象和性质

【学习目标】

【自主学习】

一．对数型复合函数的单调性

复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为         ；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为         .

对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．

另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．

二.对数型复合函数的值域

对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：

(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；

(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；

(3)求u的取值范围；

(4)利用y＝logau的单调性求解．

【经典例题】

题型一　比较对数值的大小

点拨：比较对数值大小时常用的4种方法

1.同底的利用对数函数的单调性，如例1(1)．

2.同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化，如例1(2)．

3.底数和真数都不同，找中间量，如例1(3)．

4.若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论，如例1(4)．

例1　比较下列各组值的大小：

(1)log5与log5；

(2)log2与log2；

(3)log23与log54.

(4)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)．

【跟踪训练】1下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(　　)

A.loga5.1<loga5.9    B.log2.1>log2.2     C.log1.1(a＋1)<log1.1a   D.log32.9<log0.52.2

题型二　解对数不等式

点拨：两类对数不等式的解法

(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.

①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x).

(2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab.

①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab；②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.

例2 已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为(　　)

A.      B.       C.       D.

【跟踪训练】2 已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．

(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；

(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．

题型三　对数型复合函数的单调性

点拨：对于函数y＝logaf(x)，如果定义域为D.

例3 求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间。

【跟踪训练】3 函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)

A.(－∞，－2)     B.(－∞，1)     C.(1，＋∞)   D.(4，＋∞)

题型四　对数型复合函数的值域

点拨：

与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．

例4 求下列函数的值域：

(1)y＝log2(x2＋4)；

(2)y＝(3＋2x－x2)．

【跟踪训练】4 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　 　)

A．(0，＋∞)     B．[0，＋∞)     C．(1，＋∞)   D．[1，＋∞)

【当堂达标】

1.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)

A．a>c>b　     B．b>c>a        C．c>b>a      D．c>a>b

2.已知f(x)＝loga(8－3ax)在[－1,2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1)        B.         C.        D．(1，＋∞)

3.（多选）设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　  )

A．奇函数                       B．偶函数

C．在(0,1)上是增函数             D．在(0,1)上是减函数

4.函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递增区间是      ，单调递减区间是       ．

5.函数y＝log(x2－6x＋11)的值域为________.

6.(1)已知loga>1，求a的取值范围；

(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围．

7.求函数f(x)＝loga(2x2－3x－2)的单调区间．

【参考答案】

【自主学习】

增函数   减函数 

【经典例题】

例1 (1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5<log5.

法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，

所以log5<log5.

(2)法一(单调性法)：由于log2＝，log2＝，

又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，

且>，所以0>log2>log2，

所以<，所以log2<log2.

法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logx及y＝logx的图象，由图易知：log2<log2.

(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.

(4)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2；

当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2.

【跟踪训练】1  B解析：对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B.

例2  A解析：因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于解得x>.

【跟踪训练】2  (1)由解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．

(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，

①当a＞1时，不等式等价于解得1<x≤；

②当0＜a＜1时，不等式等价于解得≤x<3.

综上可得，当a＞1时，不等式的解集为；当0＜a＜1时，不等式的解集为.

例3解：由3－2x>0，解得x<，设t＝3－2x，x∈，∵函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，∴函数y＝log0.3(3－2x)在上是增函数，即函数y＝log0.3(3－2x)的单调递增区间是，没有单调递减区间.

【跟踪训练】3 D 解析：要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为(4，＋∞)，故选D.

例4  解：(1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.

∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．

(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.

∵u>0，∴0<u≤4.又y＝u在(0，＋∞)上是减函数，∴u≥4＝－2，

∴y＝(3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}．

【跟踪训练】4  A 解析：∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，

∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)．

【当堂达标】

1.D　解析：a＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1，由对数函数的性质可知log52<log32，∴b<a<c，故选D.

2.B 解析：由题意，知8－3ax>0，x∈[－1，2]，∴8＋3a>0,8－6a>0，∴－<a<.又易知a>0，且a≠1，∴0<a<1或1<a<，此时可知函数g(x)＝8－3ax是减函数．若f(x)在[－1,2]上是减函数，则必有a>1.所以实数a的取值范围为.故选B.

3.AC 解析：由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝ln＝ln(－1)，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选AC．

4. (－1,1)  (1,3) 解析：∵3＋2x－x2>0，∴x2－2x－3<0.

∴－1<x<3.

令u＝3＋2x－x2＝－(x2－2x－3)＝－(x－1)2＋4，

∴当x∈(－1,1)时，u是x的增函数，y是lnu的增函数，故函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递增区间是(－1,1)．

同理，函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递减区间是(1,3)．

5.(－∞，－1] 解析：∵x2－6x＋11＝(x－3)2＋2≥2，∴log(x2－6x＋11)≤log2＝－1，故所求函数的值域为(－∞，－1].

6.解：(1)由loga>1得loga>logaa.

①当a>1时，有a<，此时无解．②当0<a<1时，有<a，从而<a<1.

所以a的取值范围是.

(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，所以由log0.7(2x)<log0.7(x－1)得

解得x>1.即x的取值范围是(1，＋∞)．

7.解：由2x2－3x－2>0得函数f(x)的定义域为.

①a>1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数，

∴f(x)在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数．

②0<a<1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数，

∴f(x)在(2，＋∞)上为减函数，在上为增函数．

综上，由①②可知，当a>1时，f(x)的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为；当0<a<1时，f(x)的单调增区间为，单调减区间为(2，＋∞)．