人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数精品学案

3.3 幂函数

【学习目标】

【自主学习】

一．幂函数的概念

1.一般地，函数       叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.

2.幂函数解析式的结构特征

①指数为常数；②底数是自变量，自变量的系数为1；③幂xα的系数为1；④只有1项．

二．幂函数的图象

幂函数在第一象限内指数变化规律：

在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.

三．幂函数的性质

性质：

(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.

(2)如果α＞0，则幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.

(3)如果α＜0，则幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.

【小试牛刀】

1.思辨解析 (正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数．(　　)

(2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．(　　)

(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．(　　)

(4)当α>0时，y＝xα是增函数．(　　)

2.下列函数为幂函数的是(　　)

A．y＝2x3　 B．y＝2x2－1   C．y＝     D．y＝

【经典例题】

题型一　幂函数的概念

点拨：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.

例1 (1)在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝中，是幂函数的是

(　　)

A．①②④⑤        B．③④⑥       C．①②⑥     D．①②④⑤⑥

(2)函数是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．

【跟踪训练】1 若幂函数f(x)满足f(9)＝3，则f(100)＝________.

题型二　幂函数的图象及性质

点拨：解决幂函数图象问题应把握的两个原则

(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：

①在x∈(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在x∈(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).

(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象的凹凸来判断.

例2 求下列函数的定义域，并指出其奇偶性和单调性．

①    y＝；②y＝；③y＝x－2；④y＝.

【跟踪训练】2  (1)函数y=的图象是(　　)

(2)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)

A.－2，－，，2               B.2，，－，－2

C.－，－2，2，              D.2，，－2，－

题型三　利用幂函数的性质比较大小

点拨：比较幂值大小的方法

(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．

(2)若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解．

(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．

例3 比较下列各组数的大小.

(1) ，，1；(2) ，，；(3)31.4   51.5.

【跟踪训练】3  设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是 (　　)

A．a<b<c B．a<c<b

C．b<a<c D．b<c<a

例4  若，求实数m的范围.

注意：构造幂函数，利用幂函数的单调性比较大小．

【跟踪训练】4 已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________．

【当堂达标】

1.(多选)下列函数是幂函数的是(　　)

A．y＝5x        B．y＝x5          C．y＝ D．y＝(x＋1)3

2.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 (　　)

A.a>b>c       B.c>a>b      C.a<b<c    D.b>c>a

3.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)

A．－1<n<0<m<1          B．n<－1,0<m<1

C．－1<n<0，m>1         D．n<－1，m>1

4.已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝         。

5.比较下列各组数的大小：

(1) ；(2) ；(3) 。

6.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f(x)的解析式．

【课堂小结】

1.幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数．

2.幂函数在第一象限内指数变化规律

在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．

3.简单幂函数的性质

(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.

(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．

(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.

【参考答案】

【自主学习】

y＝xα

【小试牛刀】

1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2.C

【经典例题】

例1 (1) C 幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．故选C.

(2)由m2－m－1＝1得，m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.

当m＝2时，m2＋m－3＝3，f(x)＝x3符合要求，

当m＝－1，m2＋m－3＝－3＜0，f(x)＝x－3在(0，＋∞)为减函数，不符合要求．

综上，f(x)＝x3.

【跟踪训练】1 10  解析：设f(x)＝xα，由f(9)＝3，得9α＝3，∴α＝，

∴f(x)＝，∴f(100)＝＝10.

例2 解:①函数y＝，即y＝，其定义域为R；是偶函数；它在[0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0]上为减函数．

②函数y＝，即y＝，其定义域为[0，＋∞)；既不是奇函数，也不是偶函数；它在[0，＋∞)上为增函数．

③函数y＝x－2，即y＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；是偶函数；它在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．

④函数y＝，即y＝，其定义域为(0，＋∞)；既不是奇函数，也不是偶函数；它在(0，＋∞)上为减函数．

【跟踪训练】2 (1) B解析：直接由幂函数的图象特征判定.

(2)B解析：根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B.

例3 解：(1)因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，且1.7＞1.5＞1，

所以＞＞1.

(2)因为0＜＜1,  >1，＜0，

所以＞＞.

(3)根据幂函数和指数函数的单调性，得31.4＜31.5＜51.5，所以31.4＜51.5.

【跟踪训练】3 C∵0.6∈(0,1)，∴y＝0.6x是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y＝x0.6在(0，＋∞)是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴c>a>b，故选C.

例4 解：因为在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以解得－1≤m<.

故实数m的取值范围为.

【跟踪训练】4  (3,5) 解析 ∵f(x)＝x＝(x>0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，

又f(a＋1)<f(10－2a)，∴解得∴3<a<5.

【当堂达标】

1. B C解析：函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．

2.C 解析：因为a==,b==,c==,又函数f(x)=单调递增,且<<,所以a<b<c.

3.B 解析：在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．所以0<m<1，n<－1.

4.  解析：设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点，∴＝4α，∴α＝－，∴y＝x－，∴f(2)＝2－＝。

5. 解： (1)函数在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以.

(2) ，函数在(0，＋∞)上为增函数，又>，则，

从而，即.

(3) ，函数在(0，＋∞)上为减函数，

又，所以，即.

6.解：∵幂函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上是减函数，

∴3m－9<0，即m<3.又∵m∈N*，∴m＝1,2.

又y＝33m－9的图象关于y轴对称，即该函数是偶函数，

∴3m－9是偶数．∴m＝1.∴f(x)＝x－6.