普通高中数学学业水平合格性考试考点过关练16空间直线、平面的垂直含答案

这是一份普通高中数学学业水平合格性考试考点过关练16空间直线、平面的垂直含答案，共11页。

题组一 与垂直有关的命题的判断
1．下列命题中不正确的是( )
A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
A 根据面面垂直的性质，A不正确，直线l∥平面β或l⊂β或直线l与β相交．
2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )
A．α⊥β且m⊂α B．m⊥n且n∥β
C．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β
C 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．
3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )
A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC
C 如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1⊂平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1．又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1．
4．设α，β，γ为不同的平面，m，n为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是( )
A．α⊥β，α∩β＝n，m⊥n B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥β，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α
D A不对，m可能在平面β内，也可能与β平行；B，C不对，满足条件的m和β可能相交，也可能平行；D对，由n⊥α，n⊥β可知α∥β，结合m⊥α知m⊥β．故选D．
5．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面AC，则EF与AA1的位置关系是________．
平行 ∵AA1⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，∴AA1∥EF．
6．如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．
6 ∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
∴AF∥DE．
又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，∴EF＝AD＝6．
题组二 直线和平面垂直的判定与性质
7．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N．
求证：AN⊥平面PBM．
[证明] 设圆O所在的平面为α，
∵PA⊥α，且BM⊂α，
∴PA⊥BM．
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM． 由于直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM，而AN⊂平面PAM，
∴BM⊥AN．
∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．
故AN⊥平面PBM．
8．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝eq \r(2)，D是A1B1的中点．
(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；
(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
[解] (1)证明：因为ABC­A1B1C1为直三棱柱，所以A1C1＝B1C1＝1且∠A1C1B1＝90°，又因为D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1，因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，所以C1D⊥平面AA1B1B．
(2)当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF．
证明：如图，作DE⊥AB1于点E，延长DE交BB1于点F，连接C1F．由(1)知C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，
∴C1D⊥AB1．
又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，
∴AB1⊥平面C1DF．
易知AA1＝A1B1＝eq \r(2)，
∴四边形AA1B1B为正方形．
又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，
∴F为BB1的中点．
∴当点F为BB1的中点时，
AB1⊥平面C1DF．
题组三 平面与平面垂直的判定和性质
9．如图，已知三棱锥S­ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°．求证：平面ABC⊥平面ASC．
[证明] 作SH⊥AC交AC于点H，连接BH，
∵SA＝SC，∴AH＝HC．
在Rt△ABC中，H是AC的中点，∴BH＝eq \f(1,2)AC＝AH．
又SH＝SH，SA＝SB，
∴△SAH≌△SBH(SSS)．
∴SH⊥BH．又AC∩BH＝H，
∴SH⊥平面ABC．
又SH⊂平面ASC，
∴平面ABC⊥平面ASC．
10．已知平面ABC⊥平面ACD，AB⊥平面BCD，BE⊥AC于点E．
(1)判断DC与BE的关系；
(2)求证：DC⊥BC．
[解] (1)DC⊥BE．理由如下：
∵平面ABC⊥平面ACD，BE⊥AC于点E，平面ABC∩平面ACD＝AC，BE⊂平面ABC，
∴BE⊥平面ACD．又DC⊂平面ACD，
∴BE⊥DC．
(2)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．
∵BE⊥CD，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABC．又BC⊂平面ABC，∴CD⊥BC．
题组四 空间中的角与距离
11．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )
A．eq \f(\r(3),6) B．eq \f(\r(3),4) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
A 如图所示，
设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为2a，
设O为底面中心，则∠SAO为SA与平面ABC所成的角．
∵AO＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),3)a，
∴cs∠SAO＝eq \f(\f(\r(3),3)a,2a)＝eq \f(\r(3),6)．
12．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离为( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．eq \f(2\r(2),3) C．eq \f(2,3) D．eq \f(4,3)
D 设所求距离为h，
因为B1E＝B1F＝C1F＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，EF＝eq \r(2)，在△B1EF中，B1到EF的距离h′＝eq \r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq \f(3\r(2),2)，所以Seq \s\d10(△B1EF)＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \f(3\r(2),2)＝eq \f(3,2)，又Seq \s\d10(△B1C1F)＝eq \f(1,2)×2×2＝2，而E到平面B1C1F的距离为1．
因为Veq \s\d10(E­B1C1F)＝Veq \s\d10(C1­B1EF)，即eq \f(1,3)×2×1＝eq \f(1,3)×eq \f(3,2)×h，所以h＝eq \f(4,3)．
13．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，B1B，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
A．45°B．60°
C．90°D．120°
B 连接A1B，BC1，A1C1(图略)，则A1B＝BC1＝A1C1，且EF∥A1B，GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60°．
14．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________．
5 取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角．
∴∠MPN＝90°，PN＝eq \f(1,2)AC＝4，
PM＝eq \f(1,2)BD＝3．
∴MN＝5．
15．如图，若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则直线BD1与平面ABCD所成角的正切值是________．
eq \r(2) 由题图可知，直线BD1与平面ABCD所成的角为∠D1BD，由条件可知tan∠D1BD＝eq \f(D1D,DB)＝eq \f(4,2\r(2))＝eq \r(2)．
16．已知三棱锥D­ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝eq \r(3)，BC＝2，则二面角D­BC­A的大小为__________．
90° 如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝eq \r(3)，BC＝AD＝2．
取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角．
易得AE＝DE＝eq \r(2)，又AD＝2，所以DE2＋AE2＝AD2，
即∠DEA＝90°，
即所求二面角的大小为90°．
17．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求二面角B­A1C1­B1的正切值．
[解] 取A1C1的中点O，连接B1O，BO．
由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，
所以BO⊥A1C1．所以∠BOB1是二面角B­A1C1­B1的平面角．
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥OB1．
设正方体的棱长为a，则OB1＝eq \f(\r(2),2)a，
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq \f(BB1,OB1)＝eq \f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq \r(2)，
所以二面角B­A1C1­B1的正切值为eq \r(2)．
[核心精要]
一、与垂直有关的命题的判断
1．判断与垂直相关的命题的真假，必须熟悉线、面垂直的相关的判定定理、性质定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项确定或排除，再逐步判断其余选项．
2．(1)结合题意构造或绘制图形，特别是长方体和正方体，结合图形进行判断．
(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
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二、直线和平面垂直的判定与性质
1．直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
2．直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
3．证明直线和平面垂直的常用方法
(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α)．
4．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
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三、平面与平面垂直的判定和性质
1．平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
2．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．
3．证明平面和平面垂直的方法：
(1)面面垂直的定义；
(2)面面垂直的判定定理．
4．已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
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四、空间中的角与距离的求解
1．用平移法求异面直线所成角的一般步骤
(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；
(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小．
2．线面角的计算
(1)求直线与平面所成角的步骤
①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．
②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．
③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)从求直线与平面所成角的步骤看，可以归纳为作、证、求三个环节，作、证充分体现了逻辑推理的数学核心素养，而求又突出了数学运算的素养．
3．确定二面角的平面角的方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
(3)线面垂直法：该法就是利用线面垂直来寻找二面角的平面角，是最常用的也是最好用的一种方法．由一个半平面内异于棱上的点A向另一半平面作垂线，垂足为点B，由B点向二面角的棱作垂线，垂足为点O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角(或其补角)．
4．空间距离的计算
求点到平面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段．可通过外形进行转化，转化为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法．
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考试要求
1．理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理，并能应用它们判定空间中的线、面关系；
2．会求直线和平面所成的角和二面角、点到平面的距离．