普通高中数学学业水平合格性考试考点过关练12平面向量与复数含答案

这是一份普通高中数学学业水平合格性考试考点过关练12平面向量与复数含答案，共8页。

题组一 平面向量及其线性运算
1．给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b．
其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
②正确．∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|且eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|，eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))且eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))方向相同，因此eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))．
③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c．
④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
综上所述，正确命题的序号是②③．故选A．
2．如图所示，已知eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则下列等式中成立的是( )
A．c＝eq \f(3,2)b－eq \f(1,2)aB．c＝2b－a
C．c＝2a－bD．c＝eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b
A 因为eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，所以eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(3,2)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)b－eq \f(1,2)a．
3．下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
B 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B．
4．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23,12) C．(7,0) D．(－7,0)
A 3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A．
5．已知a，b是不共线的向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝λa＋2b，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ的值为( )
A．－1 B．2 C．－2或1 D．－1或2
D 因为A，B，C三点共线，所以存在实数k使eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(AC,\s\up6(→))．
因为eq \(AB,\s\up6(→))＝λa＋2b，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋(λ－1)b，
所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]．
因为a与b不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝k，,2＝kλ－1，))
解得λ＝2或λ＝－1．
6．在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝c，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，若点D满足eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A．eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c B．eq \f(5,3)c－eq \f(2,3)b C．eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c D．eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)c
A 依题意eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c．故选A．
7．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,2)k))e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________．
－2或eq \f(1,3) 由题设知eq \f(k2,2)＝eq \f(1－\f(5,2)k,3)，所以3k2＋5k－2＝0，
解得k＝－2或k＝eq \f(1,3)．
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC．若eq \(DE,\s\up6(→))＝λ1eq \(AB,\s\up6(→))＋λ2eq \(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．
eq \f(1,2) 由eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
得λ1＝－eq \f(1,6)，λ2＝eq \f(2,3)，从而λ1＋λ2＝eq \f(1,2)．
题组二 平面向量的数量积
9．若向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
C ∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1．
10．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于( )
A．3 B．－3 C．eq \f(5,3) D．－eq \f(5,3)
A a·b＝－x＋6＝3，故x＝3．
11．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)
B ∵|a|＝eq \r(10)，|b|＝eq \r(5)，a·b＝5，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(5,\r(10)×\r(5))＝eq \f(\r(2),2)．
又∵a与b的夹角范围为[0，π]，
∴a与b的夹角为eq \f(π,4)．
12．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)
C 由题意，知a·b＝|a||b|cs θ＝4cs θ＝2，即cs θ＝eq \f(1,2)．
又0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(π,3)．
13． 已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq \r(10)，则|b|＝________．
3eq \r(2) ∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a||b|cs 45°＝eq \f(\r(2),2)|b|，
|2a－b|2＝4－4×eq \f(\r(2),2)|b|＋|b|2＝10．
∴|b|＝3eq \r(2)．
14．已知向量a⊥b，且a＝(x,1)，b＝(1，－2)，则实数x＝________，|a＋b|＝________．
2 eq \r(10) ∵a⊥b，∴a·b＝0，
即x－2＝0，∴x＝2．
∴a＋b＝(3，－1)．
∴|a＋b|＝eq \r(9＋1)＝eq \r(10)．
15．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝________，eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝________，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝________．
0 －16 －16 由题意，得|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq \(CA,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝4×4×cs 90°＝0，eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝4×4eq \r(2)×cs 135°＝－16，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝4eq \r(2)×4×cs 135°＝－16．
题组三 复数的概念及运算
16． eq \f(3＋i,1＋i)＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
D eq \f(3＋i,1＋i)＝eq \f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq \f(4－2i,2)＝2－i．
17． 若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为( )
A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i
A ∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝eq \f(11＋7i,2－i)＝eq \f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq \f(15＋25i,5)＝3＋5i．
18．在复平面内，复数eq \f(5i,2－i)的对应点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
B eq \f(5i,2－i)＝eq \f(5i2＋i,2－i2＋i)＝eq \f(5i2＋i,5)＝－1＋2i，复平面内对应的点的坐标为(－1,2)，位于第二象限．
19．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( )
A．－2i B．2i C．－2 D．2
A 由zi＝1＋i，得z＝eq \f(1＋i,i)＝1－i，
∴z2＝(1－i)2＝－2i．
20．设复数z＝－2＋i，则复数z＋eq \f(1,z)的虚部为( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(4,5)i C．eq \f(6,5) D．eq \f(6,5)i
A z＋eq \f(1,z)＝－2＋i＋eq \f(－2－i,4＋1)＝－2－eq \f(2,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))i＝－eq \f(12,5)＋eq \f(4,5)i．
21． 设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________．
－2 复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－2＝0，,m2－1≠0.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1或m＝－2，,m≠±1，))即m＝－2．
故当m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数．
22．计算：eq \f(1＋i4＋3i,2－i1－i)＝________．
－2＋i eq \f(1＋i4＋3i,2－i1－i)＝eq \f(1＋7i,1－3i)＝eq \f(1＋7i1＋3i,10)＝－2＋i．
[核心精要]
一、平面向量的线性运算
1．向量的加法运算满足平行四边形法则和三角形法则：
2．向量的减法运算满足三角形法则：
三角形法则
学习心得：_____________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
二、平面向量的数量积
1．向量的数量积
2．平面向量模的坐标形式
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝eq \r(x2＋y2)．
(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)．
3．用坐标表示平面向量垂直的充要条件
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．
4．平面向量夹角的坐标表示
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))．
学习心得：_____________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
三、复数的概念及运算
1．两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)将除式写为分式；
(2)将分子、分母同乘分母的共轭复数；
(3)将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式：(1)eq \f(1,i)＝－i；(2)eq \f(1＋i,1－i)＝i；(3)eq \f(1－i,1＋i)＝－i．
学习心得：_____________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________考试要求
1．掌握向量的线性运算；
2．掌握向量的数量积运算，会应用数量积求向量的模、夹角；
3．掌握复数的概念、几何意义及四则运算．
条件
非零向量a与b，它们的夹角为θ
结论
数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法
向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cs θ
规定
零向量与任一向量的数量积为0