普通高中数学学业水平合格性考试考点过关练4函数的基本性质含答案

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题组一 函数的单调性
1．对于函数f (x)的定义域内的某两个数x1与x2，当x1>x2时，有f (x1)>f (x2)，那么函数f (x)( )
A．单调递增B．单调递减
C．单调性无法判断D．以上都不对
C 单调性的定义强调的是任意两个值x1与x2，因此本题f (x)的单调性无法判断，故选C．
2．对于y＝x2，下面说法正确的是( )
A．递增函数B．递减函数
C．先递增后递减函数D．先递减后递增函数
D y＝x2的图象是开口向上的抛物线，图象特点是先减后增，故选D．
3．对于函数y＝－eq \f(1,x)，下面说法正确的是( )
A．定义域上单调递增B．定义域上单调递减
C．在(－∞，0)上单调递减D．在(1，＋∞)上单调递增
D y＝－eq \f(1,x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上也单调递增，但不能说在定义域上单调递增．故选D．
4．函数f (x)＝x2＋2x＋5的单调递增区间是( )
A．(－∞，1)B．(－∞，－1)
C．(－1，＋∞)D．(1，＋∞)
C 因为f (x)＝x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4，所以f (x)的单调递增区间是(－1，＋∞)，故选C．
5．下列函数在(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝ln x C．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x) D．y＝－eq \f(1,x)
C 函数y＝x＋1与y＝ln x在(0，＋∞)上都是增函数，所以A，B不正确；函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以C正确；y＝－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上是增函数，所以D不正确，故选C．
6．二次函数f (x)＝4x2－mx＋5在区间(－∞，2]上是减函数，在(2，＋∞)上为增函数，则m＝________．
16 可知函数图象的对称轴是x＝2，即－eq \f(－m,8)＝2，解得m＝16．
题组二 函数的最值(值域)
7．函数f (x)＝eq \f(1,x2＋1)的最大值是( )
A．0 B．1 C．2 D．eq \f(1,2)
B ∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴eq \f(1,x2＋1)≤1，故函数f (x)＝eq \f(1,x2＋1)的最大值是1．
8．f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x<1，,－x＋6，x≥1))的最大值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
C y＝x＋1是增函数，x<1时，f (x)<2；
y＝－x＋6是减函数，x≥1时，f (x)≤－1＋6＝5．
∴函数f (x)的最大值是5．
9．函数f (x)＝eq \f(1,x)在[1，＋∞)上( )
A．有最大值，无最小值B．有最小值，无最大值
C．有最大值，也有最小值D．无最大值，也无最小值
A 因为函数f (x)＝eq \f(1,x)在[1，＋∞)上单调递减，
所以f (x)max＝f (1)＝1，f (x)无最小值．
10．函数y＝1＋eq \r(x2－2x＋3)的最小值是________．
1＋eq \r(2) x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴y≥1＋eq \r(2)．
题组三 函数的奇偶性与函数单调性的证明
11．函数①f 1(x)＝x；②f 2(x)＝2x；③f 3(x)＝x3；④f 4(x)＝eq \r(x)中，奇函数的个数是( )
A．4B．3
C．2D．1
C ①②③的定义域均为R，只有①③满足f (－x)＝－f (x)，对于②，f 2(－x)＝2－x＝eq \f(1,2x)≠－f (x)，对于④的定义域为[0，＋∞)，故奇函数有2个．
12．设函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x<0，,gx，x>0，))若f (x)是奇函数，则g(2)＝( )
A．－eq \f(1,4)B．－4
C．eq \f(1,4)D．4
A f (－2)＝2－2＝eq \f(1,4)，∵f (x)是奇函数，
∴f (2)＝－f (－2)＝－eq \f(1,4)，
即g(2)＝－eq \f(1,4)．
13．已知偶函数f (x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f (x)＝x＋1，下列大小关系正确的是( )
A．f (1)>f (2)B．f (1)>f (－2)
C．f (－1)>f (－2)D．f (－1)D 可求f (1)＝2，f (2)＝3．由f (x)是偶函数，
∴f (－1)＝2，f (－2)＝3，
∴f (－1)14．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )
A．y＝x3B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|
B 对于A：y＝x3为奇函数，不合题意；对于C，D：y＝－x2＋1和y＝2－|x|在(0，＋∞)上单调递减，不合题意；对于B：y＝|x|＋1的图象如图所示，可知B满足题意．
15．若函数y＝ax与y＝－eq \f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )
A．增函数B．减函数
C．先增后减D．先减后增
B 因为y＝ax与y＝－eq \f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，
所以a<0，b<0．
所以y＝ax2＋bx的对称轴方程为x＝－eq \f(b,2a)<0，
所以y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．
16．若f (x)＝eq \f(1,2x－1)＋a是奇函数，则a＝________．
eq \f(1,2) f (－x)＝eq \f(1,2－x－1)＋a＝eq \f(2x,1－2x)＋a，f (－x)＝－f (x)⇒eq \f(2x,1－2x)＋a＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x－1)＋a))⇒2a＝eq \f(1,1－2x)－eq \f(2x,1－2x)＝1，故a＝eq \f(1,2)．
17．如果函数f (x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是________．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)) (1)当a＝0时，f (x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
(2)当a≠0时，二次函数f (x)的对称轴为直线x＝－eq \f(1,a)，因为f (x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，
且－eq \f(1,a)≥4，解得－eq \f(1,4)≤a<0．
综上所述，实数a的取值范围是－eq \f(1,4)≤a≤0．
18．已知函数f (x)＝2x－eq \f(a,x)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝3．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f (x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
[解] (1)因为f (x)＝2x－eq \f(a,x)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝3，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1－2a＝3，解得a＝－1．
(2)由(1)得f (x)＝2x＋eq \f(1,x)，f (x)在(1，＋∞)上单调递增．
证明如下：设x1>x2>1，
则f (x1)－f (x2)＝2x1＋eq \f(1,x1)－2x2－eq \f(1,x2)＝(x1－x2)eq \f(2x1x2－1,x1x2)．
因为x1>x2>1，
所以x1－x2>0,2x1x2－1>0，x1x2>0，
所以f (x1)>f (x2)，
所以f (x)在(1，＋∞)上单调递增．
19．已知函数f (x)＝x2＋bx＋c．
(1)若f (x)为偶函数，且f (1)＝0，求函数f (x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值；
(2)要使函数f (x)在区间[－1,3]上单调，求实数b的取值范围．
[解] (1)由f (x)为偶函数，可得b＝0，
即f (x)＝x2＋c．
由f (1)＝0，可得1＋c＝0，即c＝－1．
由f (x)＝x2－1的图象开口向上，且对称轴为直线x＝0，
可得f (x)在[－1,0)上单调递减，在(0,3]上单调递增，
可得f (x)的最小值为f (0)＝－1，最大值为f (3)＝8．
(2)函数f (x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝－eq \f(b,2)，
若f (x)在[－1,3]上单调递增，
则－eq \f(b,2)≤－1，解得b≥2；
若f (x)在[－1,3]上单调递减，
则－eq \f(b,2)≥3，解得b≤－6．
综上，可得实数b的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
[核心精要]
一、函数的单调性
1．函数单调性定义中的两个数x1与x2是任意的，不是特定的某两个数．
2．画出函数图象来确定函数单调性是一种常用的方法．
3．对于某些常见函数的单调性要不断总结和记忆，如y＝kx＋b，y＝eq \f(k,x)，y＝ax，y＝ax2等．
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二、函数的最值(值域)
1．函数在[a，b]上单调递增，则f (x)max＝f (b)，f (x)min＝f (a)．
2．函数在[a，b]上单调递减，则f (x)max＝f (a)，f (x)min＝f (b)．
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三、函数的奇偶性与函数单调性的证明
1．判断函数奇偶性，首先要判断定义域是否关于原点对称，然后求f (－x)后与f (x)对比，若f (－x)＝－f (x)，则为奇函数；若f (－x)＝f (x)，则为偶函数；若都满足，则为既奇又偶函数；若都不满足，则为非奇非偶函数．
2．用定义法证明函数单调性的方法
(1)取值：设x1，x2是给定区间D内的任意两个值，且x10．
(2)作差：Δy＝f (x2)－f (x1)．
(3)变形判号：常用通分、配方、因式分解等恒等变形以判断Δy的正负．
(4)下结论：Δy>0，则D上单调递增；Δy<0，则D上单调递减．
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考试要求
1．理解函数单调性的含义；
2．会用定义法证明一个函数的单调性；
3．能用单调性进行大小比较，以及求最值(值域)；
4．理解奇偶性的定义，会判断一个函数的奇偶性；
5．能用函数单调性、奇偶性等性质解决实际问题．