2022-2023学年广东省深圳市南山区中科先进院实验学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市南山区中科先进院实验学校九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    如图，某几何体由个大小相同的小立方体搭成，其左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.    下列说法中，错误的是(    )

A. 矩形的对角线相等 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 菱形的四条边相等 D. 四个内角都相等的四边形是矩形

3.    在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根

5.    如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，且，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    关于反比例函数，下列说法不正确的是(    )

A. 函数图象分别位于第二、四象限 B. 函数图象关于原点成中心对称
C. 函数图象经过点 D. 当时，随的增大而增大

7.    如图，，、交于点，下列比例式错误的是(    )
    

A.  B.  C.  D.

8.    反比例函数 与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于轴的直线分别交双曲线于，两点，连接，，则的面积为(    )
    

A.  B.  C.  D.

9.    如图，在菱形中，对角线、交于点，且，，过点作垂直，交于点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，连接，下面四个结论：
    ；；；∽；其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 已知，则的值为______．
12. 如图，小明想测量院子里一棵树的高度，在某一时刻，他站在该树的影子上，前后移动，直到他本身的影子的顶端正好与树影的顶端重叠．此时，他与该树的水平距离，小明身高，他的影长是，那么该树的高度为______ ．

13. 设，分别为一元二次方程的两个实数根，则______．
14. 如图，在平行四边形中，点在的延长线上，且，连接交于点，交于点，则：的值是______．

15. 如图，矩形的两个顶点、分别落在、轴上，顶点、位于第一象限，且，，对角线、交于点，若曲线经过点、，则______．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    解方程
    ；
    ．
17. 本小题分
    为庆祝中国共产党建党周年，某校组织七、八、九年级学生参加了“颂党恩，跟党走”作文大赛．该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图和图不完整的统计图．
    
    请根据图中信息回答下面的问题：
    参赛作文的篇数共______篇；
    图中：______，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为______；
    把条形统计图补充完整；
    经过评审，全校共有篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中选取篇刊登在学校校报上，请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率．
18. 本小题分
    如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求的长．

19. 本小题分
    如图，操场上有一根旗杆，为测量它的高度，在和处各立一根高米的标杆、，两杆相距米，测得视线与地面的交点为，视线与地面的交点为，并且、、、、都在同一直线上，测得为米，为米，求旗杆的高度？
    
     
20. 本小题分
    某服装厂生产一批服装，年该类服装的出厂价是元件，年，年连续两年改进技术，降低成本，年该类服装的出厂价调整为元件．
    这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
    年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以元件销售时，平均每天可销售件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低元，每天可多售出件，如果每天盈利元，单价应降低多少元？
21. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点，且，轴交反比例函数于点，连接．
    求、的值；
    求的面积；
    若为射线上一点，设的横坐标为，过点作，交反比例函数的图象于点，且，求的值．

22. 本小题分
    问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．如图，在矩形中，，，，分别是边，的中点，四边形为矩形，连接．
    操作发现：
    图中______．
    创新小组将图中的矩形绕点旋转至如图所示的位置，点恰好落在边上，则______．
    拓展探究：
    勤奋小组将图中的矩形绕点旋转一周，发现的大小不变，请仅就图的情形给出证明．
    实践探究：
    当矩形旋转至、、三点共线时，直接写出线段的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从左边看有两列，左边一列是三个小正方形，右边一列是两个小正方形．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

2.【答案】 

【解析】解：、矩形的对角线相等，
选项A不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
选项B符合题意；
C、菱形的四条边相等，
选项C不符合题意；
D、四个内角都相等的四边形是矩形，
选项D不符合题意；
故选：．
由矩形的判定与性质、菱形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定与性质；熟练掌握矩形和菱形的判定与性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意可得红球个数为
个，
即袋子中红球的个数最有可能是个，
故选：．
根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出红球的个数．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：．
计算出判别式的值即可作出判断．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

5.【答案】 

【解析】解：和是以点为位似中心的位似三角形，
，
为的中点，
，
，
，
的面积，
故选：．
根据位似图形的性质得到，求出，与的相似比，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：反比例函数，，
A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；
B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；
C、由于，故函数图象不经过点，故本选项说法不正确；
D、当，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，故本选项说法正确；
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征对选项进行判断；根据反比例函数的性质对、、进行判断．
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．
【解答】
解：
A.由，则，A正确；
B.由，则，B正确；
C.由，则，C正确；
D.由，则，D错误；
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是反比例函数系数的几何意义，即在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值；在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，过作轴，点为垂足，再根据反比例函数系数的几何意义分别求出四边形、、的面积，进而可得出结论．
【解答】
解：分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，过作轴，点为垂足，

由反比例函数系数的几何意义可知，，，，
．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
．
在中，，
，
的值为，
故选：．
利用菱形的性质即可计算得出的长，再根据面积法即可得到的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到的长，进而得出结论．
本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分以及菱形的面积计算方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
∽，
，
，
，
，故正确；

设，，则，
，，
，
，而，
∽，
，即，
，
，
故正确；

如图，过作交于，交于，

，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
于点，，
，
垂直平分，
，故正确；

四边形是矩形，
，，，
于点，
，，
∽，故正确；

如图，连接，

由∽，可得，
设的面积为，则的面积为，的面积为，
的面积为，
是的中点，
的面积为，
四边形的面积为，
，故正确．
故选：．
依据∽，即可得出；依据∽，即可得到；过作交于，交于，依据垂直平分，即可得出；依据，，即可得到∽；设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积为，四边形的面积为，进而得出．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
 

11.【答案】 

【解析】解：设，
，，，
；
故答案为：．
设得出，，，然后将其代入，即可求得答案．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握比例变形与设的解题方法．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
∽，
，即，
，
即树的高度为．
故答案为：．
根据题意，易证得∽，根据相似三角形的性质得到，然后利用比例性质求出即可．
本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度测量距离；借助标杆或直尺测量物体的高度．
 

13.【答案】 

【解析】解：，分别为一元二次方程的两个实数根，
，，
则原式

．
故答案为：．
先由方程的解的概念和根与系数的关系得出，，将其代入原式计算可得．
本题主要考查根与系数的关系和方程的解，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
 

14.【答案】： 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，，
，
∽，
，
即，
，
∽，
，
即，
，
：：：．
故答案为：：．
根据平行四边形的性质得到，，，再证明∽，利用相似的性质得到，证明∽，利用相似比得到，所以，然后计算：的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，分别过、两点作轴的垂线，交轴于点、，
，
设，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
曲线经过点、，
，
解得，
作轴于，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
；
故答案为．
分别过、两点作轴的垂线，交轴于点、，则，设，利用矩形的性质可得，根据平行线得性质则可求得点横坐标，且可求得，根据反比例函数系数，得到，求得，作轴于，通过证得∽，求得，得出得坐标，可求得．
本题考查了矩形的性质、三角形相似得判定和性质以及反比例函数的几何意义，涉及的知识点较多，注意理清解题思路，分步求解．
 

16.【答案】解：，
，，，
，

，；

，
，
则，
或，
，． 

【解析】利用公式法求解可得；
利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：参赛作文的篇数共篇，
故答案为：；
，
，
扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为：，
故答案为：，；
八年级参加的作文篇数为：，
补全的条形统计图如右图所示；
设七年级的那一篇记为，八年级和九年级的三篇记为，
树状图如下图所示：

由上可得，一共有种可能性，其中七年级特等奖作文被刊登在校报上的可能性有种，
故七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率为．
根据七年级的作文篇数和所占的百分比，可以计算出参赛作文的总篇数；
根据统计图中的数据，可以计算出的值和扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数；
根据中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出八年级参赛作文的篇数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率．
本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形；
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
． 

【解析】先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解本题的关键．
 

19.【答案】解：由题意知，设，，
∽，∽，
，，
，
解得．
答：旗杆的高度为． 

【解析】根据，可得∽，∽，可得，，即可求得的值，即可解题．
本题考查了相似三角形的应用，平行线的性质等知识，本题中列出关于、的关系式是解题的关键．
 

20.【答案】解：设平均下降率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：平均下降率为．
设单价应降低元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
要减少库存，
．
答：单价应降低元． 

【解析】设平均下降率为，利用年该类服装的出厂价年该类服装的出厂价下降率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
设单价应降低元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，利用每天销售该服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合要减少库存即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：过点作轴于点，
直线经过点，
，
解得，，
对于直线，当时，，
点的坐标为，即，
，
∽，
，即，
解得：，，
，
点的坐标为，
；
轴，
点的纵坐标为，
点的横坐标为，即，
的面积；
，
设，
当时，点的坐标为，
点在反比例函数上，
，
解得，舍去，，
当时，点的坐标为，
点在反比例函数上，
，
解得，舍去，，
综上所述，的值为或． 

【解析】过点作轴于点，把点坐标代入直线解析式中求出，求出点坐标，再用相似三角形的性质求出、，求出点坐标，即可求出；
先求出点坐标，求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
先求出，设出点坐标，分、两种情况，表示出点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求解，即可得出结论．
本题考查的是反比例函数知识的综合运用，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质、反比例函数点的坐标特征等，用方程的思想解决问题是解本题的关键，同时要注意分类讨论．
 

22.【答案】  

【解析】解：如图，延长交于．

四边形，四边形都是矩形，
，，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
故答案为；
如图，连接，
在中，，
在中，，
，，
，
由旋转的性质可得，
∽，
；

结论：不变．，
理由：如图，连接，．

在中，，
，，
，
由旋转的性质可得，
∽，
；
如图，当点落在的延长线上时，

在中，，，
，
，
由可知，
；
如图，当点落在上时，，

综上所述，满足条件的的值为或．
如图，延长交于在解直角三角形求出，即可解决问题；连接，通过证明∽，即可求解；
如图，连接，通过证明∽，即可求解；
分两种情形：如图中，当点落在上时，利用勾股定理以及中结论即可解决问题．如图中，当点落在上时，同法可得的长．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．