高中10.3 复数的三角形式及其运算图片课件ppt

课后素养落实(八)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．复数－i的三角形式是(　　)

A．cos＋isin　　　 B．cos＋isin

C．cos－isin   D．cos＋isin

A　[－i＝cosπ＋isinπ

＝cos＋isin

＝cos＋isin．]

2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为(　　)

A．   B．或

C．2kπ＋(k∈Z)   D．kπ＋(k∈Z)

D　[因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，

所以cos θ＝sin θ，

即tan θ＝1，

所以θ＝＋kπ(k∈Z)．]

3．复数sin 4＋icos 4的辐角主值为(　　)

A．4      B．－4    C．2π－4      D．－4

D　[sin 4＋icos 4＝cos＋isin．]

4．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是(　　)

A．

B．

C．

D．

A　[因为1＋i＝，

cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，

所以(1＋i)(cos θ－isin θ)

＝

＝．]

5．4(cos π＋isin π)÷2＝(　　)

A．1＋i   B．1－i

C．－1＋i   D．－1－i

C　[4(cos π＋isin π)÷2＝2

＝2＝－1＋i．

故选C．]

二、填空题

6．已知z＝cos＋isin，则arg z2＝________．

π　[因为arg z＝，所以arg z2＝2arg z＝2×＝．]

7．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是________．

1－i　[(1＋i)

＝

＝

＝＝1－i．]

8．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角主值是________．

　[由题知，z1＝2，

z2＝2，

所以的辐角主值为－＝．]

三、解答题

9．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式．

[解]　因为z1＝2，

设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，

所以z1z＝8．

由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)．又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2＝－1＋i．

10．已知z＝－2i，z1－z2＝0，arg z2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1和z2．

[解]　由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，

所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又arg z2＝，

所以z2＝＝＋i，

z1＝z2＝(1＋i)z2＝·＝2＝－＋i．

11．若复数z＝(a＋i)2的辐角主值是，则实数a的值是(　　)

A．1      B．－1    C．－      D．－

B　[因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝，

所以

所以a＝－1，故选B．]

12．设π＜θ＜，则复数的辐角主值为(　　)

A．2π－3θ   B．3θ－2π

C．3θ   D．3θ－π

B　[＝＝cos 3θ＋isin 3θ．

因为π＜θ＜，

所以3π＜3θ＜，

所以π＜3θ－2π＜，

故选B．]

13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg z∈，则z的三角形式为________．

z＝2　[由z2＋2z＋4＝0，

得z＝(－2±2i)＝－1±i．

因为arg z∈，

所以z＝－1－i应舍去，

所以z＝－1＋i＝2．]

14．2(cos 300°＋isin 300°)÷＝________．

－＋i　[2(cos 300°＋isin 300°)÷

＝2÷

＝

＝

＝－＋i．]

15．已知k是实数，ω是非零复数，且满足arg ω＝，(1＋)2＋(1＋i)2＝1＋kω．

(1)求ω；

(2)设z＝cos θ＋isin θ，θ∈[0,2π)，若|z－ω|＝1＋，求θ的值．

[解]　(1)arg ω＝，

可设ω＝a－ai(a∈R)，

将其代入(1＋)2＋(1＋i)2＝1＋kω，

化简可得2a＋2a(1＋a)i＋2i＝ka－kai，

∴

解得

∴ω＝－1＋i．

(2)|z－ω|＝|(cos θ＋1)＋(sin θ－1)i|

＝

＝

＝．

∵|z－ω|＝1＋，

∴＝1＋，

化简得cos＝1．

∵0≤θ<2π，≤θ＋<2π＋，

∴θ＋＝2π，

即θ＝．