2020-2021学年10.3 复数的三角形式及其运算精练

*10.3　复数的三角形式及其运算

基础过关练

题组一　复数的三角形式与辐角主值

1.复数-1+i的三角形式是(　　)

A.2 B.2

C.2 D.2

2.复数z=-sin+icos的辐角主值为(　　)

A. B. C. D.

3.复数z=-+i化成三角形式为　　　　. 

4.复数z=-1+的辐角主值为　　　　. 

5.设z满足=,arg=,求z.

题组二　复数三角形式的乘、除法运算

6.·=(　　)

A.3 B.3

C.3 D.3

7.已知i为虚数单位,z1=(cos 60°+isin 60°),z2=2(sin 30°-icos 30°),则z1·z2=(　　)

A.4(cos 90°+isin 90°) 

B.4(cos 30°+isin 30°)

C.4(cos 30°-isin 30°) 

D.4(cos 0°+isin 0°)

8.复数z=cos +isin 是方程x5-α=0的一个根,那么α的值等于(　　)

A.+i B.+i   C.--i   D.--i

9.复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是(　　)

A.±i B.-±i    C.±+i D.±-i

10.已知i为虚数单位,计算:÷=　　　　. 

11.计算:.

题组三　复数的乘、除法的几何意义及应用

12.将复数1+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转,得到的向量为,那么对应的复数是(　　)

A.2i B.i   C.+i   D.+i

13.将复数1+i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转,得到的向量为,那么对应的复数是(　　)

A.-i B.+i     C.--i D.-+i

14.把复数z1与z2对应的向量,分别按逆时针方向旋转和后,与向量重合且模相等,已知z2=-1-i,求复数z1的代数式和它的辐角主值.

答案全解全析

基础过关练

1.A　解法一:设复数的三角形式为z=r(cos θ+isin θ),则r==2,tan θ=-,可取θ=arg z=,从而复数-1+i的三角形式为2.

解法二:-1+i=×

=2=2.

2.D　z=-sin +icos =cos +isin ,故复数z的辐角主值为.

3.答案　2

解析　如图,

∵r=2,cos θ=-,∴θ=.∴-+i=2.

4.答案　

解析　因为=i,所以=i2 021=i.所以z=-1+i=, 所以复数z的辐角主值为.

5.解析　由已知得=cos +isin,即1-=+i,∴=-i,

∴z==(+i)=1+i.

6.C　原式=×=3.

7.D　∵z2=2(sin 30°-icos 30°)=2·(cos 300°+isin 300°),∴z1·z2=(cos 60°+isin 60°)·2(cos 300°+isin 300°)=4(cos 360°+isin 360°)=4(cos 0°+isin 0°),故选D.

8.B　由题意得,α==cos +isin =+i.

9.D　∵-i=cos +isin ,

∴-i的立方根为cos+isin(其中k=0,1,2).

当k=0时,得cos+isin=i;当k=1时,得cos+isin=--i;

当k=2时,得cos+isin=-i.故选D.

10.答案　-+i

解析　原式==

==-+i.

11.解析　原式=

=×=

==-i.

12.B　复数1+i的三角形式是,向量对应的复数是×==i.

13.A　复数1+i的三角形式是2,向量对应的复数是=2=-i.

14.解析　由复数乘法的几何意义得z1=z2,

又z2=-1-i =2,

∴z1==2

=-+i,∴z1的辐角主值为.