高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3 数学建模活动的主要过程精练

第一章预备知识

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列命题正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

2. 已知，，且，则xy最大值为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 已知，则正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D. a、b大小不定

4. “”是“”的条件(    )

A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要

5. 某公司每个月的利润单位：万元关于月份的关系式为，则该公司某一年的12个月中，利润大于100万元的月份共有(    )

A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个

6. 已知正实数a，b满足，则的最小值为(    )

A. 10 B. 11 C. 13 D. 21

7. 已知a，b，c，d是四个互不相等的正实数，满足，且，则下列选项正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 若不等式的解集为R，则a的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 设，，则下列不等式中恒成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若，则下列不等式中恒成立的有(    )

A.  B.
C.  D.

11. 解关于x的不等式：，下列说法正确的是   

A. 当时，不等式的解集为
B. 当时，不等式的解集为
C. 当时，不等式的解集为
D. 当时，不等式的解集为

12. 若不等式对一切实数x恒成立，则实数m的可能取值范围是(    )

A. 0 B. 2 C.  D. 4

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知关于x的不等式的解集是则__________.
14. 若函数只有一个零点，则实数a的取值集合是__________.
15. 两个正实数a，b满足，则满足恒成立的m取值范围为__________.
16. 某汽车以的速度在高速公路上均速行驶考虑到高速公路行车安全，要求时，每小时的油耗所需要的汽油量为，其中k为常数.若汽车以的速度行驶，每小时油耗为，欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的取值范围为__________

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知a，b，c为互不相等的正数，且，求证：
18. 本小题分
    已知
    若的解集为，求关于x的不等式的解集；
    解关于x的不等式
19. 本小题分

已知正数a、满足，求ab的最小值；

已知，求函数的最大值.

20. 本小题分

湖北省天门市高一期末]在①，②关于x的不等式的解集为，③一次函数的图象过，两点这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．

问题：已知__________，求关于x的不等式的解集．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

21. 本小题分
    如图，一份矩形宣传单的排版面积矩形为P，它的两边都留有宽为acm的空白，顶部和底部都留有宽为2acm的空白．
     

若，，且该宣传单的面积不超过，求a的取值范围；

若，，则当AB长多少时，才能使纸的用量最少？

22. 本小题分

已知二次函数

是否存在实数a，b，使不等式的解集是？若存在，求实数a，b的值，若不存在，请说明理由；

若a为整数，，且方程在上恰有一个实数根，求a的值．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的性质，属于基础题.
利用不等式的性质和取特值法一一判定即可.

【解答】

解：当，时，A，B选项中的不等式都不成立；故不正确；
对于C，若，则，则，故正确；
对于D，取 不等式不成立，故D不正确；
故选

2.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力，属于基础题．
根据基本不等式可知，，进而根据的值求得答案．

【解答】

解：，，且，
由基本不等式可得，，
当且仅当时，等号成立，
故xy最大值为
故选：

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的大小比较，利用分子有理化，将根式进行化简是解决本题的关键．
利用分子有理化，结合不等式的性质比较大小，即可得到结论．

【解答】

解：，
，
，

，，
，
，
即，
故选

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查充分、必要条件，基本不等式，属基础题目.
结合题干，利用基本不等式及充分、必要条件的定义判断即可.

【解答】

解：由题意，
而，
“”是“”的充分不必要条件，
故选

5.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查一元二次不等式的实际应用及一元二次不等式解法，属于基础题.
结合题意得到关于n的不等式，解出即可.

【解答】

解：根据题意得：，
解得：或，
因为，，
故，2，7，8，9，10，11，12，共8个月.
故选

6.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【解答】

解：正实数a，b满足，
则，
，
，
当且仅当且即，时取等号，
故选：

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于中档题．
取特殊值排除即可得解．

【解答】

解：取，，，，
则此时  ，
，
，
因为，
所以，
可排除A，C；
取，，，，
则此时，
可排除B；
故选：

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的解法，运用了分类讨论的数学思想方法，本题的易错点是容易忽略对的讨论．属于中档题．
对a进行分类讨论，当时，恒成立，当时，利用二次函数的性质，列出不等关系式，求解即可得答案，最后求两种情况的并集即可．

【解答】

解：不等式的解集为R，
①当，即时，不等式为恒成立，故符合题意；
②当，即时，不等式的解集为R，
即不等式的解集为R，
则，
解得，
故符合题意．
综合①②可得，实数a的取值范围是
故选

9.【答案】CD 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质，属于基础题.
通过举反例说明选项A，B错误，通过不等式的性质判断出C、D正确.

【解答】

解：例如，，此时满足，有，故A错误；
B.例如，，此时满足，但，故B错误；
C.由，得，由，得，故C正确；
D.因为，，所以，则满足，故D正确.
故选

10.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的运用.
利用基本不等式逐项判断即可.

【解答】

解：对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确;
对于B，虽然，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，B不成立;
，，，
当且仅当且时，即或时等号成立，C正确，
，，，当且仅当时等号成立，D正确.
故选

11.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.
对a的取值进行分类讨论，利用选项A，B，C，D分别进行判断，然后即可得.

【解答】

解：对A：当时，，
即，故A正确；
对B：当时，
，
即，
所以或，故B正确；
对C：当时，
，
即，
因为，
所以 ，故C正确；
对D：当时，
，
即，
因为，
所以，故D错误.
故选

12.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题；
当，符合题意时，由题意得即可求解；

【解答】

解：①，即时，，符合题意;
②时，由题意得：
，
解得：
综上所述：，
故选BC
 

13.【答案】2 

【解析】

【分析】

此题考查了分式不等式的解法，考查了转化的数学思想，是一道基础题．
把代入不等式中得到解集不是原题的解集，故a不为0，所以把不等式转化为大于0，根据已知解集的特点即可求出a的值．

【解答】

解：由不等式判断可得，
所以原不等式等价于，
由解集特点可得且，
则
故答案为：2

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数零点和一次和二次函数，属于基础题.
利用函数零点的概念，结合二次函数和一元二次方程的关系得结论.

【解答】

解：当时，  函数有且仅有一个零点，所以为所求，
当时，函数有且仅有一个零点，即方程有两个相等的根，
则，所以
因此实数a的取值为0、 
故答案为

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的运用，以及不等式恒成立问题解法，考查运算能力，属于中档题．
由基本不等式和“1”的代换，可得的最小值，再由不等式恒成立思想可得小于等于最小值，解不等式可得所求范围．

【解答】

解：由，，，
可得，
当且仅当，上式取得等号，
由题意可得恒成立，
即有，解得
故答案为

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于较难题．
将代入每小时的油耗，解方程可得，由题意可得，解不等式可得x的范围.

【解答】

解：设每小时的油耗所需要的汽油量为y，
由题意可得，
当时，，
，
解得，
，
每小时的油耗不超过9L，
，
即，
解得，
又，
可得，
欲使每小时的油耗不超过9升，x的取值范围为，
故答案为

17.【答案】证：，b，c为互不相等的正数，且，

故原不等式成立．

【解析】本题考查不等式的证明，属于基础题.
根据基本不等式以及题干已知可得，，，即可得证.
 

18.【答案】解：由题意得：，是方程的根，
代入方程，解得，
故原不等式等价于，
解得：或，
所以不等式的解集为；
当时，原不等式可化为，解集为
当时，原不等式可化为，
解集为，
当时，原不等式可化为，
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为 

【解析】本题考查了解不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于基础题．
根据不等式和方程发关系求出a的值，代入不等式，求出不等式的解集即可；
通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可．
 

19.【答案】解：，
，
又，
，
则，
，则，
当且仅当，时等号成立，
的最小值为
由题意，
，
，，
，当且仅当时等号成立，
，
，
的最大值为 

【解析】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.
由题意，又，则，则，可得结果.
本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于较易题.
由题意，，则，则，即可求解.
 

20.【答案】解：选①若，解得，不符合题意;
若，解得，则符合题意.将代入不等式整理得，解得或，故原不等式的解集为或
选②因为不等式的解集为，所以，解得，将代入不等式整理得，解得或，故原不等式的解集为或
选③由题得解得将代入不等式整理得，解得或，故原不等式的解集为或 

【解析】选①，分两种情况：，或，求得a的值，把a值代入一元二次不等式，即可求得答案．
选②，由，求得a的值，把a值代入一元二次不等式，即可求得答案．
选③，由，求得a的值，把a值代入一元二次不等式，即可求得答案．
本题考查了集合的关系与不等式的解法和应用问题，是中档题．
 

21.【答案】解：该宣传单的面积为，
由题意可得，
解得，
又，
故；
设，则，
则该宣传单的面积为
，
当且仅当，即时等号成立，
故当AB长20cm，才能使纸的用量最少. 

【解析】本题考查一元二次不等式的解法，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.
由题意得到，求解即可；
设，则，则该宣传单的面积为，利用基本不等式求解即可.
 

22.【答案】解：不等式的解集为，
方程的两根是1，
则，解得，，
又当时，不等式的解集不可能为，
不存在实数a，b使不等式的解集是
，
对于方程，
，
方程有两个不相等的实数根.
又方程在上恰有一个实数根，
，
解得，又， 

【解析】本题考查二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系.
由一元二次不等式的解法可知的两根是1，利用根与系数之间的关系求出a，b的值进行检验即可求解；
将代入原方程得：，由该方程的可知有两个不等的实数根，再由零点存在性定理列不等式，结合即可求解.