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【高考大一轮单元复习】高考数学单元复习讲义与检测-专题06《平面向量及应用》讲义（新高考专用）
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这是一份【高考大一轮单元复习】高考数学单元复习讲义与检测-专题06《平面向量及应用》讲义（新高考专用）
专题06 平面向量及应用 知识回顾 一、向量的概念及表示 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量、平行，记作．规定：零向量与任一向量平行，即对任一向量，都有． 5．相等向量：相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若向量、相等，则记作． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 7.向量的表示： （1）几何表示：用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． （2）字母表示：用加粗的单个小写字母表示．要注意手写体与印刷体的不同．也可以用两个大写的字母表示向量：（首字母为向量的起点，尾字母为向量的终点） 二、平面向量的线性运算 三、向量的数乘运算及其几何意义 1．定义：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λ，它的长度与方向规定如下： ①|λ|＝|λ|||； ②当λ>0时，λ的方向与的方向相同；当λ<0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0. 2．运算律：设λ，μ是两个实数，则： ①；②；③. 3.向量共线定理： 如果有一个实数，使，那么与是共线向量； 反之，如果与是共线向量，那么有且只有一个实数，使. 4.三点共线的性质定理： (1)若平面上三点共线，则eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→)). (2)若平面上三点共线，为不同于的任意一点，则eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))，且＝1. 【温馨提示】(1)如果两个向量起点相同，终点相同，那么这两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点． (2)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．． (3)两个重要的结论： ①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； ②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． 四、平面向量的基本定理及坐标表示： 1.平面向量基本定理 如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2.平面向量基本定理及其应用策略：平面向量基本定理又称向量的分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础. 用平面向量基本定理解决问题常用的思路是：先选择一组合适的基底，然后用平面向量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．这对基底没有给定的情况下，合理的选取基底解决问题带来很多意想不到的便利.要熟练应用分点及中 点的向量表达式.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 3.平面向量的坐标运算 1）平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2)平面向量的坐标表示: (1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标． (2)若，则． 3）平面向量的坐标运算 (1)若，则； (2)若，则． (3)设，则，. 【温馨提示】 1.平面向量的坐标运算技巧：向量的坐标表示又是向量的代数表示，是向量数与形的完美结合.向量的坐标运算主要利用加、减、乘的运算法则进行的运算，如果已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量坐标，提示向量的坐标一定是有向线段的终点坐标减去起点坐标. 比如：，则 2.注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息． 五、平面向量的数量积： 一）主要公式： 1.向量的数量积：已知两个非零向量、，它们的夹角为，则·=. 若=(,),=(,)，则·=. 2.向量的模：若=，则||=. 3.两向量的夹角余弦值：. 4.向量垂直的等价条件：. 二）主要知识点： 1.两个向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB＝θ 叫做向量与的夹角． 夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时， 夹角θ＝180°. （3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥. 2.平面向量数量积： （1）已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作， 即＝，其中θ是与的夹角． 规定. 当⊥时，θ＝90°，这时. （2）的几何意义： 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 3.向量数量积的性质： （1），. （2）(θ为与的夹角). （3）. 4.数量积的运算律 （1）交换律：. （2）分配律： （3）对. 5.数量积的坐标运算：设，有下面的结论： （1）. （2）. （3） （4）(θ为与的夹角). 六、常见的向量法解决简单的平面几何问题： 1.垂直问题: (1)对非零向量与, . (2)若非零向量 . 2.平行问题: (1)向量与非零向量共线,当且仅当存在唯一一个实数,使得 . (2)设是平面向量,则向量与非零向量共线 . 3.求角问题: (1)设是两个非零向量,夹角记为,则 . (2)若是平面向量,则 . 4.距离（长度）问题: (1)设,则 ,即 . (2)若,且,则 . 【答案】1. 2.(1),(2) 3.(1),(2). 4.(1)(2). 常考题型 1.平面向量的概念及线性运算： 【例题1-1】给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的命题有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】①忽略了0与的区别，应该是； ②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定； ③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等； ④当时，可以为任意向量，故不一定平行于.故选A. 【点睛】本题考查零向量的定义，共线向量的定义，注意④当时的讨论，是易错题. 【自我提升】给出下列命题： ①两个长度相等的向量一定相等； ②零向量方向不确定； ③若为平行六面体，则； ④若为长方体，则． 其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】 对①，方向不一定相同；对②，根据零向量的定义可知正确；对③，两个向量的方向不相同；对④，利用向量加法进行运算. 【详解】 对①，方向不一定相同，故①错误； 对②，根据零向量的定义可知正确，故②正确； 对③，两个向量的方向不相同，故③错误； 对④，利用向量加法进行运算得：，，故④错误； 故选：D. 【点睛】 本题考查向量的基本概念及向量加法的几何意义，考查对概念的理解，属于基础题. 【例题1-2】设点O是正方形的中心，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．与共线 D． 【答案】D 【解析】如图，与的方向相同，长度相等，A正确； ，，三点在一条直线上，，B正确； ，与共线，C正确； 与的方向不同，，D错误. 故选D． 【点睛】本题考查相等向量、共线向量.熟练掌握相等向量和共线向量的定义是解决本题的关键. 【自我提升】如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由正六边形性质得线段的长度关系及平行关系，然后判断． 【详解】 如图正六边形ABCDEF，设其边长为a，依次分析选项： 对于A、由正六边形的性质可得AB与OC平行且相等，则有，故A正确； 对于B、由正六边形的性质可得AB与DE平行，即∥，故B正确； 对于C、在正六边形ABCDEF中，AD与BE均过中心O，则有AD＝BE＝2a， 即有||＝||，故C正确； 对于D、在正六边形ABCDEF中，ACa，BE＝2a，则||≠||，故D错误； 故选：D． 【例题1-3】已知在边长为2的菱形中．．则________. 【答案】 【分析】根据条件解直角三角形即可. 【详解】易知且， 设与交于点D， 则． 在中，易得，即， . 故答案为：. 【点睛】本题考核向量在几何中的应用. 【自我提升】若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中D在边上运动），则向量的模的最小值为_________. 【答案】 【分析】 由题意可得，当D为BC的中点时，此时向量长度最小，问题得以解决． 【详解】 根据题意，在正三角形中，有向线段的长度最小时，应与边垂直，有向线段的长度的最小值为正三角形的高， 即向量的模的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及向量的模. 【例题1-4】如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：. 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形及向量相等的定理即可证明； 【详解】因为，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且. 又与的方向相同，所以. 同理可证，四边形是平行四边形，所以. 因为，，所以， 又与的方向相同，所以 【点睛】本题考查向量相等的定义的应用. 【例题1-5】化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案. 【详解】对于①：， 对于②：， 对于③：， 对于④：， 所以结果为的个数是， 故选：B 【例题1-6】已知，则的取值范围是__________． 【答案】[3，13] 【解析】∵，∴=||，∴≤≤，即3≤≤13．故答案为：[3，13]． 【点睛】本题考查的知识点是两向量的和或差的模的最值，两向量反向，差的模有最大值，两向量反向，差的模有最小值是解答本题的关键． |a–b|、|a|–|b|、|a|+|b|三者的大小关系 （1）当向量a与b共线时， 当两非零向量a与b同向时，|a–b|=|a|–|b|<|a|+|b|； 当两非零向量a与b反向时，|a–b|=|a|+|b|>|a|–|b|； 当a与b中至少有一个为零向量时，|a–b|=|a|–|b|=|a|+|b|． （2）当两非零向量a与b不共线时，如在△ABC中，AC=a， AB=b，则BC=AC–AB=a–b，根据三角形中任意两边之差总小于 第三边，任意两边之和总大于第三边，可得||a|–|b||<|a–b|<|a|+|b|． 综合可知，对任意的向量a与b都有||a|–|b||≤|a–b|≤|a|+|b|． 只当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时||a|–|b||≤|a–b|中的等号成立； 当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时|a–b|≤|a|+|b|中的等号成立． 【例题1-7】如图，、在线段上，且，试探求与的关系，并证明之. 【答案】相等， 证明见解析 【分析】 求与的关系为相等，利用向量加法的三角形法则即可证明. 【详解】 证明：由向量加法三角形法则知：， 所以， 因为， 所以， 所以 【点睛】 本题主要考查了向量的加法法则，相反向量，属于中档题. 【例题1-8】如图所示，已知在矩形中，，.设，求. 【答案】 【分析】 延长直线,使得直线上一点满足,同理,延长直线,使得直线上一点满足,画出图形,则,进而求解即可 【详解】 延长直线,使得直线上一点满足,同理,延长直线,使得直线上一点满足, 如图所示, 则,, 则 【点睛】本题考查向量的加法,减法在几何中的应用,考查向量的模. 【例题1-9】等于( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用平面向量的线性运算化简可得结果. 【详解】 原式. 故选：B. 【例题1-10】如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N是BD上一点，BN=BD，求证：M，N，C三点共线． 【答案】证明详见解析． 【解析】设，， ∴， =3， ∴， 又，有公共点M， ∴M，N，C三点共线． 【点睛】两向量共线是我们研究向量间一种比较重要的位置关系，应掌握常见的向量共线的判定方法．用解释；用解释或与共线．证明三点共线，可先在三点中选择起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使两向量相等．把向量共线问题转化为寻求实数使向量相等的问题． 【例题1-11】已知向量，，且，求向量． 【答案】 【分析】 利用向量的线性运算化简即可求解. 【详解】 因为， 所以， 所以，可得. 【例题1-12】在平行四边形中，点N在上，，M为中点，求证：M，N，C三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】 利用向量的运算及向量共线定理可得. 【详解】 证明：如图，因为M为中点， 所以. 因为，， 所以. 所以. 因为， 所以，是共线向量，即M，N，C三点共线. 【自我提升1】设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考点是平面向量的加减法运算法则，由题意可知在三角形BAO中： ，故选A. 【自我提升2】设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则( )． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题的考点是平面向量的加法、减法法则，线段中点的性质，考查转化能力，用向量法表示三角形中线的性质要引起重视，由题意可知D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，所以有以下结论：，故选A. 【自我提升3】已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（ ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】D 【分析】 由题易得，以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD，交AB于点O，进而可得，进而可得，所以CG所在的直线CO是AB边上的中线，同理可证AG所在的直线是BC边上的中线，BG所在的直线是AC边上的中线，最后得出答案即可. 【详解】 因为，所以， 以GA､GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD，交AB于点O，如图所示： 则，所以，点O是AB边的中点， 所以CG所在的直线CO是AB边上的中线， 同理可证AG所在的直线是BC边上的中线，BG所在的直线是AC边上的中线， 所以G点是三角形ABC的重心. 故选：D. 【自我提升4】已知向量，.求证：与是共线向量． 【答案】证明见解析 【分析】 由平面向量共线定理即可证明问题. 【详解】 由题意，，，则，由向量共线定理知与是共线向量． 【自我提升5】如图，设为内一点，且，则与的面积之比为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 作交于点，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出与的比例，再由与的比例，可得到结果. 【详解】 如图，作交于点， 则，由题意，，，且， 所以 又，所以，，即， 所以本题答案为A. 【点睛】 本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键. 2.平面向量的基本定理： 【例题2-1】已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】 根据基底不共线原则判断即可. 【详解】只要两向量不共线便可作为基底， 故对于A选项，，共线，不满足； 对于B选项，，共线，不满足； 对于C选项，共线，不满足； 对于D选项，与不共线，故满足. 故选：D. 【例题2-2】设是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】 在同一平面内,只要两个向量不共线，就可以作为这个平面的一组基底，逐项判断即可. 【详解】 对于A选项：设，是不共线的两个向量，,无解,与不共线，与可以构成一组基底； 对于B选项：设，是不共线的两个向量，,无解，与不共线，与可以构成一组基底； 对于C选项：设，是不共线的两个向量，，，与共线，与不能构成一组基底； 对于D选项：设，是不共线的两个向量，,无解, 与不共线，与可以构成一组基底； 故选：C 【自我提升1】（多选题）是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ） A．λ+μ (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2) D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0 【答案】BC 【分析】 根据平面向量基本定理可以判定ABD，取向量λ+μ与λ2+μ2均为零向量或者λ2+μ2为零向量的特殊情况，可以判定C. 【详解】 由平面向量基本定理可知，A，D是正确的. 对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的. 对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在. 故选:BC. 【点睛】本题考查平面向量基本定理，属基础题，要准确全面掌握平面向量的基本定理的内容和意义.判定C时要注意考虑问题要周密. 【自我提升2】已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ） ①，；②，； ③，． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】 根据平面向量共线定理得到，对于①，故两向量共线；对于②，故两向量共线；对于③不存在实数满足，故不共线. 【详解】 对于①，，，故两向量共线； 对于②，，，故两向量共线； 对于③，， 假设存在 ，因为，是不共线向量， 故得到无解. 故选：A. 【例题2-3】在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记、分别为a，b，则__________（用a，b表示）. 【答案】 【解析】如图，E，F分别为BC，CD的中点， ∵A，H，F三点共线，∴存在实数λ，使，∵D，H，E三点共线，∴存在μ，使， ∴， ∴根据平面向量基本定理得：，解得，∴．故答案为：． 【点睛】利用平面向量基本定理解题的策略： （1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算． （2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式． 【自我提升】（多选题）四边形中，，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】 利用向量的线性运算将用基底和表示，与选项比较即可得正确选项. 【详解】 对于选项A：，故选项A不正确； 故选项B正确； ，故选项C不正确， ，故选项D正确； 故选：BD 【例题2-4】如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】 选取为基底将向量进行分解，然后与条件对照后得到的值． 【详解】 选取为基底， 则， 又， 将以上两式比较系数可得． 故选D． 【点睛】 应用平面向量基本定理应注意的问题 （1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，合理地选择基底会给解题带来方便； （2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算； （3）一个向量按照同一组基底进行分解后，所得结果具有唯一性． 【自我提升】如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中线所在向量结合向量加减法，不难把转化为，得解． 【详解】 ∵ ，故选D． 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查平面向量线性运算，属于基础题. 3.平面向量的数量积及坐标运算： 【例题3-1】设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ） A． B．与不垂直 C． D． 【答案】ACD 【分析】A，由平面向量数量积的运算律可判断；B，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A，由平面向量数量积的运算律，可知A正确； 选项B，， ∴与垂直，即B错误； 选项C，∵与不共线， ∴若，则显然成立； 若，由平面向量的减法法则可作出如下图形： 由三角形两边之差小于第三边，可得.故C正确； 选项D，，即D正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题. 【例题3-2】已知，，与的夹角是，计算： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用平面向量数量积的运算性质可计算得出的值； （2）由平面向量数量积的运算性质可计算得出的值. 【详解】 （1）； （2） . 【自我提升】已知，且，，，求的值. 【答案】. 【分析】 依题意可得，再根据平面向量数量积的运算律可得，同理求出，，即可得解； 【详解】 解：因为，所以，所以 可得：，故：. 同理可得，， 所以； 【例题3-3】若，，，则______． 【答案】 【分析】 利用数量积的定义即可求解. 【详解】 因为，，， 则， 故答案为：. 【自我提升】已知，，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影的数量等于______． 【答案】 【分析】 根据向量投影的定义即可求解. 【详解】 向量在向量上的投影的数量是， 故答案为：. 【例题3-4】在中，，，，则______． 【答案】 【分析】 根据题意，结合数量积的计算公式，即可求解. 【详解】 根据题意，由， 得，因为，所以. 故答案为：. 【例题3-5】已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】 （1）根据，代入数值，即可求出结果； （2）因为，所以或，再根据即可求出结果； （3）因为，所以，再根据即可求出结果. 【解析】（1）因为，，，所以； （2）因为，所以或， 当时，； 当时，； 所以的值为或. （3）解：因为，所以，所以. 【例题3-6】在中，，，当时，判断的形状． 【答案】直角三角形或钝角三角形. 【分析】 根据向量数量积的定义可得，即有或，由此可得答案. 【详解】因为在中，，， ， 所以，即，又，所以，即， 所以或， 所以是直角三角形或钝角三角形. 【自我提升】若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】 由平面向量的线性运算，把给定的等式转化为用含的边的向量等式，再由模的意义即可得解. 【详解】 中， 因与均为非零向量，则，即，是直角三角形. 故选：B 【例题3-7】以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使A=90°，则的坐标为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】 设出点的坐标，求出向量的坐标表示，利用，求出点的坐标，进而求出的坐标表示. 【详解】 设，，因为三角形OAB是等腰直角三角形，且,所以,即,解方程组得 或所以或,故本题选B. 【点睛】 本题考查了向量坐标表示，考查了等腰三角形的性质，以及平面向量数量积的应用，向量模的计算公式. 【自我提升】已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由旋转得到点B的坐标，从而得解. 【详解】 向量（5，12）， 将绕原点按逆时针方向旋转90°得到，点B的坐标（﹣12，5），如图： 所以． 故选D． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，属于基础题. 【例题3-8】已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：因为向量，，， 所以， 又，， 所以，解得， 所以向量的坐标为， 故选：D. 【自我提升】已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ） A．0 B．48 C． D． 【答案】C 【详解】 由题意，得， 又与反向共线，故，此时， 故. 故选：C. 4. 平面向量的综合应用： （1）在平面几何中的应用 【例题4-1】如图，已知四边形是梯形，，，，，分别是，，，的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算直接计算. 【详解】如图，连接交于，连接，，则四边形和四边形都是平行四边形， 所以，， 则， 故选：C. 【自我提升1】已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】 取、分别是、中点，根据向量的加法运算以及向量共线可得，再由三角形的相似比即可求解. 【详解】 如下图所示，、分别是、中点， 由 得即，所以， 由，， 设，， 则，， 由三角形相似比可得，解得， 因为，所以，即， 所以， 所以，即的面积与的面积之比是，故选：B. 【自我提升2】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是___________． 【答案】. 【解析】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算.如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD． ， ， 得即故 【例题4-2】设平面内四边形及任一点O，．．若且．则四边形的形状是_________． 【答案】菱形 【分析】 由易得，即为平行四边形，再由即可判断的形状. 【详解】 由得，即， ∴，于是平行且等于， ∴四边形为平行四边形，又，从而， ∴，即四边形为菱形． 故答案为：菱形 【例题4-3】已知中，,边上的高为，求点和向量的坐标. 【解析】设点D坐标（x，y），由AD是BC边上的高可得⊥，且B、D、C共线， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得 ∴点D坐标为（1，1），＝（－1，2）. 【答案】＝（－1，2） （2）在三角函数中的应用： 【例题4-4】已知向量，．设函数，已知在中，内角的对边分别为，若，，，求（）的取值范围. 【解析】 由正弦定理得或 . 因为，所以. 因为+. 所以, ，, 所以 . 【答案】 【例题4-5】在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，则的值是（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】 由坐标知，利用模长公式求得模长，结合三角函数两角差的余弦公式求得结果. 【详解】 由A，B坐标知，， 则 故选：D 【自我提升】已知向量 （1）若，求的值； （2）若求的值。 【解析】⑴因为，所以 于是，故 ⑵由知，所以 从而，即， 于是. 又由知，，所以，或. 因此，或 【答案】（1）（2）. 【例题4-6】已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为， (1)若，求角的大小； (2)在（1）的条件下，，求的最大值. 【答案】(1)(2) 【解析】(1) 由题 所以，即 又因为，所以，. (2)由余弦定理，代入数据得：， 整理得到 解得，当且仅当时，等号成立. 故的最大值为. （3）在解析几何中的应用： 【例题4-7】椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当∠FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是 . 【答案】（） 【解析】法一：F1（－,0）F2（,0）,设P（3cos,2sin）. 为钝角，. ∴ =9cos2－5＋4sin2=5 cos2－1<0. 解得： ∴点P横坐标的取值范围是（）. 法二：F1（－,0）F2（,0）,设P（x,y）. 为钝角， ∴ =. 解得：. ∴点P横坐标的取值范围是（）. 【自我提升】已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))|＝|eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))|，其中O为坐标原点，则实数a的值为________． 【答案】±2 【解析】如图所示，以OA、OB为边作平行四边形OACB， 则由|eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))|＝|eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))|得， 平行四边形OACB是矩形，eq \o(OA,\s\up6(→))⊥eq \o(OB,\s\up6(→)). 由图象得，直线y＝－x＋a在y轴上的截距为±2. （4）在物理学中的应用： 【例题4-8】 如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是 . ] 【答案】10N 【解析】 ∵绳子的拉力是一样的（对称） ，∴OA=OB ，∴四边形OADB为菱形 . ∵∠AOB=120º ，∴∠AOD=60º .又OA=OB=AD ， ∴三角形OAD为等边三角形 ，∴OD=OA . 又根据力的平衡得OD=OC=10 ， ∴OA=10 ，∴OA=OB=10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【例题4-9】作用于同一点的三个力处于平衡状态，若，且与的夹角为，如图所示. （1）求的大小； （2）求的大小. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据三力平衡，可知，平方后代入数值进行计算即可；（2）因为三力平衡可得，然后根据平方去计算夹角大小. 【详解】 （1）由题意，且与的夹角为，. （2），即.，. 【点睛】 本题考查向量中力的合成分解以及向量中的模长转化为数量积的计算，难度较易.对于给出向量模长之间的关系求解夹角时，可采用将模长的等式平方的方法去求解夹角. 【自我提升】已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴. 【自我提升1】已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点 P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 . 【答案】 【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由知是的中点，设，则，由题意，，解得． 【自我提升2】在平面直角坐标系中,为原点,动点满足=1，则的最大值是_________. 【答案】 【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示， 圆的定义与 三角函数的值域. 由题意可知坐标为且,所以动点的轨迹为以为圆心的单位圆,则满足参数方程(为参数且),所以设的坐标为, 则, 因为的最大值为,所以的最大值为 ,故填. 【自我提升3】已知向量 （1）若a∥b，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值． 【解析】（1）因为，，a∥b，所以． 若，则，与矛盾，故． 于是．又，所以． （2）． 因为，所以，从而． 于是，当，即时，取到最大值3； 当，即时，取到最小值． 【答案】（1）；（2）时，取到最大值3；时，取到最小值． 1. 设四边形ABCD中，有，且，则这个四边形是（ ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【答案】D 【分析】由向量的关系得出线段的平行和相等关系，从而可判断四边形的形状. 【详解】 由，可知且，所以四边形是平行四边形. 又，所以平行四边形是菱形. 【点睛】本题考查向量的基本概念问题. 2. 已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（ ） A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部 C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上 【答案】D 【分析】 由向量的运算可得，进而可得解. 【详解】 ∵， ∴， ∴， 即. 故点P在边AC所在的直线上. 故选：D. 3. 在等腰梯形中，，，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 作出示意图，利用数形结合，在梯形中，利用三角形法则即可求解. 【详解】 如图所示： 在三角形中， . 故选：A. 4. 在△中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为三点共线，所以可设，又，所以，，将它们代入，即有，由于不共线，从而有，解得，故选择D. 【考点】向量的基本运算及向量共线基本定理. 5. 已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ） ①，；②，； ③，． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据平面向量共线定理得到，对于①，故两向量共线；对于②，故两向量共线；对于③不存在实数满足，故不共线. 【详解】对于①，，，故两向量共线； 对于②，，，故两向量共线； 对于③，， 假设存在 ，因为，是不共线向量， 故得到无解. 故选：A. 6. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据向量与向量共线，由求解. 【详解】 因为，是两个不共线的向量，且向量与向量共线， 所以，即， 所以，解得， 故选：D 7. 设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ） A．－ B．－ C． D． 【答案】A 【解析】依题意得，， ， 因此在方向上的投影为，故选A． 【点睛】本题考查平面向量的投影，考查平面向量数量积的运算律、定义以及利用平面向量数量积求模，解题时，要理解向量有关的定义，并熟练应用向量数量积的运算律和定义来解题，考查计算能力，属于中等题.利用平面向量数量积的运算律与定义计算出和，可得出在方向上的投影为. 8. 已知平面上三点A、B、C满足则的值等于（ ） A．-25 B．-20 C．-15 D．-10 【答案】A 【分析】通过勾股定理判断出,利用向量垂直的充要条件求出,利用向量的运算法则及向量的运算律求出值. 【详解】由得，所以， 所以 故答案为. 【点睛】 本题主要考查平面向量的线性运算及平面向量的数量积,属于中档题.数量积的运算主要注意两点：一是向量的平方等于向量模的平方；二是平面向量数量积公式. 9. 已知正方形的边长为，向量，满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】 把，作为基底结合正方形性质即可. 【详解】 由条件可，所以，A正确； ，与不垂直，B错误； ，C错误； ，根据正方形的性质有，所以，D正确. 故选: AD 【点睛】选择恰当的基底是解决问题的关键，注意特定图形的性质运用. 10.在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为___________． 【答案】-3 【解析】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴； ∴a=b+2，或b=a+2；且；∴； 当a=b+2时，； ∵b2+2b﹣2的最小值为； ∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3． 11.在平行四边形ABCD中，，若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+μ=_______. 【答案】 【分析】 利用向量的加减法及数乘化简可得=，又计算即可. 【详解】 由平面向量的加法运算，有. 因为=λ+μ=λ()+μ()=λ+μ =. 所以， 即解得 故答案为：或1.2 12.如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，. （1）求证：； （2）求. 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 (1)本题首先可以根据勾股定理得出是直角三角形，然后根据点为半圆上一点得出，最后根据即可得出结果； (2)本题首先可以根据得出，然后根据计算出，最后即可得出结果。 【详解】 (1)由题意知，在中，，，， 所以，是直角三角形， 因为点为半圆上一点，所以 所以，故 (2)因为，所以，， 即，解得，即。 【点睛】本题考查向量平行的证明以及向量的模的计算，若两向量所在直线平行或重合，则说明这两个向量平行，向量所在线段的长即向量的模，考查计算能力，是中档题. 13.已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 【答案】答案见解析. 【分析】 根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向． 【详解】 以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系． 由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限， 向量如图所示， 由已知可得， 为正三角形，所以． 又，， 所以为等腰直角三角形， 所以，． 故向量的模为，方向为东南方向． 14.已知是不共线的三点，且eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))()． (1)若＝1，求证：三点共线； (2)若三点共线，求证：＝1. 【证明】 (1)若＝1，则eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋()eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))＋(eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))， ∴eq \o(OP,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝(eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))， 即eq \o(BP,\s\up6(→))＝eq \o(BA,\s\up6(→))，∴eq \o(BP,\s\up6(→))与eq \o(BA,\s\up6(→))共线． 又∵eq \o(BP,\s\up6(→))与eq \o(BA,\s\up6(→))有公共点，则三点共线． (2)若三点共线，则存在实数，使eq \o(BP,\s\up6(→))＝eq \o(BA,\s\up6(→))， ∴eq \o(OP,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝(eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))． 又eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→)). 故有eq \o(OA,\s\up6(→))＋(－1)eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))， 即()eq \o(OA,\s\up6(→))＋()eq \o(OB,\s\up6(→))＝. ∵不共线，∴eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))不共线， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))∴＝1. 15.在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值． 【答案】 【分析】 由，化简为，得到点P是AB的一个三等分点（靠近A点），再根据A，M，Q三点共线，设，然后用分别表示向量，再根据求解. 【详解】如图所示： 因为，所以， 所以，即， 所以点P是AB的一个三等分点（靠近A点）， 又因为A，M，Q三点共线，且Q为BC的中点， 设， 则， ， 因为，所以， 则，解得，所以t的值是. 16.点O是梯形对角线的交点，，，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为． （1）用和表示和； （2）若点P在梯形所在平面上运动，且，求的最大值和最小值． 【答案】（1），；（2）最大值和最小值分别为和． 【分析】 （1）根据、可求解出关于和的表示，利用平行对应的线段比例关系求解出的表示； （2）根据向量的三角不等式求解出的最大值和最小值，注意取等条件说明. 【详解】 （1）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以； （2）因为，取等号时三点共线且在中间， 又，取等号时三点共线且在中间， 综上可知，的最大值为，最小值为. 17.已知与的夹角为120°． （1）求与的值； （2）x为何值时，与垂直？ 【答案】（1）；（2）当时，与垂直． 【分析】 （1）先由数量积的定义求出，由数量积的运算性质可得，，将条件及的值代入，可得答案. （2）由与垂直，可得，将条件代入可求出x的值. 【详解】 （1）． ． ． （2）因为， 所以，即． 所以当时，与垂直． 【点睛】 本题考查向量数量积的定义和运算性质，求模长，根据向量垂直其数量积为零求参数的值，属于中档题. 18.已知圆的内接四边形ABCD中，，BC=2，． (1)求四边形ABCD的面积； (2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求的值． 【答案】(1)(2) 【解析】(1) 解：在中， 在中， ∵A，B，C，D四点共圆，∴， ∴，∴，因为，所以， 所以，， (2)解：由（1）可知即外接圆的直径，设的中点为， 所以， ． 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则交换律： 结合律： 减法求与的相反向量 -的和的运算叫做与的差 三角形法则
专题06 平面向量及应用 知识回顾 一、向量的概念及表示 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量、平行，记作．规定：零向量与任一向量平行，即对任一向量，都有． 5．相等向量：相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若向量、相等，则记作． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 7.向量的表示： （1）几何表示：用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． （2）字母表示：用加粗的单个小写字母表示．要注意手写体与印刷体的不同．也可以用两个大写的字母表示向量：（首字母为向量的起点，尾字母为向量的终点） 二、平面向量的线性运算 三、向量的数乘运算及其几何意义 1．定义：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λ，它的长度与方向规定如下： ①|λ|＝|λ|||； ②当λ>0时，λ的方向与的方向相同；当λ<0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0. 2．运算律：设λ，μ是两个实数，则： ①；②；③. 3.向量共线定理： 如果有一个实数，使，那么与是共线向量； 反之，如果与是共线向量，那么有且只有一个实数，使. 4.三点共线的性质定理： (1)若平面上三点共线，则eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→)). (2)若平面上三点共线，为不同于的任意一点，则eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))，且＝1. 【温馨提示】(1)如果两个向量起点相同，终点相同，那么这两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点． (2)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．． (3)两个重要的结论： ①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； ②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． 四、平面向量的基本定理及坐标表示： 1.平面向量基本定理 如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2.平面向量基本定理及其应用策略：平面向量基本定理又称向量的分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础. 用平面向量基本定理解决问题常用的思路是：先选择一组合适的基底，然后用平面向量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．这对基底没有给定的情况下，合理的选取基底解决问题带来很多意想不到的便利.要熟练应用分点及中 点的向量表达式.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 3.平面向量的坐标运算 1）平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2)平面向量的坐标表示: (1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标． (2)若，则． 3）平面向量的坐标运算 (1)若，则； (2)若，则． (3)设，则，. 【温馨提示】 1.平面向量的坐标运算技巧：向量的坐标表示又是向量的代数表示，是向量数与形的完美结合.向量的坐标运算主要利用加、减、乘的运算法则进行的运算，如果已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量坐标，提示向量的坐标一定是有向线段的终点坐标减去起点坐标. 比如：，则 2.注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息． 五、平面向量的数量积： 一）主要公式： 1.向量的数量积：已知两个非零向量、，它们的夹角为，则·=. 若=(,),=(,)，则·=. 2.向量的模：若=，则||=. 3.两向量的夹角余弦值：. 4.向量垂直的等价条件：. 二）主要知识点： 1.两个向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB＝θ 叫做向量与的夹角． 夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时， 夹角θ＝180°. （3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥. 2.平面向量数量积： （1）已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作， 即＝，其中θ是与的夹角． 规定. 当⊥时，θ＝90°，这时. （2）的几何意义： 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 3.向量数量积的性质： （1），. （2）(θ为与的夹角). （3）. 4.数量积的运算律 （1）交换律：. （2）分配律： （3）对. 5.数量积的坐标运算：设，有下面的结论： （1）. （2）. （3） （4）(θ为与的夹角). 六、常见的向量法解决简单的平面几何问题： 1.垂直问题: (1)对非零向量与, . (2)若非零向量 . 2.平行问题: (1)向量与非零向量共线,当且仅当存在唯一一个实数,使得 . (2)设是平面向量,则向量与非零向量共线 . 3.求角问题: (1)设是两个非零向量,夹角记为,则 . (2)若是平面向量,则 . 4.距离（长度）问题: (1)设,则 ,即 . (2)若,且,则 . 【答案】1. 2.(1),(2) 3.(1),(2). 4.(1)(2). 常考题型 1.平面向量的概念及线性运算： 【例题1-1】给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的命题有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】①忽略了0与的区别，应该是； ②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定； ③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等； ④当时，可以为任意向量，故不一定平行于.故选A. 【点睛】本题考查零向量的定义，共线向量的定义，注意④当时的讨论，是易错题. 【自我提升】给出下列命题： ①两个长度相等的向量一定相等； ②零向量方向不确定； ③若为平行六面体，则； ④若为长方体，则． 其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】 对①，方向不一定相同；对②，根据零向量的定义可知正确；对③，两个向量的方向不相同；对④，利用向量加法进行运算. 【详解】 对①，方向不一定相同，故①错误； 对②，根据零向量的定义可知正确，故②正确； 对③，两个向量的方向不相同，故③错误； 对④，利用向量加法进行运算得：，，故④错误； 故选：D. 【点睛】 本题考查向量的基本概念及向量加法的几何意义，考查对概念的理解，属于基础题. 【例题1-2】设点O是正方形的中心，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．与共线 D． 【答案】D 【解析】如图，与的方向相同，长度相等，A正确； ，，三点在一条直线上，，B正确； ，与共线，C正确； 与的方向不同，，D错误. 故选D． 【点睛】本题考查相等向量、共线向量.熟练掌握相等向量和共线向量的定义是解决本题的关键. 【自我提升】如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由正六边形性质得线段的长度关系及平行关系，然后判断． 【详解】 如图正六边形ABCDEF，设其边长为a，依次分析选项： 对于A、由正六边形的性质可得AB与OC平行且相等，则有，故A正确； 对于B、由正六边形的性质可得AB与DE平行，即∥，故B正确； 对于C、在正六边形ABCDEF中，AD与BE均过中心O，则有AD＝BE＝2a， 即有||＝||，故C正确； 对于D、在正六边形ABCDEF中，ACa，BE＝2a，则||≠||，故D错误； 故选：D． 【例题1-3】已知在边长为2的菱形中．．则________. 【答案】 【分析】根据条件解直角三角形即可. 【详解】易知且， 设与交于点D， 则． 在中，易得，即， . 故答案为：. 【点睛】本题考核向量在几何中的应用. 【自我提升】若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中D在边上运动），则向量的模的最小值为_________. 【答案】 【分析】 由题意可得，当D为BC的中点时，此时向量长度最小，问题得以解决． 【详解】 根据题意，在正三角形中，有向线段的长度最小时，应与边垂直，有向线段的长度的最小值为正三角形的高， 即向量的模的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及向量的模. 【例题1-4】如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：. 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形及向量相等的定理即可证明； 【详解】因为，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且. 又与的方向相同，所以. 同理可证，四边形是平行四边形，所以. 因为，，所以， 又与的方向相同，所以 【点睛】本题考查向量相等的定义的应用. 【例题1-5】化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案. 【详解】对于①：， 对于②：， 对于③：， 对于④：， 所以结果为的个数是， 故选：B 【例题1-6】已知，则的取值范围是__________． 【答案】[3，13] 【解析】∵，∴=||，∴≤≤，即3≤≤13．故答案为：[3，13]． 【点睛】本题考查的知识点是两向量的和或差的模的最值，两向量反向，差的模有最大值，两向量反向，差的模有最小值是解答本题的关键． |a–b|、|a|–|b|、|a|+|b|三者的大小关系 （1）当向量a与b共线时， 当两非零向量a与b同向时，|a–b|=|a|–|b|<|a|+|b|； 当两非零向量a与b反向时，|a–b|=|a|+|b|>|a|–|b|； 当a与b中至少有一个为零向量时，|a–b|=|a|–|b|=|a|+|b|． （2）当两非零向量a与b不共线时，如在△ABC中，AC=a， AB=b，则BC=AC–AB=a–b，根据三角形中任意两边之差总小于 第三边，任意两边之和总大于第三边，可得||a|–|b||<|a–b|<|a|+|b|． 综合可知，对任意的向量a与b都有||a|–|b||≤|a–b|≤|a|+|b|． 只当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时||a|–|b||≤|a–b|中的等号成立； 当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时|a–b|≤|a|+|b|中的等号成立． 【例题1-7】如图，、在线段上，且，试探求与的关系，并证明之. 【答案】相等， 证明见解析 【分析】 求与的关系为相等，利用向量加法的三角形法则即可证明. 【详解】 证明：由向量加法三角形法则知：， 所以， 因为， 所以， 所以 【点睛】 本题主要考查了向量的加法法则，相反向量，属于中档题. 【例题1-8】如图所示，已知在矩形中，，.设，求. 【答案】 【分析】 延长直线,使得直线上一点满足,同理,延长直线,使得直线上一点满足,画出图形,则,进而求解即可 【详解】 延长直线,使得直线上一点满足,同理,延长直线,使得直线上一点满足, 如图所示, 则,, 则 【点睛】本题考查向量的加法,减法在几何中的应用,考查向量的模. 【例题1-9】等于( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用平面向量的线性运算化简可得结果. 【详解】 原式. 故选：B. 【例题1-10】如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N是BD上一点，BN=BD，求证：M，N，C三点共线． 【答案】证明详见解析． 【解析】设，， ∴， =3， ∴， 又，有公共点M， ∴M，N，C三点共线． 【点睛】两向量共线是我们研究向量间一种比较重要的位置关系，应掌握常见的向量共线的判定方法．用解释；用解释或与共线．证明三点共线，可先在三点中选择起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使两向量相等．把向量共线问题转化为寻求实数使向量相等的问题． 【例题1-11】已知向量，，且，求向量． 【答案】 【分析】 利用向量的线性运算化简即可求解. 【详解】 因为， 所以， 所以，可得. 【例题1-12】在平行四边形中，点N在上，，M为中点，求证：M，N，C三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】 利用向量的运算及向量共线定理可得. 【详解】 证明：如图，因为M为中点， 所以. 因为，， 所以. 所以. 因为， 所以，是共线向量，即M，N，C三点共线. 【自我提升1】设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考点是平面向量的加减法运算法则，由题意可知在三角形BAO中： ，故选A. 【自我提升2】设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则( )． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题的考点是平面向量的加法、减法法则，线段中点的性质，考查转化能力，用向量法表示三角形中线的性质要引起重视，由题意可知D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，所以有以下结论：，故选A. 【自我提升3】已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（ ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】D 【分析】 由题易得，以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD，交AB于点O，进而可得，进而可得，所以CG所在的直线CO是AB边上的中线，同理可证AG所在的直线是BC边上的中线，BG所在的直线是AC边上的中线，最后得出答案即可. 【详解】 因为，所以， 以GA､GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD，交AB于点O，如图所示： 则，所以，点O是AB边的中点， 所以CG所在的直线CO是AB边上的中线， 同理可证AG所在的直线是BC边上的中线，BG所在的直线是AC边上的中线， 所以G点是三角形ABC的重心. 故选：D. 【自我提升4】已知向量，.求证：与是共线向量． 【答案】证明见解析 【分析】 由平面向量共线定理即可证明问题. 【详解】 由题意，，，则，由向量共线定理知与是共线向量． 【自我提升5】如图，设为内一点，且，则与的面积之比为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 作交于点，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出与的比例，再由与的比例，可得到结果. 【详解】 如图，作交于点， 则，由题意，，，且， 所以 又，所以，，即， 所以本题答案为A. 【点睛】 本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键. 2.平面向量的基本定理： 【例题2-1】已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】 根据基底不共线原则判断即可. 【详解】只要两向量不共线便可作为基底， 故对于A选项，，共线，不满足； 对于B选项，，共线，不满足； 对于C选项，共线，不满足； 对于D选项，与不共线，故满足. 故选：D. 【例题2-2】设是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】 在同一平面内,只要两个向量不共线，就可以作为这个平面的一组基底，逐项判断即可. 【详解】 对于A选项：设，是不共线的两个向量，,无解,与不共线，与可以构成一组基底； 对于B选项：设，是不共线的两个向量，,无解，与不共线，与可以构成一组基底； 对于C选项：设，是不共线的两个向量，，，与共线，与不能构成一组基底； 对于D选项：设，是不共线的两个向量，,无解, 与不共线，与可以构成一组基底； 故选：C 【自我提升1】（多选题）是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ） A．λ+μ (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2) D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0 【答案】BC 【分析】 根据平面向量基本定理可以判定ABD，取向量λ+μ与λ2+μ2均为零向量或者λ2+μ2为零向量的特殊情况，可以判定C. 【详解】 由平面向量基本定理可知，A，D是正确的. 对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的. 对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在. 故选:BC. 【点睛】本题考查平面向量基本定理，属基础题，要准确全面掌握平面向量的基本定理的内容和意义.判定C时要注意考虑问题要周密. 【自我提升2】已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ） ①，；②，； ③，． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】 根据平面向量共线定理得到，对于①，故两向量共线；对于②，故两向量共线；对于③不存在实数满足，故不共线. 【详解】 对于①，，，故两向量共线； 对于②，，，故两向量共线； 对于③，， 假设存在 ，因为，是不共线向量， 故得到无解. 故选：A. 【例题2-3】在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记、分别为a，b，则__________（用a，b表示）. 【答案】 【解析】如图，E，F分别为BC，CD的中点， ∵A，H，F三点共线，∴存在实数λ，使，∵D，H，E三点共线，∴存在μ，使， ∴， ∴根据平面向量基本定理得：，解得，∴．故答案为：． 【点睛】利用平面向量基本定理解题的策略： （1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算． （2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式． 【自我提升】（多选题）四边形中，，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】 利用向量的线性运算将用基底和表示，与选项比较即可得正确选项. 【详解】 对于选项A：，故选项A不正确； 故选项B正确； ，故选项C不正确， ，故选项D正确； 故选：BD 【例题2-4】如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】 选取为基底将向量进行分解，然后与条件对照后得到的值． 【详解】 选取为基底， 则， 又， 将以上两式比较系数可得． 故选D． 【点睛】 应用平面向量基本定理应注意的问题 （1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，合理地选择基底会给解题带来方便； （2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算； （3）一个向量按照同一组基底进行分解后，所得结果具有唯一性． 【自我提升】如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中线所在向量结合向量加减法，不难把转化为，得解． 【详解】 ∵ ，故选D． 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查平面向量线性运算，属于基础题. 3.平面向量的数量积及坐标运算： 【例题3-1】设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ） A． B．与不垂直 C． D． 【答案】ACD 【分析】A，由平面向量数量积的运算律可判断；B，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A，由平面向量数量积的运算律，可知A正确； 选项B，， ∴与垂直，即B错误； 选项C，∵与不共线， ∴若，则显然成立； 若，由平面向量的减法法则可作出如下图形： 由三角形两边之差小于第三边，可得.故C正确； 选项D，，即D正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题. 【例题3-2】已知，，与的夹角是，计算： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用平面向量数量积的运算性质可计算得出的值； （2）由平面向量数量积的运算性质可计算得出的值. 【详解】 （1）； （2） . 【自我提升】已知，且，，，求的值. 【答案】. 【分析】 依题意可得，再根据平面向量数量积的运算律可得，同理求出，，即可得解； 【详解】 解：因为，所以，所以 可得：，故：. 同理可得，， 所以； 【例题3-3】若，，，则______． 【答案】 【分析】 利用数量积的定义即可求解. 【详解】 因为，，， 则， 故答案为：. 【自我提升】已知，，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影的数量等于______． 【答案】 【分析】 根据向量投影的定义即可求解. 【详解】 向量在向量上的投影的数量是， 故答案为：. 【例题3-4】在中，，，，则______． 【答案】 【分析】 根据题意，结合数量积的计算公式，即可求解. 【详解】 根据题意，由， 得，因为，所以. 故答案为：. 【例题3-5】已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】 （1）根据，代入数值，即可求出结果； （2）因为，所以或，再根据即可求出结果； （3）因为，所以，再根据即可求出结果. 【解析】（1）因为，，，所以； （2）因为，所以或， 当时，； 当时，； 所以的值为或. （3）解：因为，所以，所以. 【例题3-6】在中，，，当时，判断的形状． 【答案】直角三角形或钝角三角形. 【分析】 根据向量数量积的定义可得，即有或，由此可得答案. 【详解】因为在中，，， ， 所以，即，又，所以，即， 所以或， 所以是直角三角形或钝角三角形. 【自我提升】若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】 由平面向量的线性运算，把给定的等式转化为用含的边的向量等式，再由模的意义即可得解. 【详解】 中， 因与均为非零向量，则，即，是直角三角形. 故选：B 【例题3-7】以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使A=90°，则的坐标为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】 设出点的坐标，求出向量的坐标表示，利用，求出点的坐标，进而求出的坐标表示. 【详解】 设，，因为三角形OAB是等腰直角三角形，且,所以,即,解方程组得 或所以或,故本题选B. 【点睛】 本题考查了向量坐标表示，考查了等腰三角形的性质，以及平面向量数量积的应用，向量模的计算公式. 【自我提升】已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由旋转得到点B的坐标，从而得解. 【详解】 向量（5，12）， 将绕原点按逆时针方向旋转90°得到，点B的坐标（﹣12，5），如图： 所以． 故选D． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，属于基础题. 【例题3-8】已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：因为向量，，， 所以， 又，， 所以，解得， 所以向量的坐标为， 故选：D. 【自我提升】已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ） A．0 B．48 C． D． 【答案】C 【详解】 由题意，得， 又与反向共线，故，此时， 故. 故选：C. 4. 平面向量的综合应用： （1）在平面几何中的应用 【例题4-1】如图，已知四边形是梯形，，，，，分别是，，，的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算直接计算. 【详解】如图，连接交于，连接，，则四边形和四边形都是平行四边形， 所以，， 则， 故选：C. 【自我提升1】已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】 取、分别是、中点，根据向量的加法运算以及向量共线可得，再由三角形的相似比即可求解. 【详解】 如下图所示，、分别是、中点， 由 得即，所以， 由，， 设，， 则，， 由三角形相似比可得，解得， 因为，所以，即， 所以， 所以，即的面积与的面积之比是，故选：B. 【自我提升2】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是___________． 【答案】. 【解析】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算.如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD． ， ， 得即故 【例题4-2】设平面内四边形及任一点O，．．若且．则四边形的形状是_________． 【答案】菱形 【分析】 由易得，即为平行四边形，再由即可判断的形状. 【详解】 由得，即， ∴，于是平行且等于， ∴四边形为平行四边形，又，从而， ∴，即四边形为菱形． 故答案为：菱形 【例题4-3】已知中，,边上的高为，求点和向量的坐标. 【解析】设点D坐标（x，y），由AD是BC边上的高可得⊥，且B、D、C共线， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得 ∴点D坐标为（1，1），＝（－1，2）. 【答案】＝（－1，2） （2）在三角函数中的应用： 【例题4-4】已知向量，．设函数，已知在中，内角的对边分别为，若，，，求（）的取值范围. 【解析】 由正弦定理得或 . 因为，所以. 因为+. 所以, ，, 所以 . 【答案】 【例题4-5】在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，则的值是（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】 由坐标知，利用模长公式求得模长，结合三角函数两角差的余弦公式求得结果. 【详解】 由A，B坐标知，， 则 故选：D 【自我提升】已知向量 （1）若，求的值； （2）若求的值。 【解析】⑴因为，所以 于是，故 ⑵由知，所以 从而，即， 于是. 又由知，，所以，或. 因此，或 【答案】（1）（2）. 【例题4-6】已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为， (1)若，求角的大小； (2)在（1）的条件下，，求的最大值. 【答案】(1)(2) 【解析】(1) 由题 所以，即 又因为，所以，. (2)由余弦定理，代入数据得：， 整理得到 解得，当且仅当时，等号成立. 故的最大值为. （3）在解析几何中的应用： 【例题4-7】椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当∠FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是 . 【答案】（） 【解析】法一：F1（－,0）F2（,0）,设P（3cos,2sin）. 为钝角，. ∴ =9cos2－5＋4sin2=5 cos2－1<0. 解得： ∴点P横坐标的取值范围是（）. 法二：F1（－,0）F2（,0）,设P（x,y）. 为钝角， ∴ =. 解得：. ∴点P横坐标的取值范围是（）. 【自我提升】已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))|＝|eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))|，其中O为坐标原点，则实数a的值为________． 【答案】±2 【解析】如图所示，以OA、OB为边作平行四边形OACB， 则由|eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))|＝|eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))|得， 平行四边形OACB是矩形，eq \o(OA,\s\up6(→))⊥eq \o(OB,\s\up6(→)). 由图象得，直线y＝－x＋a在y轴上的截距为±2. （4）在物理学中的应用： 【例题4-8】 如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是 . ] 【答案】10N 【解析】 ∵绳子的拉力是一样的（对称） ，∴OA=OB ，∴四边形OADB为菱形 . ∵∠AOB=120º ，∴∠AOD=60º .又OA=OB=AD ， ∴三角形OAD为等边三角形 ，∴OD=OA . 又根据力的平衡得OD=OC=10 ， ∴OA=10 ，∴OA=OB=10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【例题4-9】作用于同一点的三个力处于平衡状态，若，且与的夹角为，如图所示. （1）求的大小； （2）求的大小. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据三力平衡，可知，平方后代入数值进行计算即可；（2）因为三力平衡可得，然后根据平方去计算夹角大小. 【详解】 （1）由题意，且与的夹角为，. （2），即.，. 【点睛】 本题考查向量中力的合成分解以及向量中的模长转化为数量积的计算，难度较易.对于给出向量模长之间的关系求解夹角时，可采用将模长的等式平方的方法去求解夹角. 【自我提升】已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴. 【自我提升1】已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点 P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 . 【答案】 【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由知是的中点，设，则，由题意，，解得． 【自我提升2】在平面直角坐标系中,为原点,动点满足=1，则的最大值是_________. 【答案】 【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示， 圆的定义与 三角函数的值域. 由题意可知坐标为且,所以动点的轨迹为以为圆心的单位圆,则满足参数方程(为参数且),所以设的坐标为, 则, 因为的最大值为,所以的最大值为 ,故填. 【自我提升3】已知向量 （1）若a∥b，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值． 【解析】（1）因为，，a∥b，所以． 若，则，与矛盾，故． 于是．又，所以． （2）． 因为，所以，从而． 于是，当，即时，取到最大值3； 当，即时，取到最小值． 【答案】（1）；（2）时，取到最大值3；时，取到最小值． 1. 设四边形ABCD中，有，且，则这个四边形是（ ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【答案】D 【分析】由向量的关系得出线段的平行和相等关系，从而可判断四边形的形状. 【详解】 由，可知且，所以四边形是平行四边形. 又，所以平行四边形是菱形. 【点睛】本题考查向量的基本概念问题. 2. 已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（ ） A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部 C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上 【答案】D 【分析】 由向量的运算可得，进而可得解. 【详解】 ∵， ∴， ∴， 即. 故点P在边AC所在的直线上. 故选：D. 3. 在等腰梯形中，，，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 作出示意图，利用数形结合，在梯形中，利用三角形法则即可求解. 【详解】 如图所示： 在三角形中， . 故选：A. 4. 在△中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为三点共线，所以可设，又，所以，，将它们代入，即有，由于不共线，从而有，解得，故选择D. 【考点】向量的基本运算及向量共线基本定理. 5. 已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ） ①，；②，； ③，． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据平面向量共线定理得到，对于①，故两向量共线；对于②，故两向量共线；对于③不存在实数满足，故不共线. 【详解】对于①，，，故两向量共线； 对于②，，，故两向量共线； 对于③，， 假设存在 ，因为，是不共线向量， 故得到无解. 故选：A. 6. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据向量与向量共线，由求解. 【详解】 因为，是两个不共线的向量，且向量与向量共线， 所以，即， 所以，解得， 故选：D 7. 设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ） A．－ B．－ C． D． 【答案】A 【解析】依题意得，， ， 因此在方向上的投影为，故选A． 【点睛】本题考查平面向量的投影，考查平面向量数量积的运算律、定义以及利用平面向量数量积求模，解题时，要理解向量有关的定义，并熟练应用向量数量积的运算律和定义来解题，考查计算能力，属于中等题.利用平面向量数量积的运算律与定义计算出和，可得出在方向上的投影为. 8. 已知平面上三点A、B、C满足则的值等于（ ） A．-25 B．-20 C．-15 D．-10 【答案】A 【分析】通过勾股定理判断出,利用向量垂直的充要条件求出,利用向量的运算法则及向量的运算律求出值. 【详解】由得，所以， 所以 故答案为. 【点睛】 本题主要考查平面向量的线性运算及平面向量的数量积,属于中档题.数量积的运算主要注意两点：一是向量的平方等于向量模的平方；二是平面向量数量积公式. 9. 已知正方形的边长为，向量，满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】 把，作为基底结合正方形性质即可. 【详解】 由条件可，所以，A正确； ，与不垂直，B错误； ，C错误； ，根据正方形的性质有，所以，D正确. 故选: AD 【点睛】选择恰当的基底是解决问题的关键，注意特定图形的性质运用. 10.在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为___________． 【答案】-3 【解析】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴； ∴a=b+2，或b=a+2；且；∴； 当a=b+2时，； ∵b2+2b﹣2的最小值为； ∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3． 11.在平行四边形ABCD中，，若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+μ=_______. 【答案】 【分析】 利用向量的加减法及数乘化简可得=，又计算即可. 【详解】 由平面向量的加法运算，有. 因为=λ+μ=λ()+μ()=λ+μ =. 所以， 即解得 故答案为：或1.2 12.如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，. （1）求证：； （2）求. 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 (1)本题首先可以根据勾股定理得出是直角三角形，然后根据点为半圆上一点得出，最后根据即可得出结果； (2)本题首先可以根据得出，然后根据计算出，最后即可得出结果。 【详解】 (1)由题意知，在中，，，， 所以，是直角三角形， 因为点为半圆上一点，所以 所以，故 (2)因为，所以，， 即，解得，即。 【点睛】本题考查向量平行的证明以及向量的模的计算，若两向量所在直线平行或重合，则说明这两个向量平行，向量所在线段的长即向量的模，考查计算能力，是中档题. 13.已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 【答案】答案见解析. 【分析】 根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向． 【详解】 以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系． 由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限， 向量如图所示， 由已知可得， 为正三角形，所以． 又，， 所以为等腰直角三角形， 所以，． 故向量的模为，方向为东南方向． 14.已知是不共线的三点，且eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))()． (1)若＝1，求证：三点共线； (2)若三点共线，求证：＝1. 【证明】 (1)若＝1，则eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋()eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))＋(eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))， ∴eq \o(OP,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝(eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))， 即eq \o(BP,\s\up6(→))＝eq \o(BA,\s\up6(→))，∴eq \o(BP,\s\up6(→))与eq \o(BA,\s\up6(→))共线． 又∵eq \o(BP,\s\up6(→))与eq \o(BA,\s\up6(→))有公共点，则三点共线． (2)若三点共线，则存在实数，使eq \o(BP,\s\up6(→))＝eq \o(BA,\s\up6(→))， ∴eq \o(OP,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝(eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))． 又eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→)). 故有eq \o(OA,\s\up6(→))＋(－1)eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))， 即()eq \o(OA,\s\up6(→))＋()eq \o(OB,\s\up6(→))＝. ∵不共线，∴eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))不共线， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))∴＝1. 15.在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值． 【答案】 【分析】 由，化简为，得到点P是AB的一个三等分点（靠近A点），再根据A，M，Q三点共线，设，然后用分别表示向量，再根据求解. 【详解】如图所示： 因为，所以， 所以，即， 所以点P是AB的一个三等分点（靠近A点）， 又因为A，M，Q三点共线，且Q为BC的中点， 设， 则， ， 因为，所以， 则，解得，所以t的值是. 16.点O是梯形对角线的交点，，，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为． （1）用和表示和； （2）若点P在梯形所在平面上运动，且，求的最大值和最小值． 【答案】（1），；（2）最大值和最小值分别为和． 【分析】 （1）根据、可求解出关于和的表示，利用平行对应的线段比例关系求解出的表示； （2）根据向量的三角不等式求解出的最大值和最小值，注意取等条件说明. 【详解】 （1）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以； （2）因为，取等号时三点共线且在中间， 又，取等号时三点共线且在中间， 综上可知，的最大值为，最小值为. 17.已知与的夹角为120°． （1）求与的值； （2）x为何值时，与垂直？ 【答案】（1）；（2）当时，与垂直． 【分析】 （1）先由数量积的定义求出，由数量积的运算性质可得，，将条件及的值代入，可得答案. （2）由与垂直，可得，将条件代入可求出x的值. 【详解】 （1）． ． ． （2）因为， 所以，即． 所以当时，与垂直． 【点睛】 本题考查向量数量积的定义和运算性质，求模长，根据向量垂直其数量积为零求参数的值，属于中档题. 18.已知圆的内接四边形ABCD中，，BC=2，． (1)求四边形ABCD的面积； (2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求的值． 【答案】(1)(2) 【解析】(1) 解：在中， 在中， ∵A，B，C，D四点共圆，∴， ∴，∴，因为，所以， 所以，， (2)解：由（1）可知即外接圆的直径，设的中点为， 所以， ． 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则交换律： 结合律： 减法求与的相反向量 -的和的运算叫做与的差 三角形法则
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