【高考大一轮单元复习】高考数学单元复习讲义与检测-专题04《导数及其应用》讲义（新高考专用）

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专题04 导数及其应用 知识回顾 一、导数的概念及运算： 1.导数的概念 (1) 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) . (2)在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作f′(x)(或y′，yx′)，即f′(x)＝y′＝yx′＝，导函数也简称为导数. 2.导数的几何意义 (1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P处的切线． (2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) . (3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 【温馨提示】求切线方程：求曲线过点的切线方程的方法： 1、当点是切点时，切线方程为； 2、当点不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标； 第二步：写出过点的切线方程为； 第三步：经点代入切线方程，求出的值； 第四步：将的值代入可得过点的切线方程. 3.基本初等函数的导数公式 (1)C′＝0；(2)(xα)′＝α·xα－1； (3)(ax)′＝ax·ln a；(4)(logax)′＝eq \f(1,xln a)； (5)(sin x)′＝cos x；(6)(cos x)′＝－sin x； (7)(ex)′＝ex；(8)(ln x)′＝eq \f(1,x). 4.导数的运算法则 如果f(x)，g(x)都可导，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)； (4)[Cf(x)]′＝Cf′(x). 5.复合函数的导数 如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为： h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)＝f′(g(x))·g′(x)，即yx′＝yu′·ux′. 二、导数与函数的单调性： 1.函数的单调性与导数的关系 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 【温馨提示】1.利用导数解决单调性问题需要注意的问题 (1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间． (2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点． (3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开． 2. (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x) 在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则 y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． 三、导数与函数的极值、最值： 1.函数的极值 一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0. (1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点. (2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点. (3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点. (4)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在[a，b]上的最值 如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点. (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【温馨提示】 1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 四、导数的综合应用： 1.导数的几何意义： 对导数的几何意义的考查，要关注三类问题，即求切线问题、已知切线求参数问题、切线的应用问题等.这三类问题往往结合函数的性质、函数的图象、直线方程、点到直线的距离等. 2.利用导数研究函数的单调性：利用导数研究函数单调性的考查，要关注三类问题，即求函数单调性区间、含参数函数单调性讨论、根据单调性逆向求参数问题等.这三类问题有时会以小题的形式出现，较多的应是解答题的某一问. 利用导数研究函数单调性的关键： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认； (3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况. 3.利用导数研究函数的极值、最值：利用导数研究函数的极值的考查，要关注三类问题，即已知函数求极值、根据函数极值(点)逆向求参数、函数的极值(点)性质的考查等.其中已知函数求极值可能以小题的形式考查，其余主要是解答题的某一问. 利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题： (1)不能忽略函数f(x)的定义域； (2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件； (3)函数的极小值不一定比极大值小； (4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. 4.导数的简单应用 利用导数研究函数的单调性是导数应用的基础，只有研究了函数的单调性，才能研究其函数图象的变化规律，进而确定其极值、最值和函数的零点等.注意：若可导函数f(x)在区间D上单调递增，则有f′(x)≥0在区间D上恒成立，但反过来不一定成立.导数与函数零点或方程根的问题：论函数零点的个数、已知方程根求参数问题或研究函数零点的性质——数形结合思想，研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 已知函数零点x0∈(a，b)，求参数范围的一般步骤： (1)对函数求导； (2)分析函数在区间(a，b)上的单调情况； (3)数形结合分析极值点； (4)依据零点的个数确定极值的取值范围，从而得到参数的范围. 5.导数与不等式恒成立、存在性问题：研究不等式恒成立问题，解题的关键是问题的转化，如函数有两个极值点，转化为相应方程有两个不等实根，不等式恒成立问题转化为研究函数的最值，对学生的推理论证能力、运算求解能力要求较高，难度较大，属于困难题. 1）由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略： (1)求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题； (2)分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或af(x)在区间D上有解⇔a>f(x)min；不等式a≥f(x)在区间D上有解⇔a≥f(x)min； 不等式af(x)在区间D上恒成立⇔a>f(x)max；不等式a≥f(x)在区间D上恒成立⇔a≥f(x)max. 6.导数与不等式的证明问题： 利用导数证明不等式的解题策略：一般先将待证不等式如f(x)≥g(x)的形式转化为f(x)－g(x)≥0的形式，再设h(x)＝f(x)－g(x)，进而转化为研究函数h(x)在指定区间上的最小值问题.不过由于不等式呈现的形式多样化，具体求解时还得灵活多变. 【温馨提示】常用结论： 1）在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2）可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 3）若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． 4）若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 5）若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 常考题型 1.导数据的概念及几何意义： 【例题1-1】已知，则在处的导数（ ） A． B．1 C． D．3 【自我提升】已知函数f(x)＝eq \f(2,x)，且f′(m)＝－eq \f(1,2)，则m的值等于(　　) A．±2 B．2 C．－2 D．－4 【例题1-2】已知曲线方程为,求: （1）点处的切线方程 （2）过点且与曲线相切的直线方程. 【例题1-3】与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是________． 【自我提升1】曲线在处的切线斜率为（       ） A．0 B．1 C．2 D． 【自我提升2】垂直于直线且与曲线相切的直线方程的一般式是______． 【例题1-4】已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（ ） A． B． C． D． 【自我提升】已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　) A．00，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数． 2. (1)讨论参数要全面，做到不重不漏． (2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解． 【自我提升1】函数的单调递减区间为（ ）． A． B． C． D． 【自我提升2】函数的单调增区间是(       ) A． B． C． D． 【例题3-4】已知函数，当时讨论在的单调性. 【例题3-5】若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【自我提升】若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 【例题3-6】已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是(       ) A． B． C． D． 【例题3-7】已知函数f(x)＝kx－ln x． （1）在区间(1，＋∞)上单调递增，求k的取值范围. （2）在区间(1，＋∞)上单调递减，求k的取值范围. （3）在区间(1，＋∞)不单调，求k的取值范围. 【温馨提示】利用导数求参数的取值范围：(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 ①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意； ②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意． (2)恒成立问题的重要思路： ①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max； ②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min. 【自长提升1】若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【自我提升2】已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是____________. 【自我提升3】证明ex≥x＋1≥sin x＋1(x≥0)． 4.导数与函数的极值： 【例题4-1】求下列函数的极值． （1）； （2）； （3）． 【自我提升】设函数，则（ ） A．f（x）的极大值为 B．f（x）的极小值为 C．f（x）的极大值为 D．f（x）的极小值为 【例题4-2】已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠eq \f(2,3)时，求函数f(x)的单调区间与极值． 【例题4-3】已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是 (　　) A．(－∞，－1) B．(0，＋∞) C．(0,1) D．(－1,0) 【自我提升1】函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(　　) A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3 【自我提升2】若函数在上无极值，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【自我提升3】已知函数（）在上有极值点，则实数a的取值范围为______． 【例题4-4】若函数有两个极值点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5.导数与函数的最值： 【温馨提示】求函数的最值 1. 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值． 2.对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 3. 由函数的最值求参数 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用． 【例题5-1】求下列函数的最值： （1），； （2），； （3），． 【自我提升1】函数在区间内的最小值为___________. 【自我提升2】函数在上的最大值为_____. 【例题5-2】若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________. 【自我提升1】已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是________. 【自我提升2】若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为______ 6.恒成立与存在性问题： 【温馨提示】不等式恒成立　 (1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min； a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min； a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 分类讨论求参数：根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 双变量恒成立 含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有： (1)∀x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min. (2)∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max. (3)∃x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min. (4)∃x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max. 【例题6-1】已知，若对任意两个不等的正实数都有成立，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【自我提升】已知函数，且，恒成立，则实数a的取值范围是_____________. 【例题6-2】已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【自我提升】已知函数，若存在，使得若存在成立 ，则的最小值为______ 【自我提升】已知函数的图象在点处的切线方程为．若对任意有恒成立，求实数的取值范围. 7. 利用导数探讨函数的零点问题： 【例题7-1】若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例题7-2】设函数的导数满足，. （1）求的单调区间； （2）在区间上的最大值为，求的值. （3）若函数的图象与轴有三个交点，求的范围. 【自我提升1】已知曲线与在区间上有两个公共点，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【自我提升2】已知函数）有三个零点，则实数a的取值范围是（       ） A．（0，） B．（0，） C．（0，1） D．（0，e） 8.导数的实际应用： 【例题8-1】将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 【自我提升】某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系： Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　) A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元 1. 曲线在点处的切线方程为（       ） A． B． C． D． 2. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A． B． C． D． 3. 函数的函象大致为（ ） A． B． C． D． 4.函数的单调增区间是(       ) A． B． C． D． 5.若函数，满足且，则（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 6. 设，则（ ） A． B． C． D． 7. 已知直线l的斜率为2，l与曲线：和圆：均相切，则（       ） A．－4 B．－1 C．1 D．4 8. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（ ） A．4 B．8 C．2 D．1 9. 已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 10. 下列函数中，是极值点的函数是（ ） A． B． C． D． 11. 已知函数在处取得极值0，则（ ） A．2 B．7 C．2或7 D．3或9 12. 若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 13.已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________． 14.点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为________. 15.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为，x∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少． 16.已知函数在上单调递减，则的取值范围是______． 17.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为__________. 18.若函数在区间内不存在极值点，则实数的取值范围是__________. 19.已知函数在处取得极值，则在上的极小值为______． 20.已知函数，则的最小值是______． 21.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________． 22.求下列函数的导函数． （1）； （2）； （3）； （4）． 23.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，求小圆柱体积的最大值． 24.已知点A（，﹣1），B（2，1），函数f（x）＝log2x． （1）过原点O作曲线y＝f（x）的切线，求切线的方程； （2）曲线y＝f（x）（≤x≤2）上是否存在点P，使得过P的切线与直线AB平行？若存在，则求出点P的横坐标，若不存在，则请说明理由． 25.设曲线在处的切线与直线所围成的三角形面积为，求a的值. 26.已知是函数的导函数，对任意的，，且. （1）若，求使成立的的取值范围； （2）若，求函数的取值范围. 27.已知函数，（且）. (1)当时，求的单调区间； (2)若函数有两个零点，求a的取值范围. 28.已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)画出的草图(要求尽量精确). 29.已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，若恒成立，证明：； 30.已知函数在与时，都取得极值． (1)求，的值； (2)若，求的单调增区间和极值． 31.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0

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