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所属成套资源：2023年高考数学单元复习讲义与检测
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【高考大一轮单元复习】高考数学单元复习讲义与检测-专题01《集合与常用逻辑用语》测试（新高考专用）
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专题01 集合与常用逻辑用语 1. 定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合的新定义确定集合中的元素. 【详解】 因为，，， 所以， 故集合中的元素个数为3， 故选：C. 2. 若集合，实数a满足，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得，再根据元素与集合，集合与集合关系求解即可. 【详解】 解：因为，所以，解得， 因为， 所以.所以，，均为错误表述. 故选：D 3. 若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 等价于“”为真命题．令，解不等式即得解. 【详解】 解：命题“”为假命题，其否定为真命题， 即“”为真命题． 令， 则，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故选：C 4.若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 等价于“”为真命题．令，解不等式即得解. 【详解】 解：命题“”为假命题，其否定为真命题， 即“”为真命题． 令， 则，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故选：C 5.已知集合，，若，则实数的值为 ． 【答案】1 【解析】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1 6.已知集合，，则_________． 【答案】 【解析】∵集合，， ∴，故答案为． 7.若，则实数a的取值集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值. 【详解】 因为，故或或， 当时，，与元素的互异性矛盾，舍； 当时，，符合； 当时，或，根据元素的互异性，符合， 故a的取值集合为. 故答案为： 8.已知集合，则_______________ 【答案】 【解析】 【分析】 先算出集合B和集合A的补集，然后再求它们的交集即可. 【详解】 由得，又，所以或2，， 又，所以. 故答案为：. 9.已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为．若集合，则______；若集合，且，则正整数的值是______． 【答案】 3 2022 【解析】 【分析】 化简A，可得；根据“容量”定义可得的，解方程即可. 【详解】 ，则集合， 所以．若集合， 则集合， 故，解得． 故答案为：3；2022 【点睛】 关键点点睛：解决新情景问题的关键是读懂题意，准确理解新定义集合的“容量”的含义，并理解其本质． 10.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论. ①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”. 其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 根据“类”的定义可判断①②③的正误；根据“类”的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断④的正误. 【详解】 对于①，，则，①正确； 对于②，，则，②不正确； 对于③，任意整数除以，余数可以且只可以是四类， 则，③正确； 对于④，若整数、属于同一“类”， 则整数、被除的余数相同，可设，，其中、，， 则，故， 若，不妨令， 则， 显然，于是得，，即整数属于同一“类”， “整数属于同一“类””的充要条件是“”，④正确． 正确的结论是①③④. 故答案为：①③④. 11.已知集合，． (1)若，，，求； (2)若且，求不等式的解集． 【答案】(1)（3，4）(2){x|或x＞1} 【解析】(1) B＝{x|1＜x＜4}，a＝2，b＝−5，c＝−3时， 或x＞3}， ∴A∩B＝（3，4）； (2)∵且， ∴， ∴a＜0，， ∴b＝−5a，c＝4a， ∴不等式变成，且a＜0， ∴，解得或x＞1， ∴不等式的解集为{x|或x＞1} 12.已知条件，条件．． (1)若，求． (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）首先求出集合，代入，得出，进而利用集合的交集、补集的定义即可求解. （2）由（1）知，得出集合，再根据是的必要不充分条件转化为集合是集合的真子集，即即可求解. 【解析】 (1)由，得， 所以， 由，得，所以 当时，.所以 所以； (2)由（1）知，，， 是的必要不充分条件，， 所以，解得 所以实数的取值范围为. 【点睛】 1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系. 2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错. 单选题： 1. 已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 集合， Venn图中阴影部分表示的集合是. 故选：C 2. 已知集合则=（ ） A． B． C． D． 【答案】B ， ， 所以， 故选：B. 3. 若x，y为实数，则“1x<1y”是“log2x>log2y”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 由题意可知当x=-2,y=1时，满足1x<1y，但不满足log2x>log2y； 由log2x>log2y，得x>y>0，满足1x<1y， 所以 “1x<1y”是“log2x>log2y”的必要不充分条件， 故选：B． 4. 用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】 根据条件可得集合要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解. 【详解】 由，可得 因为等价于或， 且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集． （1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故； （2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且． 综上所求或，即，故， 故选：D． 【点睛】关键点睛：本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程与方程的实根的个数情况，属于中档题. 5. 已知，，若集合，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果. 【详解】 因为， 所以，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，， 故选：B. 【点睛】 易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题. 6. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 先解出集合，考虑集合是否为空集，集合为空集时合题意，集合不为空集时利用或解出的取值范围. 【详解】 由题意，， 当时，，即，符合题意；当，即时，，则有或，即 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 7. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，当时，x的取值集合为A，则下列选项为的充分不必要条件的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 令， 由题意时，， ，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 显然时，，又，所以的解为，其中，因为，，，所以， 故选：B 8. 已知下列四个命题：正确的是（ ） ：，使得； ：，都有； ：，使得； ：，使得． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数，求导判断单调性求最大值可判断；对二次函数配方求的最小值可判断；举例子如可判断；举反例如可判断，进而可得正确答案. 【详解】 对于，设，则， 由可得；由可得， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以，所以恒成立， 所以，，故错误； 对于，，都有，故正确； 对于：当时，， ，此时满足， 故正确； 对于，当时，，，不满足成立，故错误；故正确是，， 故选：C． 二、多选题： 1. 已知集合A，B均为R的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 如图所示 根据图像可得,故A正确；由于 ，故B错误； ,故C错误 故选：AD 2. 设，a∈R，则下列说法正确的是（ ） A． B．“a＞1”是“”的充分不必要条件 C．“P＞3”是“a＞2”的必要不充分条件 D．a∈（3，＋∞），使得P＜3 【答案】BC 【详解】 解：A错误，当时，显然有P小于0 B正确，时，，故充分性成立，而只需即可； C正确，可得或，当时成立的，故C正确； D错误，因为有，故D错误； 故选：BC. 3. 设表示不大于的最大整数，已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】 【分析】 由对数运算可知，，由的定义可知AC正误；解不等式求得集合，由交集和并集定义可知BD正误. 【详解】 对于A，，，，A正确； 对于C，，，C错误； 对于BD，，， ，，BD正确. 故选：ABD. 4. 设，，若，则实数的值可以是（ ） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据题意可以得到，进而讨论和两种情况，最后得到答案. 【详解】 由题意，，因为，所以， 若，则，满足题意； 若，则，因为，所以或，则或. 综上：或或. 故选：ABC. 5. 设，，且，则“”的一个必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】 【分析】 题中为必要条件，则能推出选项，逐一判断 【详解】 对于A，若，则成立； 对于B，若，则，成立； 对于C，，无法判断出； 对于D，，且，因为，所以不能得出与2的大小关系. 故选：AB 三、填空题： 1. 建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收入已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中___________；___________；___________. 【答案】 【详解】 由题意得：，解得：. 故答案为：；；. 2. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 先分别求集合，注意各自是两个函数的值域，再求交集. 【详解】 ∵，∴， ，∴， ∴. 故答案为： 3.已知p：x2-2a-2x+a-3a+1<0，q：x2+x-2<0.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________. 【答案】0,1 【解析】 本题考查充分条件与必要条件的判断. q：x2+x-2<0，即-2
专题01 集合与常用逻辑用语 1. 定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合的新定义确定集合中的元素. 【详解】 因为，，， 所以， 故集合中的元素个数为3， 故选：C. 2. 若集合，实数a满足，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得，再根据元素与集合，集合与集合关系求解即可. 【详解】 解：因为，所以，解得， 因为， 所以.所以，，均为错误表述. 故选：D 3. 若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 等价于“”为真命题．令，解不等式即得解. 【详解】 解：命题“”为假命题，其否定为真命题， 即“”为真命题． 令， 则，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故选：C 4.若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 等价于“”为真命题．令，解不等式即得解. 【详解】 解：命题“”为假命题，其否定为真命题， 即“”为真命题． 令， 则，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故选：C 5.已知集合，，若，则实数的值为 ． 【答案】1 【解析】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1 6.已知集合，，则_________． 【答案】 【解析】∵集合，， ∴，故答案为． 7.若，则实数a的取值集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值. 【详解】 因为，故或或， 当时，，与元素的互异性矛盾，舍； 当时，，符合； 当时，或，根据元素的互异性，符合， 故a的取值集合为. 故答案为： 8.已知集合，则_______________ 【答案】 【解析】 【分析】 先算出集合B和集合A的补集，然后再求它们的交集即可. 【详解】 由得，又，所以或2，， 又，所以. 故答案为：. 9.已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为．若集合，则______；若集合，且，则正整数的值是______． 【答案】 3 2022 【解析】 【分析】 化简A，可得；根据“容量”定义可得的，解方程即可. 【详解】 ，则集合， 所以．若集合， 则集合， 故，解得． 故答案为：3；2022 【点睛】 关键点点睛：解决新情景问题的关键是读懂题意，准确理解新定义集合的“容量”的含义，并理解其本质． 10.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论. ①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”. 其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 根据“类”的定义可判断①②③的正误；根据“类”的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断④的正误. 【详解】 对于①，，则，①正确； 对于②，，则，②不正确； 对于③，任意整数除以，余数可以且只可以是四类， 则，③正确； 对于④，若整数、属于同一“类”， 则整数、被除的余数相同，可设，，其中、，， 则，故， 若，不妨令， 则， 显然，于是得，，即整数属于同一“类”， “整数属于同一“类””的充要条件是“”，④正确． 正确的结论是①③④. 故答案为：①③④. 11.已知集合，． (1)若，，，求； (2)若且，求不等式的解集． 【答案】(1)（3，4）(2){x|或x＞1} 【解析】(1) B＝{x|1＜x＜4}，a＝2，b＝−5，c＝−3时， 或x＞3}， ∴A∩B＝（3，4）； (2)∵且， ∴， ∴a＜0，， ∴b＝−5a，c＝4a， ∴不等式变成，且a＜0， ∴，解得或x＞1， ∴不等式的解集为{x|或x＞1} 12.已知条件，条件．． (1)若，求． (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）首先求出集合，代入，得出，进而利用集合的交集、补集的定义即可求解. （2）由（1）知，得出集合，再根据是的必要不充分条件转化为集合是集合的真子集，即即可求解. 【解析】 (1)由，得， 所以， 由，得，所以 当时，.所以 所以； (2)由（1）知，，， 是的必要不充分条件，， 所以，解得 所以实数的取值范围为. 【点睛】 1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系. 2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错. 单选题： 1. 已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 集合， Venn图中阴影部分表示的集合是. 故选：C 2. 已知集合则=（ ） A． B． C． D． 【答案】B ， ， 所以， 故选：B. 3. 若x，y为实数，则“1x<1y”是“log2x>log2y”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 由题意可知当x=-2,y=1时，满足1x<1y，但不满足log2x>log2y； 由log2x>log2y，得x>y>0，满足1x<1y， 所以 “1x<1y”是“log2x>log2y”的必要不充分条件， 故选：B． 4. 用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】 根据条件可得集合要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解. 【详解】 由，可得 因为等价于或， 且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集． （1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故； （2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且． 综上所求或，即，故， 故选：D． 【点睛】关键点睛：本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程与方程的实根的个数情况，属于中档题. 5. 已知，，若集合，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果. 【详解】 因为， 所以，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，， 故选：B. 【点睛】 易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题. 6. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 先解出集合，考虑集合是否为空集，集合为空集时合题意，集合不为空集时利用或解出的取值范围. 【详解】 由题意，， 当时，，即，符合题意；当，即时，，则有或，即 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 7. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，当时，x的取值集合为A，则下列选项为的充分不必要条件的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 令， 由题意时，， ，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 显然时，，又，所以的解为，其中，因为，，，所以， 故选：B 8. 已知下列四个命题：正确的是（ ） ：，使得； ：，都有； ：，使得； ：，使得． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数，求导判断单调性求最大值可判断；对二次函数配方求的最小值可判断；举例子如可判断；举反例如可判断，进而可得正确答案. 【详解】 对于，设，则， 由可得；由可得， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以，所以恒成立， 所以，，故错误； 对于，，都有，故正确； 对于：当时，， ，此时满足， 故正确； 对于，当时，，，不满足成立，故错误；故正确是，， 故选：C． 二、多选题： 1. 已知集合A，B均为R的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 如图所示 根据图像可得,故A正确；由于 ，故B错误； ,故C错误 故选：AD 2. 设，a∈R，则下列说法正确的是（ ） A． B．“a＞1”是“”的充分不必要条件 C．“P＞3”是“a＞2”的必要不充分条件 D．a∈（3，＋∞），使得P＜3 【答案】BC 【详解】 解：A错误，当时，显然有P小于0 B正确，时，，故充分性成立，而只需即可； C正确，可得或，当时成立的，故C正确； D错误，因为有，故D错误； 故选：BC. 3. 设表示不大于的最大整数，已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】 【分析】 由对数运算可知，，由的定义可知AC正误；解不等式求得集合，由交集和并集定义可知BD正误. 【详解】 对于A，，，，A正确； 对于C，，，C错误； 对于BD，，， ，，BD正确. 故选：ABD. 4. 设，，若，则实数的值可以是（ ） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据题意可以得到，进而讨论和两种情况，最后得到答案. 【详解】 由题意，，因为，所以， 若，则，满足题意； 若，则，因为，所以或，则或. 综上：或或. 故选：ABC. 5. 设，，且，则“”的一个必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】 【分析】 题中为必要条件，则能推出选项，逐一判断 【详解】 对于A，若，则成立； 对于B，若，则，成立； 对于C，，无法判断出； 对于D，，且，因为，所以不能得出与2的大小关系. 故选：AB 三、填空题： 1. 建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收入已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中___________；___________；___________. 【答案】 【详解】 由题意得：，解得：. 故答案为：；；. 2. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 先分别求集合，注意各自是两个函数的值域，再求交集. 【详解】 ∵，∴， ，∴， ∴. 故答案为： 3.已知p：x2-2a-2x+a-3a+1<0，q：x2+x-2<0.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________. 【答案】0,1 【解析】 本题考查充分条件与必要条件的判断. q：x2+x-2<0，即-2
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