【高考大一轮单元复习】高考数学单元复习讲义与检测-专题11《圆锥曲线》测试（新高考专用）

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专题11 圆锥曲线

1. 点，为椭圆：的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据椭圆的定义及简单性质，转化求解即可得出答案．
【详解】
解：由椭圆：，得：，
当点在椭圆上时，周长最大，为，
当点在轴上时，去最小值，为，
又因点为椭圆内部的动点，
所以周长的取值范围为.
故选：C.
2. 已知点是圆（为坐标原点）上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】D
【分析】
根据给定条件探讨出，再借助圆锥曲线的定义即可判断作答.
【详解】
依题意，，因线段的垂直平分线交直线于点，于是得，
当点M在线段QO的延长线上时，，如图，

当点M在线段OQ的延长线上时，，如图，

从而得，由双曲线的定义知，点的轨迹是双曲线.
故选：D
3. 若抛物线的准线为，是抛物线上任意一点，则到准线的距离与到直线的距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过点作，垂足为点，过点作直线的垂线段，垂足为点，计算出点到直线的距离，由抛物线的定义可得，利用当、、三点共线可求得的最小值.
【详解】
如下图所示，过点作，垂足为点，过点作直线的垂线段，垂足为点，

抛物线的准线为，焦点为，
点到直线的距离为，
由抛物线的定义可知，所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，到准线的距离与到直线的距离之和的最小值是.
故选：A.

4. 已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，我们可以通过找对称点的方法求解两条线段之和的最小值，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，知抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，设关于直线的对称点，，利用两点之间线段最短，可知的最小值等于，再利用两点之间的距离即可求解.
【详解】由题意，知抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，
点在抛物线上，点为直线上的动点，
设关于直线的对称点，作图如下，利用对称性质知：，则，即点在位置时，的值最小，等于，
利用两点之间距离知，则的最小值为
故选：D.

【点睛】本题考查利用对称求最短距离，“两点之间线段最短”，是解决最短距离问题的依据，在实际问题中，常常碰到求不在一条直线上的两条或三条线段和的最小值问题，解决这类问题，可借助轴对称的性质，将不在同一直线上的线段转化为两点之间的距离问题.
5. 知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题考点是双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程.
双曲线C： (a＞0,b＞0)的渐近线方程为 ，
椭圆中： ，椭圆，即双曲线的焦点为 ，
据此可得双曲线中的方程组： ，解得： ，
则双曲线 的方程为 .

6. 椭圆与双曲线已知有相同的焦点点是两曲线的一个公共点，分别是两曲线的离心率，若则的最小值为(　　)

【答案】
【解析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令在双曲线的右支上，由双曲线的定义由椭圆定义
又

，

7.已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，，，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由椭圆的定义求得，在中，由余弦定理化简得，再由离心率，得到，联立方程组，求得的值，即可求得椭圆的方程；
（2）联立方程组，利用根与系数的关系，根据弦长公式和点到直线的距离公式，结合面积公式，利用基本不等式，即可求解.
【详解】
（1）在椭圆上，，
．
在中，由余弦定理得
，
即
化简，得．①
又椭圆的离心率，．②
由①②，解得，．
．
椭圆的方程为．
（2）由题意，直线的斜率存在且不为．设直线的方程为．
由，消去，得．
由，得
设，．则，


设点到直线的距离为，又，则．

令，则．

当且仅当时等号成立.此时．
面积的最大值．

一． 单选题：
1. 已知，是椭圆的左右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.
【详解】是焦点为、的椭圆上一点，的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点，，
，，由题意知是的中位线，
，点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，当点与轴重合时，
与短轴端点取最近距离，

故选：D．
2. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，为坐标原点，，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】
由题知，进而根据双曲线的定义求解即可.
【详解】
由题知，所以，
因为，所以，
又，所以，，
所以由双曲线的定义可知，解得.
故选：B．

【点睛】
本题考查双曲线的定义，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据题意得，进而结合双曲线的定义求解.
3. 若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，，分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】可设椭圆长轴为，双曲线的实轴为，焦点为，设，，利用椭圆和双曲线的定义可得，，再利用垂直关系可得，
联立即可得解.
【详解】设椭圆长轴为，双曲线的实轴为，焦点为，
设，，所以，，
平方和相加可得， 由则，所以，
所以，即，，即.
故选：C
4. 已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
画出图象，结合抛物线的定义求得的值.
【详解】
直线过，也即直线过抛物线的焦点，
画出图象如下图所示，
过作直线垂直于抛物线的准线，垂足为；过作直线垂直于抛物线的准线，垂足为，
过作，交于.
依题意，设，
则，，
所以直线的斜率.
故选：C

5. 如图，为抛物线的焦点，直线（）与抛物线相交于两点，若四边形的面积为7，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意结合面积公式得到关于k的方程，解方程即可求得最终结果.
【详解】联立直线方程与抛物线方程：可得：，①
由韦达定理有：，
则：，
直线AB恒过定点，则，
求解方程①可得：，则，
抛物线的焦点坐标为，
则△BOF的面积为：，
则四边形的面积，结合题意可得：
，
求解关于k的方程可得：，
结合题中的图形可知，故.
本题选择A选项.
点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
6. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义，把到轴的距离转化为,利用几何法求最值
【详解】

抛物线的焦点,准线，如图示：过P作PP1⊥y轴于P1,作PP2⊥l于P2,则
所以点到点的距离与点到轴的距离之和为：.
由图示，易知，当P落在Q时，DPF三点共线，,
其他位置，都有，所以点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为：
，当D、P、F三点共线时取最小值.
故选：B
【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
二、多选题：
1. 已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】
分别分析A，B为椭圆E的两个顶点的位置，从而求得参数a，b，写出标准方程.
【详解】
∵
∴仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点；
∴①当A为右顶点时，B为左顶点，此时，
解得，椭圆方程为，故D正确；
②当A为右顶点时，B为上或下顶点，此时，解得，椭圆方程为，故A正确；
③A为上顶点时，B为左顶点时，此时，解得，椭圆方程为，故C正确；
故选：ACD
2. 如果双曲线的离心率，则称此双曲线为黄金双曲线.有以下几个命题，其中正确命题的有（ ）
A．双曲线是黄金双曲线
B．双曲线是黄金双曲线
C．在双曲线中，为左焦点，为右顶点，，若，则该双曲线是黄金双曲线
D．在双曲线中，过焦点作实轴的垂线交双曲线于，两点，为坐标原点，若，则该双曲线是黄金双曲线
【答案】BC
【分析】
根据黄金双曲线的定义依次分析即可得答案.
【详解】
对于A选项，双曲线中，，，所以不是黄金双曲线；
对于B选项，双曲线中，，，则，即，是黄金双曲线；
对于C选项，双曲线中，由得是直角三角形，所以，则，是黄金双曲线；
对于D选项，双曲线中，可得点，因为点在双曲线上，代入双曲线方程有，所以，不是黄金双曲线.
故选：BC.
3. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，当运动到时，，下列结论正确的是（ ）．
A．抛物线的方程为 B．抛物线的准线方程为
C．已知点，则的最小值为6 D．以为直径的圆与轴相切
【答案】BCD
【分析】利用抛物线的定义求出的值可判断选项A，根据抛物线的解析式可得出准线方程，即可判断选项B，利用抛物线的定义以及三点共线时取得最值即可求得最小值，即可判断选项C，求出的中点坐标，以及圆的半径即可判断选项D，即可得正确选项.
【详解】对于A，当运动到时，，
由抛物线的定义可知，，所以，
故抛物线的方程为，故A错误；
对于B，由拋物线的方程为，所以准线方程为，故B正确；
对于C，过点作垂直抛物线的准线，
则，
当且仅当、和三点共线时，等号成立，故C正确；
对于D，设的坐标为，
因为，所以的中点坐标为，
而以为直径的圆的半径为，
与的中点的横坐标相同，所以D正确．
故选：BCD
【点睛】本题解题的关键点是熟练掌握抛物线的定义以及抛物线的几何性质.
4. 已知方程，则下列说法中正确的有（ ）
A．方程可表示圆
B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
【答案】BCD
【分析】
分别将的值代入各个命题，根据圆锥曲线方程的特点即可作出判断．
【详解】
对于A，当方程可表示圆时，，无解，故A错误.
对于B，当时，，，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确.
对于C，当时.，，，表示焦点在轴上的双曲线，故C正确.
对于D，当方程表示双曲线时，；当方程表示椭圆时，，所以焦距均为10，故D正确.
故选：BCD
5. 已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点.若线段的长是16，中点到轴的距离是6，为坐标原点，则（ ）
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线为
C．直线的斜率为1 D．的面积为
【答案】AD
【分析】
结合抛物线的定义求得，由此判断AB选项的正确性.设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，结合弦长求得直线的斜率，由此判断C选项的正确性.求得的面积，由此判断D选项的正确性.
【详解】
依题意直线过抛物线的焦点，，中点到轴的距离是6，
结合抛物线的定义可知，
所以抛物线方程为，准线为，所以A正确，B错误.
抛物线焦点坐标为，设直线的方程为，
，消去并化简得，
设，则.
所以，解得.所以C错误.
当时，直线的方程为，即，原点到直线的距离为，
所以.当时，同理求得，D正确.故选：AD.
三、填空题：
1. 已知椭圆的焦点为，，过的直线交于，，若，，则的方程为________．
【答案】
【分析】
设椭圆方程为，根据题目中线段长度的比例关系，以及椭圆的第一定义，可以得到点的坐标的表达式，代入椭圆方程即可求解参数的值
【详解】

如上图所示，设，则根据题意可得：，所以，，所以，且，所以，即，可得：点A为椭圆的上顶点；过点B作轴，所以，，所以B点坐标为
设椭圆方程为，将点代入椭圆方程得：，解得：，又因为，所以，所以椭圆方程为：
故答案为：

2. 已知为坐标原点，，，点满足，点又满足，则点的坐标是__________．
【答案】
【分析】
根据椭圆与双曲线的定义可知点为椭圆与双曲线右支的交点，联立方程组即可求解.
【详解】
由，，点满足，
由椭圆的定义可得点在椭圆上，
又点满足，
由双曲线的定义可得点在上，
联立椭圆方程与双曲线方程可得，，
所以点的坐标是.
故答案为：
3. 已知为抛物线的焦点，，点在抛物线上且满足.若这样的点有且只有一个，则实数的值为___________.
【答案】
【分析】设，根据，由两点间的距离公式化简可得，由题意此方程有且只有一解，最后利用解方程的知识即可求解.
【详解】由题意，，设，
由可得，即，
因为这样的点有且只有一个，所以或，
即或，
由，解得，综上，.故答案为：.
【点睛】本题的解题关键是将原问题转化为方程有且只有一解.
4. 设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于不同的两点，，为抛物线的准线与轴的交点，若，则______.
【答案】6
【分析】抛物线的焦点为，设直线方程为，与抛物线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，设，不妨设，根据韦达定理得出关系，可证，可得，设的倾斜角为，求出，进而求出直线的方程，根据对称性，直线与抛物线的另一个交点与关于轴对称，将直线方程与抛物线方程联立，消去，根据韦达定理，求出，即可得出结论.
【详解】抛物线的焦点为，
设直线方程为，联立，消去，得，
，，不妨设，，
，
设直线的倾斜角为，整理得，
解得或（舍去）
直线方程为，
根据对称性，直线与抛物线的另一个交点与关于轴对称，
联立消去得，，，由抛物线的定义得.
故答案为:6.
【点睛】本题考查抛物线的性质，利用抛物线的对称性是解题的关键，本题考查直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握相交弦长公式，考查计算能力，属于较难题.
四、解答题：
1. 已知椭圆与直线有且只有一个交点，点、分别为椭圆的上顶点和右焦点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过定点且斜率存在的直线（不经过点）与椭圆交于，两点，求证：直线，的斜率之和为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意可得，即可求出；
（2）设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理即可求出.
【详解】
（1）由题意，，所以椭圆
（2），因为直线的斜率存在，不妨设的方程为：，
联立，得.
设方程组的解为，，由韦达定理，
，.

为定值.
【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.
2. 已知椭圆的右焦点为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点．
【解析】（1）由题意得，b2=1，c=1．所以a2=b2+c2=2．所以椭圆C的方程为．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线AP的方程为．
令y=0，得点M的横坐标．又，从而．
同理，．由得．
则，．
所以
．
又，所以．解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）．
3. 已知抛物线：的焦点到直线：的距离等于.

（1）求抛物线的方程及准线方程；
（2）设是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为､，求面积的最小值.
【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）最小值为.
【分析】
（1）根据抛物线的焦点到直线：的距离等于，由求解，
（2）设，，，分别得到切线的方程为，切线的方程为，再将点代入得到直线的方程为，与抛物线方程联立，由求解.
【详解】
（1）由题意知抛物线的焦点，
∴，∴，
∵，∴，
∴抛物线的方程为，准线方程为.
（2）设，，，则切线的方程为，
同理切线的方程为，
分别代入点可得，
直线的方程为：.
由，消去x得，
所以，
∴，
点到直线的距离为，
∴，
，
而，
∴.
当且仅当，即时，的最小值为.
4.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值为.
【解析】
【分析】
（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】
（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
据此整理可得点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为．
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为k，则．
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设．
因为，所以．
于是，所以
则直线的斜率为．
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
【整体点评】
方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.


















1. 2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（       ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】
由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
2.（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（       ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
3．（2021·全国·高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】
设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
4．（2021·全国·高考真题（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】
由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
5．（2021·全国·高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】
因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.故选：A
【点睛】
关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
6．（2021·全国·高考真题（文））设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】
设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．
故选：A．
【点睛】
本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
7.（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，可判断在双曲线的右支，设，，即可求出，，，在中由求出，再由正弦定理求出，，最后根据双曲线的定义得到，即可得解；
【详解】
解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
所以，因为，所以在双曲线的右支，
所以，，，设，，
由，即，则，，，
在中，
，
由正弦定理得，
所以，
又，
所以，即，
所以双曲线的离心率

故选：C
8．（2022·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】
解：，
设，则，
则，
故，
又，则，
所以，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
9．（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（       ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】
由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
10．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】
解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
11.(多选题)（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（       ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】
【分析】
转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】
圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
12．(多选题)（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（       ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】
结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
13. (多选题)（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（       ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】

对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
14．(多选题)（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（       ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】
将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
15.（2021·全国·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】由题可知，离心率，即，又，即，
则，故此双曲线的渐近线方程为.故答案为：.
16．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
【点睛】解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
17．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，所以的准线方程为，故答案为：.
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
18．（2021·全国·高考真题（文））双曲线的右焦点到直线的距离为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】
由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
19．（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】
将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.
【详解】
由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案为：4.
【点睛】
本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
20．（2021·全国·高考真题（文））已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
【详解】
因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
21.（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【解析】
【分析】
利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】
∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.

22．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】
解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
23．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；
【详解】
解：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；

故答案为：
24．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【解析】
【分析】
先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.

25．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】
解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
26．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足皆可）
【解析】
【分析】
根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】
解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
27．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【解析】
【分析】
设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】
解：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
28．（2022·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或；
【解析】
【分析】
设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】
解：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
29.（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
(1)右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
(2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
30．（2022·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；
（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可得出的面积．
(1)
因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
(2)不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，
因为，所以，即，
即，解得，
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．
所以，，
点到直线的距离，
故的面积为．
31．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.
(1)
抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
(2)
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，
所以，
若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.
32．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】
（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
(1)解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
(2)，所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】
求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
33．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.
【详解】
（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，
又，所以椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为，
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；
当直线的斜率存在时，设，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：设直线即，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立可得，
所以，
所以
，
化简得，所以，
所以或，所以直线或，
所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是．
【点睛】
关键点点睛：
解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.
34．（2021·全国·高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；
（2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.
【详解】
（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值
由题意知，，设圆M上的点，则．
所以．
从而有．
因为，所以当时，．
又，解之得，因此．
[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值
抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到．
过P作y轴的平行线交于Q，则．
．
P点在圆M上，则
．
故当时的面积最大，最大值为．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为，．
设，联立和抛物线C的方程得整理得．
判别式，即，且．
抛物线C的方程为，即，有．
则，整理得，同理可得．
联立方程可得点P的坐标为，即．
将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得．
由弦长公式得．
点P到直线的距离为．
所以，
其中，即．
当时，．
【整体点评】
（1）方法一利用两点间距离公式求得关于圆M上的点的坐标的表达式，进一步转化为关于的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得的值；方法二，利用圆的性质，与圆上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点、、，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线的坐标满足方程，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，利用弦长公式求得的长，进而得到面积关于坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到，，过P作y轴的平行线交于Q，则．由求得面积关于坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到，且．利用点在圆上，求得的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；
35．（2021·全国·高考真题（文））抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；
（2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.
【详解】
（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）[方法一]：设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：

，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】：设．
当时，同解法1．
当时，直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．
所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切．
【整体点评】
第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路
36.（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；
(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值.
【详解】
(1) 因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为.
（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设,
设直线的方程为．

联立,
化简得.
则．
故．
则．
设的方程为，同理．
因为，所以，
化简得，
所以，即．
因为，所以．
[方法二] ：参数方程法
设．设直线的倾斜角为，
则其参数方程为，
联立直线方程与曲线C的方程，
可得，
整理得．
设，
由根与系数的关系得．
设直线的倾斜角为，，
同理可得
由，得．
因为，所以．
由题意分析知．所以，
故直线的斜率与直线的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设,直线的方程为，
直线的方程为,
则二次曲线．
又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即.
【整体点评】
(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.
方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.