第五章：更高更妙的高中数学知识与公式大全


第五章 更高更妙的高中数学知识与公式大全
除了教材中学习到的公理/定理/公式/性质等可以直接作为平时解题的重要依据外，事实上，在日常学习中我们还可以适当储备一点补充的知识，作为自己的秘密武器，下面按高中数学教材顺序列举一些，供大家参考。
5.1 必修部分
必修一
第一章集合
1 若集合A中有n个元素，则A有 个子集，有 个真子集（或非空真子集）
2 摩根法则:
3. 容斥原理： 设是A的子集，，则

第二章 函数
1.一般地，若的定义域是，则的定义域是的解集
2. 一般地，若的定义域是，则的定义域是函数的值域。
3. 画简单幂函数图像步骤：先作第一象限图像，如果，图像是抛物型（当时，开口向上；当时，开口向右）且过和点；若，图像是双曲线型且过点 。再作整个幂函数图像，这时需要借助幂函数的定义域及奇偶性。
4. 函数的单调性
（1）设函数，如果对区间上任意的 总有（），那么称函数在区间上是增（减）函数，并称函数在这一区间上具有单调性，区间叫作函数的单调区间。
（2）对复合函数，若与的单调性相同（相反），则是增（减）函数。
（3）设在区间和 上分别是是增（减）函数，且，则在上也是增（减）函数。
（4）设与在上也递增（减），则在上也上递增（减）；若增加条件：，，，则也是增（减）函数。
（5）设在区间上是增（减）函数，且的值域为，则在上必有反函数，且在上也是增（减）函数。
5. 函数的奇偶性
（1）为奇函数定义域A关于原点对称且；
为偶函数定义域A关于原点对称且；
（2）的图像关于对称；
的图像关于对称；
（3） 如果奇（偶）函数在区间上具有单调性，那么在上具有相同（反）的单调性
（4） 定义在R上的函数总可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和，其中，
6. 函数的周期性
（1）设函数，如果（T为常数），使得对都有，则称函数是以T为周期的周期函数，如果周期函数的所有正周期中存在一个最小者T，则称T为的最小正周期。

（2）周期的几个结论
设有最小正周期T，则除外函数无其他正周期。
设周期函数有最小正周期T，则有最小正周期
若是周期函数，是任意函数，则也是周期函数
（3）设函数满足，，若两式同号，则是以为周期的周期函数，若两式不同号，则是以为周期的周期函数。
（4）若奇函数在处有意义，则，若函数的周期为T，则有
（5）为奇函数且以直线对称，则函数是周期函数，且，如
（6）为偶函数且以直线对称，则函数是周期函数，且，如
7. 函数图象的代数特征
（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称
（2）函数与其反函数的图象关于直线对称。
（3）与的图像关于y轴对称；与的图像关于x轴对称
（4）与的图像关于原点对称；与的图像关于对称
（5）函数的图像直线对称
（6）函数的图像直线对称
（7）函数与函数的图像直线对称
8. 求函数最值（值域）的常用方法
（1）判别式法：将上的y视为常数，若它关于x是二次的，则可由其关于x的判别式的非负而求得y的范围，注意检验等号是否成立。
（2）换元法：引入适当的变量，将复杂的函数式化归为已知的简单函数式，注意引入变量的范围。
（3）利用二次函数：化归为二次函数的最值或限定条件下的二次函数最值问题，借用配方法来求解。
（4）利用单调性：将所给函数化为熟知的初等函数，利用单调性求最值（值域）
（5）利用不等式：运用算术—几何不等式，柯西不等式：[设与，则，等号成立当且仅当]等来求最值，但要注意等号成立条件的讨论。
（6）图像法：利用图像的直观性可求一些特殊函数的值域
9. 分数指数幂
（1）
（2）
10. 根式的性质
（1）
（2）当n为奇数时，；当n为偶数时，
11. 有理指数幂的运算性质
（1）
（2）
（3）
注：若，p是一个无理数，则表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂都适用。
12. 指数式与对数式的互化式

13. 对数的换底公式

14. 对数的四则运算法则
若且则
（1）
（2）
（3）
第三章 指数函数与对数函数
1. 对数运算公式
（1）外移公式：
（2）连锁公式：
（3）真数互换公式：
（4）底数互换公式:
2. 对于单调性相同的两个对数函数，的图像，在同一坐标系内它们的图像在点两侧上下相反，且右侧底大图低。
3. 当对数中的底数和真数同时在或上时，；否则
4. 二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）零点式：
5. 方程在上有且只有一个实根，与不等价，前者是后者的一个必要不充分条件。
特别地，方程有且只有一个实根在内，等价于或且，或且
6. 闭区间上二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：
（1） 当时：
若，则
若，则
（2） 当时：
若，则
若，则
7.一元二次方程的实根分布
依据：若 ，则方程在区间内至少有一个实根。
设，则
（1）方程在区间内有实根的充要条件为或
（2）方程在区间内有实根的充要条件为或
或 或
（3）方程在区间内有实根的充要条件为或
8. 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
（1）在给定区间的子区间L（如等）上含参数的二次不等式（t为参数）恒成立的充要条件是
（2）在给定区间的子区间L上含参数的二次不等式（t为参数）恒成立的充要条件是
（3）恒成立的充要条件是或
9. 几个常见的函数方程
（1）正比例函数
（2）指数函数
（3）对数函数
（4）幂函数
（5）余弦函数，正弦函数 ：
10.设函数，记。若的定义域为R，则；若的值域为R，则。对于的情形，需要单独检验。
11. 对数换底不等式及其推广
若，则函数
（1） 当时，在上为增函数
（2） 当时，在上为减函数
推论 设，则
（1）
（2）
12.平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有
必修二
第一章 立体几何初步
1．四面体的对棱所成的角：四面体ABCD中，AC与BD所成的角为，则

2.异面直线所成的角

（其中）为异面直线所成的角，分别表示异面直线的方向向量）
3.直线AB与平面所成的角

4.若所在平面与过边AB的平面所成的角为，另两边AC，BC，与平面所成的角分别是，A,B为的两个内角，则

特别的，当时，有
5. 若所在平面与过边AB的平面所成的角为，另两边AC，BC，与平面所成的角分别是，为的两个内角，则

特别的，当时，有
6.二面角的平面角
（为平面的法向量）
7.三余弦定理
设AC,BC是平面内的两条直线，且，垂足为C，，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为，则
8.三射线定理
若夹在平面角为的二面角的线段与二面角的两个半平面所成的角是，与二面角的棱所成的角是，则有：

（当且仅当等号成立）
9.空间两点间的距离公式
若有空间两点，则

10.点Q到直线的距离
（点P在直线上，直线的方向向量，向量,h为点Q到直线的距离）
11.异面直线间的距离：
（是两异面直线，其公垂向量为，C,D分别是上的任意点，d为间的距离）
12.点B到平面的距离：
（为平面的法向量，AB是经过平面的一条斜线，）
13.异面直线上的两点距离公式


（）
（两条异面直线所成的角为，其公垂线段的长度为h,在直线上的分别取两点，）
14.面积射影定理
（平面多边形及其射影的面积分别是,它们所在的平面所成的锐二面角为）
15.斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是，侧面积和体积分别是，它的直截面的周长和面积分别是,则： 2.
16.作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行
17.棱锥的平行界面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的界面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形，相似多边形的面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比
18.欧拉定理（欧拉公式）
（简单多面体的顶点数,棱数E和面数F的关系）
（1） E=各面多边形边数和的一般，特别的，若每个面是边数为n多边形，则面数F与棱数E的关系：E=
（2） 若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：
19.球的半径是R，则体积是,表面积是
20.球的组合体
（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长
（2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长
（3）球与正四面体的组合体：棱长为的正四面体的内切球的半径为，外接球的半径是
21.柱体，椎体的体积
（S是柱体的底面积，h是柱体的高）
（S是锥体的底面积，h是锥体的高）
22.相似体（球体之间，正方体之间，椎体被平行于底的平面所截的小锥与大椎之间）有体积之比等于对应高（或对应边）的立体比
23.棱长为的正四面体的内切球半径，外接球半径
证明思路：因为内外球心重合一点，记为O，由,知，至于可由正方体对角线构成正四面体，这时正四面体外接球就是正方体的外接球
24.证明直线与直线平行的思考途径
（1）转化为判定共面两直线无交点
（ 2）转化为两直线同平行于第三条直线
（3） 转化为线面平行
（4） 转化为线面垂直
（5） 转化为面面平行
25.证明直线与平面平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点
（2）转化为线线平行
（3）转化为面面平行
26.证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判断两平面无公共点
（2）转化为线面平行
（3）线面垂直
27.证明直线与直线垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直
（2）转化为线面垂直
（3）转化为线与另一线的射影垂直
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直
28.证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直
（2）转化为该直线与平面内相交两直线垂直
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直
29.证明平面与平面垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角
（2）转化为线面垂直
第二章
解析几何初步
1. 圆在x轴上截距之和为，在y轴上截距之和为，在两轴上截距之和为F
2. 两圆相交，则两圆方程之差对应的方程是两圆的公共弦的方程
3. 在圆C上找若干点P到直线（一般，与圆C相交）距离为问题：作直线且距离为，判断m与圆C交点（即P点）个数即可
4. 到两定点A,B距离分别为的直线的条数问题：分别构造以A为圆心，半径为的圆和以B为圆心，半径为的圆，直线作为两圆的公切线，判断两圆切线的条数即可
5. 斜率公式：
6. 直线的5种方程
（1） 点斜式：，（直线过点，且斜率为k）
（2） 斜截式：（b为直线在y轴上的截距）
（3） 两点式：（，）
（4） 截距式：（分别现在的横，纵截距，）
（5） 一般式：（A,B不同时为0）
7. 两直线的平行和垂直
（1） 若，则：

（2） 若，且 都不为零，则：
,
8. 夹角公式
（1） （）
（2）
(，)
直线时，两直线的夹角是
9. 四种常用直线系方程
（1） 定点直线系方程：经过定点的直线系方程为（除直线），其中k是待定的系数；经过定点的直线系方程为，其中A,B是待定的系数
（2） 共点系方程：经过两直线的直线系方程为，其中是待定系数
（3） 平行系直线方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程；与直线平行的直线系方程是，是参变量
（4） 垂直系方程：与直线（）垂直的直线系方程
10. 点到直线的距离：
11. 所表示的平面区域
设直线，则所表示的平面区域是：
若，当B与同号时，表示直线上方的区域：当B与异号时，表示直线下方的区域，即同号在上，异号在下
若，当A与同号时，表示直线右方的区域，当A与异号，表示直线左方的区域，即同号在右，异号在左
12. 圆的四种方程
（1） 圆的标准方程：
（2） 圆的一般方程：
（3） 圆的参数方程：
（4） 圆的直径式方程：
（圆的直径的端点是
13. 圆系方程
（1） 过点的圆系方程是

，其中是直线AB的方程，是待定系数
（2） 过直线:圆C：的交点的圆系方程是
,是待定系数
(3)过圆与圆的交点的圆系方程是，是待定系数
14.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系：
若，则：

15.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种

其中
16.两圆的位置关系的判断方法
设两圆圆心分别为，半径分别为，则：

17.圆的切线方程
（1）已知圆
①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是

②若切点在圆外，表示过两个切点的切点弦方程
过圆外一点的切线方程：可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意：不要漏掉平行于y轴的切线
（2）已知圆
①过圆上的点的切线方程为
②斜率为k的圆的切线方程为

18.如右图所示，在直线上找一点P，使得P到两定点A,B（同侧两点）的张角最大，作法是：作过AB与相切的圆，P为切点

必修四
第一章 三角函数
1. 三种角所在象限之间关系可借助右图
（1） 由a所在象限推出所在象限：若a在第k象限，则在图中找出数字k，k所在的区域位于哪个象限，就说在哪个象限
（2） 由a所在象限推出2a所在象限：若a在第k象限，则k象限的数字对应2a所在象限
2. 由符号判断a位置：（1）终边在直线上方（特殊的，当a在第二象限时有）；（2）终边在
直线上方（特殊的，当a在第一象限时有）
3. 正弦函数 关于直线对称（即在对称抽处函数值为1或-1）；关于点也对称
4. 余弦函数 关于点 对称，关于直线 对称
5. 函数 的图像间的转换：（1）平移向量 ，即左右平移 ，上下平移 个单位；（2）把图像向左（）或向右（）平移个单位可得到图像（注：平移或平移是不同的形式，却是相同的结果）；（3）把图像上各点纵坐标不变，横坐标伸缩到原来可得到 图像
6. 由函数额图像通过变换得到的图像，有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
方法1：先平移后伸缩
的图像得到的图像得到的图像得到的图像
方法2：先伸缩后平移
的图像得到 得到的图像得到的图像
7. 由图像确定函数或的方法：
，，由图像上的一个特殊点（五点中的某一个）的横坐标代入来确定
8. 三角函数周期公式：周期是；周期是；额度周期公式是
9. 常见三角不等式
（1） 若
（2） 若
（3）
10. 同角三角函数的基本关系式

11. 正弦，余弦的诱导公式


第二章 平面向量
1. 实数与向量的积的运算律
设为实数，那么
（1） 结合律:
（2） 第一分配律
（3） 第二分配律
2. 向量的数量积的运算律
（1）（交换律）
（2）
（3）
3.平面向量基本定律
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得
不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
4.与的数量积（或内积）:
5.的几何意义
数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积
6.平面向量上午坐标运算
（1）设，则
（2）设，则
（3）设，则
（4）设，则
（5）设，则
7.两向量的夹角公式:
8.向量的平行与垂直
设，且，则：


9.线段的定比分公式
设是线段的分点，是实数，且，则

10.三角形的重心坐标公式
三个顶点的坐标分别为，则的重心坐标是
11.点的平移公式

（注：图形F上的任意一点在平移后图形上的对应点为，且的坐标为）
12.‘按向量平移’的几个结论
（1）点按向量平移后得到点
（2）函数的图像C按向量平移后得到图像，则的函数解析式为
（3）图像按向量平移后得到图像C，若C的解析式为，则的函数解析式为
（4）曲线C:按向量平移后得到图像，则的方程为
（5）向量按向量平移后得到的向量仍然为
13.极化恒等式：
特别的，如右图所示，在中，M为BC中点，则有以下恒等式成立：
（1）
（2）
14.的平分线上向量可表示为：,常常反过来用
15.点O,A,B不共线，则点P在直线AB上的充要条件是，其中有
16.如果非零向量在向量上的投影相等，则
17.已知H,G,O,I是ABC平面上的任意点，分别是角A,B,C的对边，则：
（1）
（2）
（3）
（4）
简证 （1）
（2）以GB,GC为邻边作平行四边形GBEC，对角线交于D,则D为BC的中点，由于 ，所以 ，于是A,G,D共线，且，得证
（3）
（4）由于，即，而 ，则，知O在的平分线上

第三章 三角恒等变形
1.和角与差角公式





(辅助角所在象限由点 的象限决定，)
2.二倍角公式


3.三倍角公式



4.常见的公式变形



5.简单的三角方程的通解



特别地，有



6.最简单的三角不等式及其解集






7.角的变换：‘凑’角的思想


8.若，
9.纯正弦（或余弦）和形式，且角度等差可转换利用如下公式：
（都是n项和，其中）
证明思路：首先要认清公式中的项数及公差，构造边长为1的正n边形，一个顶点放在原点，n边形的第一个边与x轴正向夹角为，用表示各边上向量，转一圈向量和为可得

10.三角中对于复角形式，要注意已知角隅所求角之间关系（互补，互余，和差，倍半关系），以便我们正确地选用公式，如互余，如互补，又如和差关系有；倍半关系有余角的二倍
11. 三角中余弦乘积，角度成倍时，原式的分子分母同时乘最小角的正弦，能够反复利用公式达到简化。如求

必修五
第一章 数列
1.等差数列的通项公式：；
其前项和公式为：。
2. 等差数列的通项公式：；
其前项和公式为：，或
3.等比差数列的通项公式为

其前项和公式为
4. 分期付款（按揭贷款）：每次还款元（贷款元，次还清，每期利率为）
5. 由数列的前项和与通项之间的关系求数列通项。
6. 形如时，由叠乘法（分别取时，各式相乘）可求数列通项。
7. 形如时，由叠加法（分别取时，各式相加）可求数列通项。
8. 有些数列可由数列递推公式变形后，换元成等差（比）数列，可求得数列通项。
变形是指：给递推公式两边加常数（形如时两边加可换元成等比），或取倒数（用的一次分式表示时取倒数可换元成等差），或同除一项。
9. 当数列的通项可分解成等差、等比数列积的形式时，用错位相减法求该数列前项和。
10. 数列等差
数列等差形式，其中

11. 等差数列有
12. 等差数列，若（称为等距性，遇到等差数列若干项和时常用，也可推广到三项、四项和相等）。
13.等差数列中，如果且，那么（公差时，取等号）。
14.等差数列有（当遇到时常用）。
15.等差数列亦等差。
16.因为等差数列有，所以在对称轴处，即当最接近的正整数时，有最值（有关等差数列最值问题常用）。
17.若数列其前项和公式为，且为等比数列（）。
18.等比数列，当时，递增，否则递减。
19.等比数列，若（称为等距性，遇到等比数列若干项积时常用，也可推广到三项、四项积相等）。
20.等比数列，如果且，那么（时，取等号）。
21.等比数列亦等比。（注：当为偶数时，各项均为0，这时不成立）。
22.等比数列前项和有：（1）（2）。
23.。
24.Fibonacci数列：满足的数列为Fibonacci数列。
其通项公式为。

第二章 解三角形
1.正弦定理
，其中为三角形外接圆的半径。
2.余弦定理

3.面积定理
（1）。
（2）。
（3）
(4)分别为三角形外接圆半径，内切圆半径，半周长）。
4.三角形内角和定理
在△ABC中，有
.
5.余弦定理的三角形式：。
6.在△ABC中成立以下恒等式：
（1）
（2）
（3）
第三章 不等式
1.常用不等式
（1）。
（2）。
（3）。
（4）柯西不等式：。
（5）
2.极值定理
已知都是正数，则有：
（1）若积是定值，则当时，和有最小值；
（2）若和是定值，则当时，积有最大值
推广 已知，则有
（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小
（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大
3.一元二次不等式，有：如果同号，则其解集在两根之外；如果异号，则其解集在两根之间；同号两根之外，异号两根之间。
。
。
4.含有绝对值的不等式
当时，有：

5.无理不等式
（1）
（2）
（3）
6.指数不等式与对数不等式
（1）当

（2）当

7.解分式不等式
（1）
（2）
8.解一元高次不等式：先转化成如，不等式作为一元高次函数（保证最高次项系数为正），作出一元高次函数图像，由图像得出原不等式解集。作图规则：在轴上从小到大标出各根，从最大根右上方起笔画图像，依据：“奇穿偶不穿”经过每个根。
证明思路：因为左边的高次函数图像是连续的，且当时，函数值为正。
9.基本不等式的推广，设为正数，则，当且仅当时取得等号。
10.若想用均值不等式求最值，可是取等号的条件不成立，怎么办？
引进对勾函数，画其图像解决问题，该函数是奇函数，当时递减，当时递增，在处有极小值，据此画图像。
11.二元柯西不等式
12.点在直线上方（或下方）
13.点在直线同侧（或异侧）
14.点在直线同侧（或异侧）




















5.2 选修部分
选修2-1
第一章 常用逻辑用语
1. 真值表
p
q
非p
P或q
P且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假

3. 常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有2个
大于
不大于
至少有个
至多有个
小于
不小于
至多有个
至少有个
对所有，成立
存在某，不成立
P或q

对任何，不成立
存在某，成立
P且q


4. 四种命题的相互关系


5.充要条件
（1） 充分条件：若，则是的充分条件
（2） 必要条件：若，则是的必要条件
（3） 充要条件：若，且则是的充要条件
（注：如果甲是甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。）
6.利用等价命题判断充要条件问题：如则是的充分条件，即命题“若则”真，等价命题是“若”真，即的充分条
第二章 空间向量与立体几何
1. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1) 加法交换律：.
(2) 加法结合律：).
(3) 数乘分配律:.
2. 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体 的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
3. 共线向量定理
对空间任意两个向量存在实数使
P、A、B 三点共线
共线且不共线且AB、CD不共线.
4. 共面向量定理
向量P与两个不共线的向量a、b共面㈡存在实数对，使
推论空间一点P位于平面MAB内㈡存在有序实数对，使，
或对空间任一定点O,有序实数对，使
5. 对空间任一点0和不共线的三点A、B、C,满足，则当k = l时，对于空间任一点0,总有P、A、B、C四点共面；当，若平面 ABC，则P、A、B、C四点共面，若平面ABC，则 P、A、_B、C四点不共面.
A、B、C、D四点共面㈡与共面
㈡.
6. 空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组,使 p = xa +yb + zc.
推论设0、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数 x,y ,z,使
7. 射影公式
已知向量和轴，e是上与同方向的单位向量.作A点在/上的射影'，作B 点在上的射影，则.
8. 向量的直角坐标运算
设 则：
（1）
（2）
（3）
（4）
9. 设，则：

10. 空间的线线平行或垂直
设 则：






11. 夹角公式
设，则
推论，此即三维柯西不等式.
12. 求A点到平面距离时，若该距离不易找岀怎么办？
(1) 把距离作为三棱锥的高，借助三棱锥等体积法求(即换个角度，把三棱锥的侧面作为 底面).
(2) 借助线段上等分点(A是其中一个等分点)到这个面平面的距离关系，转化成求另一 个点到该平面的距离.
13. 求异面直线距离：先求公垂线的单位向量为，然后分别在异面直线上各 取一点E，F，代人公式

第三章圆锥曲线
1. 椭圆的参数 方程是
.

2. 椭圆 焦半径公式：
3. 椭圆的内外部
(1) 点在椭圆 的内部 .

(2) 点在椭圆 的外部 .

4. 椭圆的切线方程
（1）椭圆上一点处的切线方程是

（2） 过椭圆 外一点所引两条切线的切点弦方程是


（3） 椭圆与直线相切的条件是

5. 双曲线 的焦半径公式是

6. 双曲线的内外部
（1） 点在双曲线的内部
（2） 点在双曲线的外部
7. 双曲线的方程与其渐近线方程的关系
（1） 双曲线方程为渐近线方程
（2） 若渐近线方程为双曲线可设为
（3） 若双曲线与有公共渐近线，可设为，焦点在轴上；，焦点在轴上
8. 双曲线的切线方程
（1） 双曲线上一点处的切线方程是
（2） 过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是
（3）椭圆 与直线相切的条件是
9. 抛物线的焦半径公式：
过焦点弦长
10. 抛物线上的动点可设或或，其中
11. 二次函数的图像是抛物线：
（1） 顶点坐标为
（2） 焦点坐标为
（3） 准线方程为
12. 抛物线的内外部
（1） 点在抛物线的内部
点在抛物线的外部
（2） 点在抛物线的内部
点在抛物线的外部
（3） 点在抛物线的内部
点在抛物线的外部
（4） 点在抛物线的内部
点在抛物线的外部
13. 抛物线的切线方程
（1） 抛物线上一点处的切线方程是
（2） 过抛物线外一点所引两条切线弦的方程是
（3） 抛物线与直线相切的条件是
14. 两个常见的曲线系方程
（1）过的交点的曲线系方程是
（2）共焦点的有心圆锥曲线系方程，其中；
当时，表示椭圆；当时表示双曲线
15. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

或
（弦端点，由方程消去得到为直线AB的倾斜角，为直线的斜率）
16. 圆锥曲线的两类对称问题
（1） 与曲线关于点成中心对称的曲线是
（2） 与曲线关于直线成轴对称的曲线是

17. “四线”一方程
对于一般的一元二次曲线，用代替，用代替，用
代，用代，用代，即得方程
，曲线的切线、切点弦、中点弦、弦中点方程均是由此方程得到。
18. 对于椭圆，设是过原点的直线，与垂直相交于P点、与椭圆相交于A、B两点的直线，若，则有：
（1） ；（2）
19. 在椭圆上找一点P，使问题；构造以为直径的圆，当P在圆上（或圆内或圆外）时
20. 椭圆的焦点三角形面积公式：；双曲线的焦点三角形面积公式：
21. 若点在曲线上，则过M的切线为：；若点在曲线内部，则以M为中点的弦AB方程为：（注：双曲线内部，即焦点所在区域）
22. 动点M在椭圆上，A是椭圆内部一点，F是椭圆的一个焦点；
（1） 求的最小值；用第二定义转化为M到F对应准线的距离，再用数形结合求解（其结果：最小值就是A到与F相对应的准线距离）。
（2） 求的最值：用三角形两边差的绝对值小于第三边（其结果：最大值是，最小值是）（注：双曲线、抛物线同样适用）
23. 卫星绕地球时，卫星轨道椭圆有（其中R是地球半径）
24. M是椭圆（双曲线与抛物线）上一点，是离心率，是焦点到相应准线距离，是从轴正向逆时针转到MF的最小正角，则有
25. 椭圆上一点M，焦点，有
26. 设P为椭圆上的动点，M为过P且垂直于轴的直线上的点为椭圆的半焦距），则M点的轨迹方程为
27. 对于椭圆（或双曲线），如果是任意两个垂直半径，则有

28.到定点F的距离比到直线L的距离多（或少）《的动点轨迹问题：这时平移L使两 个距离相等（其结果：动点轨迹是以F为焦点的拋物线）；动圆过定点F且与直线L相切的 动圆圆心轨迹问题:也是以F为焦点的抛物线（注:这两种状况只考虑F就可以写方程）.
29.抛物线过焦点的弦AB有：
（1） ；（2）； （3）是直线AB的倾斜角）
30.设P为双曲线上的动点，M为过P且平行于轴的直线上的点（其中为双曲线的半焦距），则M点的轨迹方程为：
31. 双曲线上一点M，焦点F有.（若椭圆则）.
32. 等轴双曲线渐近线方程为
33. 双曲线的一个焦点为F，准线与渐近线的交点为M，O为坐标原点，则是且
34. 圆锥曲线的光学性质
（1） 抛物线的光学性质：与对称轴平行的光线投射到抛物线上，经反射后反射光线必通 过焦点
（2） 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线投射到椭圆上，经反射后反射光线必通过另一个焦点
（3） 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线投射到双曲线上，经过反射后反射光线的延长线必经过另一个焦点.
选修2-2
第一章 推理与证明
1. 三角形的正弦定理和余弦定理类比到三棱柱中，有
和。

第二章 变化率与导数
1. 在处的导数（或变化率或微商）
。
2. 瞬时速度
。
3. 瞬时加速度
。
4. 在上的导数
。
5. 函数在点处的导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是。
6. 几种常见函数的导数
⑴ （为常数）。
⑵ 。
⑶ 。
⑷ 。
⑸ ；。
⑹ ；。
7. 导数的运算法则
⑴ 。
⑵ 。
⑶ （）。
8. 复合函数的求导法则
设函数在点处有导数，函数在点处对应点处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或者写作。

第三章 导数的应用
1. 常用的近似计算公式（当充分小时）
⑴ ；；
⑵ （）；；
⑶ ；
⑷ ；
⑸ （为弧度）；
⑹ （为弧度）；
⑺ （为弧度）。
2. 用单调性证明函数不等式：A.不等式的左一右记为函数，导数证明该函数单调并确定在区间端点处值的符号；B.变形不等式两边，可作为函数在两点的值，并用导数证明函数相应的单调性。
3. 判断方程根的个数（范围）问题：把方程根转化为两个曲线的交点，数形结合考虑交点个数及范围（借助导数画原函数图像）
4. 求函数最值，极值的问题
⑴ 闭区间上唯一极值点处取最值，另一个最值在区间端点处，闭区间上有两个极值点时，最大值就在极大值或是距极大值远的端点处；最小值就在极小值或是距极小值远的端点处。
⑵ 开区间上唯一极值就是最值。因为端点处函数值取不到，开区间上两个极值点时，最大值（存在时）就是极大值，最小值（存在时）就是极小值。
⑶ 函数的最值可能在导数不存在的点处取得。
5. 凸函数定义
⑴ 设是定义在上的函数，如果对于上的任意两个数，都有，那么称在上是凸函数或下凸函数；如果时，等号不成立，那么称在上是严格凸函数，以上也可换成、、等。
⑵ 若⑴上不等式反向，即，则称在上是凹函数或上凸函数。
6. 琴生不等式
⑴ 若是区间上的凸函数，则对任意，，，有，当且仅当时，等号成立。当为上凸函数时，不等式反向。
⑵ 琴生不等式推论：
若是区间上连续的凸函数，则对任意，，，和对任意满足的正数、、、，有，当且仅当时，等号成立。
7. 常见的凸函数
⑴ （为非零常数）在区间，当或时为下凸函数，当时为上凸函数；
⑵ （，）在上为下凸函数；
⑶ （，）在上，当时为上凸函数，时为下凸函数；
⑷ 在区间为上凸函数，在区间为下凸函数。
8. 利用导数判定函数的凸性
函数，若，则为下凸函数；若，则为上凸函数。

第四章 数系的扩充与复数的引入
1. 复数的概念：形如（）的数叫作复数，为虚数单位，其中叫作复数的实部，叫作复数的虚部。
2. 复数的分类
复数（）
3. 复数相等
复数（）的充要条件是：，且。
4. 对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小。在复数集里一般没有大小之分，但有相等与不等之分。
5. 数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，但实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用于复数集，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等。
6. 复数的运算法则
设，（），则
⑴ 加法：。
⑵ 减法：。
⑶ 乘法：。
⑷ 除法：（）。
7. 复数的运算定律
⑴ 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何，，，有
；
。
⑵ 复数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，有
；
；
。
8. 复数运算的常用技巧
⑴ 的运算律
，，，，。
⑵ 。
⑶ ，。
⑷ 设，则，，。
9. 复数的几何意义
⑴ 假设复数，则。
⑵ 复数的模，它表示点到原点的距离，一般地，表示与的对应点间的距离。
⑶ 复数加法满足平行四边形法则，复数减法满足三角形法则。
10. 复数的三角形式
，是复数的模，是复数的辐角，当时，称为复数的辐角主值。
⑴ 乘法与乘方
。
（）。
⑵ 除法
。
复数的乘除法都有相应的几何意义。
⑶ 开方
复数的次方根是：
（，，，……，）。
11. 关于复数的共轭运算有如下性质：
⑴ ；⑵ ；⑶ 。
12. 关于复数模的运算有如下性质：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ 。

选修2-3

第一章 计数原理
1. 分类计数原理（加法原理）：。
2. 分步计数原理（乘法原理）：。
3. 排列数公式：（，，且）。
（注：规定）
4. 排列恒等式
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷ ；
⑸ ；
⑹ 。

5. 组合数公式
（，，且）。
6. 组合数的两个性质
⑴ ；
⑵ 。
（注：规定）
7. 组合恒等式
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷ ；
⑸ ；
⑹ ；
⑺ ；
⑻ ；
⑼ ；
⑽ 。
8. 排列数与组合数的关系：。
9. 单条件排列
以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列。
⑴ “在位”与“不在位”
① 某（特）元必在某位有种；② 某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）=（着眼元素）种。
⑵ 紧贴与插空（即相邻与不相邻）
① 定位紧贴：（）个元在固定位的排列有种。
② 浮动紧贴：个元素的全排列把个元排在一起的排法有种（注：此类问题常用捆绑法）。
③ 插空：两组元素分别有、个（），把它们合在一起来做全排列，个的一组互不能挨近的所有排列数有种。
10. 分配问题
⑴ （平均分组有归属问题）将相异的个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有。
⑵ （平均分组无归属问题）将相异的个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有。
11. “错位问题”及其推广
贝努利装错信笺问题：封信与个信封全部错位的组合数为。
推广：个元素与个位置，其中至少有个元素错位的不同组合总数为

12. 不定方程的解的个数
⑴ 方程（，）的正整数解有个。
⑵ 方程（，）的非负整数解有个。
13. 二项式定理：；
二项展开式的通项公式：（，，，，）。
14. 等可能性事件的概率：。
15. 互斥事件、分别发生的概率的和：。
16. 个互斥事件分别发生的概率的和：。
17. 独立事件、同时发生的概率：。
18. 个独立事件同时发生的概率：。
19. 次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率：。
20. 如果要展开二项式，可借助公式，也要能逆用公式，使运算化简。
21. 求展开式中某一项的相关问题：
⑴ 求常数项、系数最大项、有理项时用通项公式；
⑵ 求两个二项积展开式中项（或系数），要用系数配对。
特别提醒，在的展开式中有：
⑴ 当为偶数时，是最大的二项式系数（是第项的）；
⑵ 当为奇数时，是最大的二项式系数（是第项和第项的）；
⑶ 展开式中倒数第项是正数第项。
22. 用赋值法求二项展开式的所有系数之和，若，则有：
⑴ 各项系数之和为；
⑵ 偶数项系数之和为；
⑶ 奇数项系数之和为。
23. 方程的正整数解的个数为个，非负整数解的个数为个。
24. 组合数的性质
⑴ ；
⑵ ，。


第二章 随机变量及其分布
1. 离散型随机变量的分布列的两个性质
⑴ （，，）；
⑵ 。
2. 数学期望：
3. 数学期望的性质
⑴ ；
⑵ 若，则；
⑶ 若服从几何分布，且，则。
4. 方差：
5. 标准差：。
6. 方差的性质
⑴ ；
⑵ 若，则；
⑶ 若服从几何分布，且，则。
7. 方差与期望的关系：。