专题1.3 解密函数零点相关问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

一、方法综述

新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，函数的零点问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分．

根据函数零点的定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．围绕三者之间的关系，在高考数学中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题；③利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题．

二、解题策略

类型一：函数零点的分布问题

例1．【2019甘肃静宁一中一模】函数的零点所在的区间是(　　)

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解题秘籍】判断函数零点所在区间有三种常用方法：①直接法，解方程判断；②定理法；③图象法．

【举一反三】函数f(x)＝ln x＋x－，则函数的零点所在区间是(　　)

A．         B．            C．            D．(1，2)

【答案】C

【解析】函数f(x)＝ln x＋x－的图象在(0，＋∞)上连续，且＝ln＋－＝ln＋＜0，f(1)＝ln 1＋1－＝＞0，故f(x)的零点所在区间为．学科$网

类型二  函数零点的个数问题

例2．【2019湖南长沙一模】已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】有三个零点，有一个零点，故，有两个零点，代入的解析式，得到，构造新函数，绘制这两个函数的图象，如图可知

因而介于A，O之间，建立不等关系，解得a的范围为，故选A．

【举一反三】【2019广东佛山顺德区二模】若函数（其中是自然对数的底数），且函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（     ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】由，可得，作出函数的图象，而表示过原点且斜率为的直线，由图可知，当时，与有两个不同的交点，满足题意；

类型三  函数零点与简易逻辑交汇问题

例3．【2019陕西彬州一模】已知函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，命题：总存在，有；命题：若函数在区间上有，则是的（   ）

A．充要条件    B．充分不必要条件    C．必要不充分条件    D．既不充分也不必要

【答案】C

【解析】命题推不出命题q，所以充分性不具备；比如：，区间为，满足命题p，但，根据零点存在性定理可知，命题能推出命题p，所以必要性具备；故选C．[来源:学_科_网Z_X_X_K]

【举一反三】已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p∧(q)为真命题，则实数a的取值范围是(　　)[来源：学_科_网]

A．(1，＋∞)       B．(－∞，2]        C．(1，2]            D．(－∞，1]

【答案】C[来源：学．科．网Z．X．X．K][来源:学,科,网Z,X,X,K]

【解析】由题意可得，对命题p，令f(0)f(1)<0，即－1·(2a－2)<0，得a>1；对命题q，令2－a<0，即a>2，则q对应的a的取值范围是a≤2．∵p∧(q)为真命题，

∴实数a的取值范围是(1，2]．

三、强化训练

1．【2019甘肃酒泉敦煌中学一模】函数 的零点所在的区间是(　　)

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】函数是上的单调增函数，且是连续函数，∵，，∴，

∴故函数的零点所在的区间为，∴方程的解所在区间是，故选C．学科*网

2．【2019辽宁沈阳模拟】已知函数，，的零点依次为，则以下排列正确的是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

3．【22018高考新课标I卷】已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（   ）

A．[–1，0）    B．[0，+∞）    C．[–1，+∞）    D．[1，+∞）

【答案】C

【解析】画出函数的图象，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C．

4．【2019上海普陀区一模】设是定义在R上的周期为4的函数，且，记，若则函数在区间上零点的个数是（    ）

A．5    B．6    C．7    D．8

【答案】D

【解析】由图可知：直线与在区间上的交点有8个，故选D．

5．【2019安徽黄山一模】若函数有两个不同的零点，且，，则实数的取值范围为(    )

A．    B．    C．    D．

【答案】C

6．【2019福建宁德一模】已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（   ）[来源:学#科#网]

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】绘制出的图象，有3个零点，令与有三个交点，

则介于1号和2号之间，2号过原点，则，1号与相切，则，，代入中，计算出，所以a的范围为，故选A．学科%网

7．【2019广东汕头模拟】设函数是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C[来源:学科网ZXXK]

【解析】，是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出的图象如图所示，在上有且仅有三个零点，和的图象在上只有三个交点，结合图象可得，解得，即的范围是，故选C．

8．【2019长春一模】已知函数与，则函数 在区间上所有零点的和为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】在区间上所有零点的和，等价于函数的图象交点横坐标的和，

画出函数的图象，函数的图象关于点对称，则共有8个零点，其和为16，故选D．

9．【2019江西南昌模拟】设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】恰有3个零点，则恰有3个根，令，即 与恰有3个交点，，

当时，，所以在上是减函数；[来源:学§科§网]

当时，，

当时，，

当时，，所以在时增函数，在时减函数，且，，所以，故选A．

10．【2019安徽肥东高级中学零模】已知是定义是上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（     ）

A．3    B．5    C．7    D．9

【答案】D

又∵函数是定义域为的奇函数，∴在区间上，有．
由，取，得，得，

∴．

又∵函数是周期为3的周期函数，∴方程=0在区间上的解有共9个，故选D．

11．【2019河北衡水中学五调】已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（   ）

A．    B．

C．    D．

【答案】B

【解析】由题意函数恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数与有两不同交点，作出函数图象如下图，

易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点．故选B．

12．【2019河北衡水中学四调】已知是减函数，且有三个零点，则的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】当，单调递减，

可得在恒成立．

当，恒成立，可得，而，所以，

当，恒成立，可得，而，所以，故．

由题意知：与图象有三个交点，当时，只有一个交点，不合题意，

当时，由题意知，和为两个图象交点，只需在有唯一零点．

时，，即有唯一解．学科@网

令，．令得，

所以，单调递减；时，，单调递增．

时，，时，，所以要使在有唯一解，只需或，故选D．

13．【2019广西百色摸底调研】已知函数有唯一零点，则______．

【答案】

14．【2019福建龙岩期末考】已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】令，求导，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减，在时，取得最大值为．结合单调性，可以画出函数的图象(见下图)，当时，函数有3个零点．

15．【2019四川成都七中一模】若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与有三个不同的交点，如图所示：当时，的图象易得，当时，函数g(x)=，==0，x=1，

在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，如图所示，有三个不同的交点，a≤4

故答案为：

16．【2019辽宁9月联考】已知是函数在上的所有零点之和，则的值为__________．

【答案】

【解析】因为，所以函数关于对称，如图可得曲线与有四个交点，所以函数 在上有8个零点，且两两关于对称，因此