【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一1.5.2 第1课时 点到直线的距离【讲义+习题】

1.5.2　点到直线的距离
第1课时　点到直线的距离
学习目标　1.会用坐标法、面积法推导点到直线的距离公式的运算过程.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用．
导语
在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？
一、点到直线的距离公式
问题　如图，在平面直角坐标系中，已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)和直线l外一点P(x0，y0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？

提示　根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为，

∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组，
解得交点Q，
∴PQ＝.
知识梳理
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝.
注意点：
(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；
(2)分子含有绝对值；
(3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
例1　已知两点A(3,2)，B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　　)
A．－6或1 B．－或1
C．－或 D．－6或
答案　D
解析　方法一　依题意得，直线mx＋y＋3＝0过线段AB的中点或与直线AB平行．
①线段AB的中点坐标为(1,3)，且在直线mx＋y＋3＝0上．
∴m＋3＋3＝0，解得m＝－6；
②由两直线平行知＝－m，解得m＝.
因此m的值为－6或，故选D.
方法二　由题意得＝.
解得m＝－6或m＝，故选D.
反思感悟　两点到直线的距离相等，可用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法．
跟踪训练1　(多选)已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P使PM＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．4x－3y＝0 D．2x－y＋1＝0
答案　BC
解析　选项A中，点M到直线y＝x＋1的距离d＝＝3>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM＝4，故A中的直线不是点M的“相关直线”；
选项B中，点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使PM＝4，故B中的直线是点M的“相关直线”；
选项C中，点M到直线4x－3y＝0的距离d＝＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使PM＝4，故C中的直线是点M的“相关直线”；
选项D中，点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝＝>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM＝4，故D中的直线不是点M的“相关直线”．
二、点到直线的距离公式的简单应用
例2　求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程．
解　方法一　由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意．
过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为＝，即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意．
故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
方法二　显然所求直线的斜率存在，
设直线方程为y＝kx＋b，
根据条件得
化简得或
所以或
所以所求直线l的方程为
y＝－4x＋6或y＝－x＋，
即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
反思感悟　求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离．
跟踪训练2　已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)
A. B．2－ C.－1 D.＋1
答案　C
解析　由点到直线的距离公式得＝＝1，∴|a＋1|＝.
∵a>0，∴a＝－1.


三、点到直线距离公式的综合应用
例3　(1)已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么OP的最小值为(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　A
解析　OP的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝.
(2)当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值是________．
答案　－1
解析　直线mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m(x－2)，由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q(2,1)且斜率为m，结合图象可知当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点到直线距离最大，此时m·＝－1，解得m＝－1.
反思感悟　解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的．
跟踪训练3　(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP最小时点P的坐标；
(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程．
解　(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，
则kOP＝1，
∴OP所在的直线方程为y＝x.
由解得
∴点P的坐标为(2,2)．
(2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2，
∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.

1．知识清单：
(1) 点到直线的距离公式的推导过程．
(2) 点到直线的距离公式d＝.
(3) 公式的应用．
2．方法归纳：公式法、数形结合．
3．常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在．

1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A．1 B.
C．2 D.
答案　D
2．(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于(　　)
A．0 B.
C．3 D．2
答案　AB
解析　点M到直线l的距离d＝＝3，
所以m＝0或.
3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则MP的最小值是(　　)
A. B.
C. D．3
答案　B
解析　点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为MP的最小值，所以MP的最小值为＝.
4．已知直线l经过点(－2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为_____________．
答案　x＋2＝0或5x＋12y－26＝0
解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.
当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，
由d＝＝2，
得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.
综上，直线l的方程为
x＋2＝0或5x＋12y－26＝0.


1．(多选)直线l过点B(3,3)，若A(1,2)到直线l的距离为2，则直线l的方程可以为(　　)
A．3x＋4y－21＝0 B．4x＋3y－21＝0
C．x＝3 D．y＝3
答案　AC
解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3满足条件．直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－3)，即kx－y＋3－3k＝0.由题意可得＝2，解得k＝－，所以直线l的方程为3x＋4y－21＝0.
综上，可得直线l的方程为
x＝3或3x＋4y－21＝0.
2．已知直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x－y＋5＝0互相垂直，则点(1,2)到直线l1的距离为(　　)
A．1 B．2 C. D．2
答案　C
解析　由已知得，＝－a，＝1，又l1⊥l2，
∴－a×1＝－1，解得a＝1.
此时直线l1的方程为x＋y－1＝0，
∴点(1,2)到直线l1的距离d＝＝.
3．若直线l平行于直线3x＋y－2＝0且原点到直线l的距离为，则直线l的方程是(　　)
A．3x＋y±10＝0 B．3x＋y±＝0
C．x－3y±10＝0 D．x－3y±＝0
答案　A
解析　设与直线3x＋y－2＝0平行的直线方程为3x＋y＋m＝0，由原点到直线l的距离为，得＝，则m＝±10，所以直线l的方程是3x＋y±10＝0.
4．点P(2,3)到直线l：ax＋y－2a＝0的距离为d，则d的最大值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．7
答案　A
解析　直线方程可变形为y＝－a(x－2)，据此可知直线恒过定点M(2,0)，当直线l⊥PM时，d有最大值，结合两点间距离公式可得d的最大值为＝3.
5．(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　AB
解析　由点到直线的距离公式可得
＝，
化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，
解得a＝－或－.
6．(多选)与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为(　　)
A．4x＋3y－3＝0 B．4x＋3y＋17＝0
C．4x－3y－3＝0 D．4x－3y＋17＝0
答案　AB
解析　设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.
则＝2，
即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17.
故所求直线方程为
4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
7．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为____________________________．
答案　x－y＋10＝0或x－y－10＝0
解析　因为直线斜率为tan 60°＝，
所以可设直线方程为y＝x＋b，
化为一般式得x－y＋b＝0.
由直线与原点的距离为5，
得＝5，即|b|＝10.所以b＝±10.
所以直线方程为
x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
8．经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为_______．
答案　2
解析　设所求直线l的方程为
x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，
即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，
因为原点到直线的距离
d＝＝1，
所以λ＝±3，
即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，
所以和原点相距为1的直线的条数为2.
9．已知△ABC三个顶点的坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
解　由直线方程的两点式得直线BC的方程为
＝，即x－2y＋3＝0.
设点A到直线BC的距离为d，即为BC边上的高，
则d＝＝.
由两点间距离公式得BC＝＝2，所以S＝BC·d＝×2×＝4，
即△ABC的面积为4.
10．已知直线l经过点P(－2,1)，且与直线x＋y＝0垂直．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程．
解　(1)由题意知直线l的斜率为1，所求直线方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为x－y＋c＝0，由点到直线的距离公式得＝，即|c－3|＝2，
解得c＝1或c＝5.
所以所求直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0.

11．(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)
A．(1,2) B．(3，－4)
C．(2，－1) D．(4，－3)
答案　AC
解析　设点P的坐标为(a，5－3a)，
由题意得＝，
解得a＝1或2，
所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．
12．当点P(2,3)到直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为(　　)
A．3，－3 B．5,2
C．5,1 D．7,1
答案　C
解析　直线l恒过点A(－3,3)，
根据已知条件可知，当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.
13．已知点P(1＋t，1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为(　　)
A．(0，－2) B．(2,4)
C．(0，－2)或(2,4) D．(1,1)
答案　C
解析　直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2,4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)．
14．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________．
答案　
解析　设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
且＝PA.
PA的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.

15．已知直线l：y＝2ax＋(a－2)过第一、三、四象限，其中a∈Z，则点A(1，－3)到直线l的距离为______．
答案　
解析　因为直线l：y＝2ax＋(a－2)过第一、三、四象限，所以
所以0 又a∈Z，所以a＝1，
所以直线l的方程为y＝2x－1，
即2x－y－1＝0，
所以点A(1，－3)到直线l的距离为＝＝.
16．已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；
(2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系．
解　(1)联立
解得
即m与n的交点为(－21，－9)．
当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；
当直线l不过原点时，设l的方程为＋＝1，
将(－21，－9)代入得b＝－12，
所以直线l的方程为x－y＋12＝0，
故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0.
(2)设原点O到直线m的距离为d，
则d＝＝，
解得a＝－或a＝－，
当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0，
此时m∥n；
当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，
此时m⊥n.