【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)选修第一册 第3.2练《双曲线》培优分阶练（含解析）

第3.2练 双曲线 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ） A．24 B． C． D．30 【答案】A 【详解】 由，可得 又是是双曲线上的一点，则， 则，，又 则，则 则的面积等于 故选：A 2．双曲线的实轴长度是（       ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】 的，所以. 故双曲线的实轴长度是. 故选：D. 3．双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由双曲线得，所以渐近线方程为， 故选：B 4．已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（       ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】 由是一个等边三角形，可得 即，则有，即 则双曲线C的离心率 故选：A 5．已知是双曲线C：上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若，则y0的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意得， 因为， 所以，， 因为， 所以 ， 解得 故选：A 6．已知双曲线的渐近线与圆相切，则a=（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意得双曲线的渐近线方程为，根据对称性，不妨取，即， 因为渐近线与圆相切， 所以圆心（0,2）到直线的距离，解得， 所以或（舍）. 故选：B 7．已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由已知焦距为4，所以 ，，又双曲线方程的渐近线方程为：，而直线的斜率，且直线与一条渐近线垂直，所以 ，即 ，由 解得 ，所以双曲线方程为： 故选：C. 8．过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（       ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】 椭圆，，所以. 设以为直径的圆圆心为，如图所示： 因为圆与圆外切，所以， 因为，， 所以， 所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支. 即，曲线. 所以为曲线上的一动点，则长度最小值为. 故选：C 9．已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（       ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】 由双曲线的对称性，假设在右支上，即， 由到的距离为，而， 所以， 综上，，同理，则， 对于双曲线，有且， 所以，而，即. 故选：D 10．已知双曲线与直线交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为，曲线C的左、右焦点分别为．若，则下列说法正确的是（       ） A． B．双曲线C的渐近线方程为 C．若，则的面积为 D．曲线的离心率为 【答案】D 【详解】 由，可得， 设，则，即， ∴，设， 则，，所以，即， 又，， 所以， ∴，即，故A错误； 所以双曲线，， 双曲线C的渐近线方程为，离心率为，故B错误，D正确； 若，则， 所以，的面积为1，故C错误. 故选：D. 二、多选题 11．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（       ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率为 D． 【答案】CD 【详解】 双曲线：焦点在轴上，，， 对于A选项，，而点在哪支上并不确定，故A错误 对于B选项，焦点在轴上的双曲线渐近线方程为，故B错误 对于C选项，，故C正确 对于D选项， 设，则（时取等号） 因为为的中点，所以，故D正确 故选：CD 12．已知曲线的方程为，下列说法正确的是（       ） A．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 B．曲线可能是圆 C．若，则曲线一定是双曲线 D．若为双曲线，则渐近线方程为 【答案】BD 【详解】 解：因为曲线的方程为， 对于A：曲线为焦点在轴上的椭圆，则，即，故A错误； 对于B：当时曲线表示圆，故B正确； 对于C：若，满足，曲线为，表示圆，故C错误； 对于D：若为双曲线，则， 当时，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为， 当时，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故D正确； 故选：BD 三、解答题 13．已知，，若点满足，则P点的轨迹是什么，并求点P的轨迹方程. 【答案】当时，轨迹是直线，轨迹方程为：； 当时，轨迹是以为焦点的双曲线的右支，轨迹方程为； 当时，轨迹是射线，轨迹方程为； 当时，点不存在. 【解析】 当时，易知，即点在的垂直平分线上，故P点的轨迹是直线，轨迹方程为：； 当时，由，知P点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为， 又知，故轨迹方程为； 当时，由知P点的轨迹是射线，轨迹方程为； 当时，显然满足的点不存在. 综上：当时，轨迹是直线，轨迹方程为：； 当时，轨迹是以为焦点的双曲线的右支，轨迹方程为； 当时，轨迹是射线，轨迹方程为； 当时，点不存在. 14．已知点､依次为双曲线（，）的左､右焦点，且，. (1)若，以为法向量的直线经过，求到的距离； (2)设双曲线经过第一､三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率. 【答案】(1)(2) 【解析】(1) 由题意，，，则，，直线的方程为. 所以，点到的距离为. (2) 由题意，，，其中，，则直线的斜率. 双曲线的一条渐近线，其斜率为. 因为直线与直线垂直，所以. 代入可得，，又因为，所以， 两边同除以，可得，解得. 又因为，所以. 15．已知双曲线过点，且离心率 (1)求该双曲线的标准方程： (2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 【答案】(1)(2)证明见解析， 【解析】 (1) 由题意，解得，， 故双曲线方程为 (2) 设点，， 设直线的方程为， 代入双曲线方程，得， ，，， 同理， . 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题 1．－＝4表示的曲线方程为（       ） A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2) 【答案】C 【详解】 根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合. 根据双曲线定义可知， 所以    由焦点在y轴上，所以 ，且到点 的距离比较大 所以 即曲线方程为 故选：C. 2．若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（       ）． A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】 因为双曲线两条渐近线方程是，故可设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，故，故双曲线的方程为，其离心率为 故选：B 3．已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，是的中点，所以， ，则， ，解得， 所以双曲线方程为． 故选：D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限交于点A，M为的中点，且，则双曲线C的渐近线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：由，即，又，且， 解得或（舍去）， 由且为的中点，知， ∴， ∴，∴，又， ∴，∴渐近线方程为. 故选：A 5．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.如图：为双曲线的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点处反射后射出（共线），且，则的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 连接，，即为等边三角形，由对称性可知，，，，，整理得，解得（舍） 故选：C 6．设，同时为椭圆：与双曲线：的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点．若，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设，因为点是双曲线和椭圆的交点， 根据椭圆和双曲线的定义可知， 所以，又因为， 所以有，即，化简有， 因为椭圆离心率，所以，即， ，令 所以有，在时单调递减 所以有. 故选：C 二、多选题 7．已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，则（       ） A．过点与只有一个公共点的直线有2条 B．若的离心率为，则点关于的渐近线的对称点在上 C．过的直线与右支交于两点，则线段的长度有最小值 D．若为等轴双曲线，点是上异于顶点的一点，且，则 【答案】BCD 【详解】 对于，过与只有一个公共点的直线，与渐近线平行的直线2条，与轴垂直的直线1条，共3条，则错误； 对于，所以，渐近线方程不妨取，即，设关于渐近线的对称点为，则， 解得，代入的方程，得，所以点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上，则B正确； 对于，过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，当直线与轴垂直时，线段长度最小，故正确； 对于D,双曲线为等轴双曲线，即，设，则①，又，则②，联立①②解得，易得，故D正确． 故选:BCD． 8．若曲线C的方程为，则（       ） A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为 B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为 C．当时，曲线C表示圆，半径为1 D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4 【答案】BC 【详解】 选项A，时，曲线方程为，表示椭圆，其中，，则，离心率为，A错； 选项B，时曲线方程为表示双曲线，渐近线方程为，即，B正确； 选项C，时，曲线方程为，表示圆，半径为1，C正确； 选项D，曲线C表示椭圆时，或， 时，，，， 时，，，， 所以，即，无最大值．D错． 故选：BC． 三、解答题 9．已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为. (1)求C的方程； (2)经过点的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程. 【答案】(1)；(2). 【解析】 (1) 双曲线C的渐近线方程为，则，且，解得，. 所以C的方程为. (2) 设，，直线l的斜率为k， 则，两式相减，得， 即，所以，即. 直线l的方程为，即. 经检验，直线与双曲线C有两个交点，满足条件， 所以，直线l的方程为. 10．已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线距离为． (1)求椭圆的方程； (2)点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，. 【解析】 (1) 双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为， 依题意，，椭圆上顶点为到直线的距离，解得， 所以椭圆的方程为． (2) 依题意，设直线l的方程为，、，点， 由消去y并整理得，则，， 直线FA、FB的斜率之和为， 即，有，整理得， 此时，，否则，直线l过F点， 因此当且，即且时，直线l与椭圆交于两点，直线l：， 所以符合条件的动直线l过定点．