人教版 八上 第13章 《等腰三角形》同步检测卷A卷（原卷+答案解析）

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等腰三角形 同步课时训练A卷
答案解析
一．选择题（共30分）
1．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）

A．∠EBC＝∠BAC B．∠EBC＝∠ABE C．AE＝EC D．AE＝BE
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BE＝BC，
∴∠ACB＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠A＝∠EBC，
故选：A．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A═55°，点P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（　　）

A．55° B．62° C．80° D．130°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】依据等腰三角形的性质即可得到∠B＝∠ACB＝62.5°，再根据三角形外角性质，即可得到62.5°≤∠APC≤125°，即可得到∠APC的度数可能是80°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A═55°，
∴∠B＝∠ACB＝62.5°，
∵∠APC是△BCP的外角，
∴∠APC＝∠B+∠BCP，
又∵点P是AB上的一个动点，
∴0≤∠BCP≤62.5°，
∴62.5°≤∠APC≤125°，
∴∠APC的度数可能是80°，
故选：C．
3．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　）

A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，作线段AB的垂直平分线，即可得出第三个顶点的位置．
【解答】解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过格点．
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个．

故选：A．
4．已知在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（4，3）点B在x轴或y轴上移动，若O、A、B三点可构成等腰三角形，则符合条件的B点有（　　）
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
【考点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定．
【分析】分三种情况说明：①以点O为圆心，OA长为半径画圆，与x轴、y轴有4个交点，②以点A为圆心，OA长为半径交x轴和y轴的正半轴有2个点，③作OA的垂直平分线交x轴和y轴的正半轴有2个点，即可得符合条件的B点个数．
【解答】解：分三种情况说明：
①以点O为圆心，OA长为半径画圆，
与x轴、y轴有4个交点，
这4个交点分别与点O、A构成4个等腰三角形；
②以点A为圆心，OA长为半径交x轴和y轴的正半轴有2个点，
这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；
③作OA的垂直平分线交x轴和y轴的正半轴有2个点，
这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；
综上所述：符合条件的B点有：4+2+2＝8（个）．
故选：B．
5．如图，在△ABC中，BC＝4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分別交AB、AC于点E、F，若EF＝2DF，则AB的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】延长AD，BC交于点G，根据BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，可得AB＝BG，D是AG的中点，依据DE∥BG，即可得出DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，求得BG＝2DE＝6，即可得到AB＝6．
【解答】解：如图，延长AD，BC交于点G，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠GBD，
∵AD⊥BD于点D，
∴∠ADB＝∠GDB＝90°，
又∵BD＝BD，
∴△ABD≌△GBD（ASA），
∴AB＝BG，
∴D是AG的中点，
又∵DE∥BG，
∴E是AB的中点，F是AC的中点，
∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC＝2，
又∵EF＝2DF，
∴DF＝1，
∴DE＝3，
∴BG＝2DE＝6，
∴AB＝6，
故选：B．

6．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°；BD平分∠ABC交AC于点D，点E是边AB上的一点，且满足ED＝EA；过点D作DF∥CB交AB于点F，则图中等腰三角形的个数为（　　）

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．
【解答】解：∵AB＝AC，ED＝EA，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，∠ADE＝36°，△ABC是等腰三角形，△ADE是等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝36°＝∠A，
∴∠CDB＝72°，DB＝DA，即△ABD是等腰三角形，
∴∠C＝∠CDB，
∴BC＝BD，即△BCD是等腰三角形，
∵DF∥BC，
∴∠AFD＝∠ADF＝∠C＝72°，∠BDF＝∠DBC＝∠DBF＝36°，
∴AF＝AD，即△ADF是等腰三角形，
BF＝DF，即△BDF是等腰三角形，
∵∠FED＝∠A+∠ADE＝72°＝∠AFD，
∴BE＝BD，即△BDE是等腰三角形，
∵∠FED＝∠EFD＝72°，
∴DF＝DE，即△DEF是等腰三角形，
故图中等腰三角形有8个，
故选：C．

7．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（　　）

A．（1，1） B．（1，） C．（，1） D．（，）
【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质．
【分析】过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，所以可求出OH和BH长．
【解答】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，

∴OH＝1，BH＝．
∴点B的坐标为（1，）．
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，等边△OBC的边OC在x轴正半轴上，点O为原点，点C坐标为（12，0），D是OB上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥OB于点G．当G与D重合时，点D的坐标为（　　）

A．（1，） B．（2，2） C．（4，4） D．（8，8）
【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质．
【分析】设BG＝x，依据∠BFG＝∠CEF＝∠ODE＝30°，可得BF＝2x，CF＝12﹣2x，CE＝2CF＝24﹣4x，OE＝12﹣CE＝4x﹣12，OD＝2OE＝8x﹣24，再根据当G与D重合时，OD+BG＝OB列方程，即可得到x的值，进而得出点D的坐标．
【解答】解：如图，设BG＝x，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE⊥OC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥OB，
∴∠BFG＝∠CEF＝∠ODE＝30°，
∴BF＝2x，
∴CF＝12﹣2x，
∴CE＝2CF＝24﹣4x，
∴OE＝12﹣CE＝4x﹣12，
∴OD＝2OE＝8x﹣24，
当G与D重合时，OD+BG＝OB，
∴8x﹣24+x＝12，
解得x＝4，
∴OD＝8x﹣24＝32﹣24＝8，
∴OE＝4，DE＝4，
∴D（4，4）．
故选：C．

9．如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（　　）

A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形 D．△ACD是等边三角形
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定．
【分析】依据作图可得CA＝CD，BA＝BD，即可得到CB是AD的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到结论．
【解答】解：由题可得，CA＝CD，BA＝BD，
∴CB是AD的垂直平分线，
即CE垂直平分AD，故A选项正确；
∴∠CAD＝∠CDA，∠CEA＝∠CED，
∴∠ACE＝∠DCE，
即CE平分∠ACD，故B选项正确；
∵DB＝AB，
∴△ABD是等腰三角形，故C选项正确；
∵AD与AC不一定相等，
∴△ACD不一定是等边三角形，故D选项错误；
故选：D．
10．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④
【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定．
【分析】根据等边三角形的判定判断，三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形；
④根据等边三角形的性质，可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等．
所以都正确．
故选：A．
二 .填空题：（24分）
11.如图所示，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD＝　　．

【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC．
∴∠DBC＝180°﹣2∠C＝40°
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
12．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有　 个．

【解答】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
13.如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_____．

【答案】144°．
【详解】
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝＝36°，
∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°．

14．如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为_____．

【答案】12
【详解】
解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，

∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6 ∴2 ∴2 ∴则的最大值与最小值的差为12．
故答案为：12
15.．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是　 　．

【考点】等腰三角形的判定与性质；平移的性质．
【分析】已知△ADE是等腰三角形，所以可以分3种情况讨论：①当AD＝AE时，△ADE是等腰三角形．作AM⊥BC，垂足为M，利用勾股定理列方程可得结论；②当AD＝DE时，四边形ABED是菱形，可得m＝5；③当AE＝DE时，此时C与E重合，m＝8．
【解答】解：分3种情况讨论：
①当AD＝AE时，如图1，过A作AM⊥BC于M，
∵AB＝AC＝5，BM＝BC＝4，
∴AM＝3，
由平移性质可得AD＝BE＝m，
∴AE＝m，EM＝4﹣m，
在Rt△AEM中，由勾股定理得：AE2＝AM2+EM2，
∴m2＝32+（4﹣m）2，
m＝，
②当DE＝AE时，如图2，
由平移的性质得AD＝BE＝ED＝AB＝5，
即m＝5；
③当AC＝DE时，如图3，此时C与E重合，
m＝8；
综上所述：当m＝或5或8时，△ADE是等腰三角形．
故答案为：或5或8．



16.如图等边△ABC，边长为6，AD是角平分线，点E是AB边的中点，则△ADE的周长为　 ．

【解答】解：∵AB＝AC＝6，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝3，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝＝＝3，
∵E是AB的中点，
∴DE＝AB＝AE＝3，
∴△ADE的周长＝AE+DE+AD＝3+3+3＝6+3，
故答案为：6+3．
三．解答题（共66分）
17．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠E＝38°，求∠BAC的度数．

【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB，
∵AE∥DC，
∴∠BCD＝∠E＝38°，
∴∠ACB＝2×38°＝76°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝76°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝28°．
18.（8分）．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm．
依题意，得2x+2x+x＝18，
解得x＝．
∴2x＝．
∴三角形三边的长为cm、cm、cm．

（2）若腰长为4cm，则底边长为18﹣4﹣4＝10cm．
而4+4＜10，所以不能围成腰长为4cm的等腰三角形．
若底边长为4cm，则腰长为（18﹣4）＝7cm．
此时能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm．
19.（8分）．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC，EF分别交BC、BD于点F、G．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AE＝BE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形．

【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∵DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE＝CF，
∴BE＝CF．
（2）若AE＝BE，则AE＝DE＝BE，
∴∠A＝∠ADE，∠EBD＝∠EDB，
又∵∠A+∠ADE+∠EDB+∠EBD＝180°，
∴∠ADE+∠EDB＝90°，即BD⊥AC，
又∵EF∥AC，
∴BD⊥EF，
∴图中的直角三角形为：△ABD，△CBD，△BEG，△BFG，△DEG．

20.（10分）．如图，等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F．
（1）求BD的长；
（2）求证：BF＝EF；
（3）求△BDE的面积．

【考点】等边三角形的性质．
【分析】（1）依据等边三角形的性质，即可得到AD的长，进而运用勾股定理得出BD的长；
（2）依据等腰三角形的性质，即可得到BF＝EF；
（3）先求得BE＝BC+CE＝9，再根据∠DBE＝30°，DB＝3，即可得出DF＝DB＝，进而得到△BDE的面积．
【解答】解：（1）∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，BD平分AC，
∵AB＝6，
∴AD＝3，
∴由勾股定理得，BD＝＝3；
（2）证明∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠ACB＝30°．
∴∠DBE＝∠E，
∴DB＝DE．
∵DF⊥BE，
∴DF为底边上的中线．
∴BF＝EF；
（3）∵AD＝CD，CE＝CD，
∴CE＝CD＝3，
∴BE＝BC+CE＝9，
∵∠DBE＝30°，DB＝3，
∴DF＝DB＝×3＝，
∴△BDE的面积＝BE•DF＝×9×＝．

21.（10分）．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．
（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；
（2）若∠C＝30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．

【考点】三角形内角和定理；等边三角形的判定．
【分析】（1）根据余角的性质即可得到∠5＝∠C；由AD平分∠MAC，得到∠3＝∠4，根据三角形的外角的性质得到∠BAD＝∠ADB，推出△BAD是等腰三角形，于是得到结论．
（2）根据BA＝BD，∠ABD＝60°，可得△ABD是等边三角形；依据∠AEG＝∠AGE＝∠GAE，即可得到△AEG是等边三角形．
【解答】解：（1）BE垂直平分AD，理由：
∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠5＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴∠5＝∠C；
∵AD平分∠MAC，
∴∠3＝∠4，
∵∠BAD＝∠5+∠3，∠ADB＝∠C+∠4，∠5＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1＝∠2，
∴BE垂直平分AD．

（2）△ABD、△GAE是等边三角形．理由：
∵BE垂直平分AD，
∴BA＝BD，
又∵∠C＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵Rt△BGM中，∠BGM＝60°＝∠AGE，
又∵Rt△ACM中，∠CAM＝60°，
∴∠AEG＝∠AGE＝∠GAE，
∴△AEG是等边三角形．

22.（12分）如图，已知AD垂直平分线段BC，交BC于点D，连接AB，AC，且∠C＝60°，E为△ABC外一点，连接AE，BE和DE，DE交AB于点F，且AB平分∠EAD，ED＝EA．

(1)求∠EAD的度数；
(2)求证：AF⊥DE；
(3)试判断BF与BC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)∠EAD＝60°
(2)证明见解析
(3)
（1）
∵AD垂直平分线段BC，
∴AB=AC．
∵∠C＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAD＝30°．
∵AB平分∠EAD，
∴∠EAD＝60°；
（2）
∵ED＝EA，
∴△AED为等边三角形．
∵AB平分∠EAD，
∴AF⊥DE；
（3）
∵△ABC为等边三角形，
∴∠FBD=60°，．
∵∠BFD=90°，
∴，
∴．

23.（12分）已知，点P是等边中一点，以线段为边向右边作等边，连接、．

（1）求证：；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）根据证明，则可得出结论；
（2）证明，由勾股定理可求出答案．
【详解】
解：（1）证明：是等边三角形，
，，
是等边三角形，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）是等边三角形，
，，
，
，
，
，
是直角三角形，
．