第10章 概率 章末综合(教学设计）-2022-2023学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)

《第十章  概率 》

章末综合   教学设计

一、知识网络构建

二、核心知识归纳

1.频率与概率

频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.

2.求较复杂概率的常用方法

(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；

(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解.

3.古典概型概率的计算

关键要分清样本点的总数n与事件A包含的样本点的个数k，再利用公式P(A)＝求解.有时需要用列举法把样本点一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏.

三、典型例题

1.随机事件的概率

【例1】假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图所示:             

(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率.

(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.

解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为=,用频率估计概率,所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.

(2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品是75个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是=,用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.

【类题通法】对于概率的定义应注意以下几点

(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验.

(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率.

(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.

(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小.

(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.

【巩固训练1】下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题．

(1)完成上面表格；

(2)估计该油菜籽发芽的概率是多少？

解：(1)从左到右依次填入：1,0.8,0.9,0.857，0.892，0.897,0.898,0.897,0.896.

(2)由于每批种子发芽的频率稳定在0.897附近，所以估计该油菜籽发芽的概率为0.897.

2.　概率的性质

【例2】一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.

(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率.

解　(1)从袋中随机取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，所以取出的球的编号之和不大于4的概率p1＝.

(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，所有(m，n)有16种，而n≥m＋2有1和3，1和4，2和4三种结果，所以n<m＋2的概率p2＝1－＝.

【类题通法】1.若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).

2.设事件A的对立事件是，则P(A)＝1－P().

【巩固训练2】黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：

已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是B型血，若张三因病需要输血，问：

(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？

(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？

解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O的事件分别记为A′，B′，C′，D′，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35，因为B，O型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件B′∪D′.依据互斥事件概率的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.

(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件A′∪C′，依据互斥事件概率的加法公式，有P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.

法二：因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有P(A′∪C′)＝1－P(B′∪D′)＝1－P(B′)－P(D′)＝1－0.64＝0.36.

3.古典概型

【例3】海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；

(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.

解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，

所以样本包含三个地区的个体数量分别是

50×＝1，150×＝3，100×＝2.

所以这6件样品中来自A，B，C三个地区的数量分别为1，3，2.

(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2，

则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有样本点为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个.

每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.

记事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有：

{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.

所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.

【类题通法】古典概型及其解法

(1)古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性.

(2)在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有样本点一一列举出来，以便确定样本点总数及事件所包含的样本点数.这就是我们常说的穷举法.在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏.

【巩固训练3】甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.

(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.

解：(1)甲校2名男教师分别用A，B表示，1名女教师用C表示；乙校1名男教师用D表示，2名女教师分别用E，F表示.

从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：

(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种.

从中选出2名教师性别相同的结果有：

(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，

所以选出的2名教师性别相同的概率为p＝.

(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为：

(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种.

从中选出2名教师来自同一所学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为p＝＝.

4.事件的相互独立性

【例4】计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.

(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？

(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.

解：(1)设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则

P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，P(C)＝×＝.

因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性大.

(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则

P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)

＝××＋××＋××＝.

【类题通法】计算相互独立事件同时发生的概率的步骤

(1)先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，把这些事件分为若干个彼此互斥的事件的和；

(2)根据相互独立事件的概率计算公式计算出这些彼此互斥的事件的概率；

(3)根据互斥事件的概率加法公式求出结果.

【巩固训练4】甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出.已知在一局比赛中甲、乙两人获胜的概率分别为，，则甲胜出的概率为________.

解析：法一：甲胜的情况：①举行一局比赛，甲胜出，比赛结束；②举行两局比赛，第一局乙胜、第二局甲胜.①②的概率分别为，×，且这两个事件是互斥的，所以甲胜出的概率为＋×＝.

法二：因为比赛只有甲胜出和乙胜出两个结果，而乙胜出的情况只有一种，举行两局比赛都是乙胜，其概率为×＝，所以甲胜出的概率为1－＝.

答案：

5.概率与统计的综合应用

例5.某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下表和各年龄段人数的频率分布直方图：

(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；

(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用样本量按比例分配的分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．

解：(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为＝0.06.频率直方图如下：

第一组的人数为＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n＝＝1 000.

由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p＝＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.

(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30＝2:1，

所以采用样本量按比例分配的分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中抽4人，[45,50)岁中抽2人．

设[40,45)岁中抽的4人为a，b，c，d，[45,50)岁中抽的2人为m，n，则选取2人作为领队对应的样本空间={(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)}，共有15个样本点；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8样本点．

所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为.

【类题通法】概率与统计的综合应用的关注点

概率与统计相结合，所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率往往是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大.在解决问题时,要求对图表进行观察、分析、提炼,挖掘出图表所给予的有用信息,排除有关数据的干扰,进而抓住问题的实质,达到求解的目的.

【巩固练习5】为了加强中学生实践、创新和团队建设能力的培养，促进教育教学改革，市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛．某中学举行了选拔赛，共有150名学生参加，为了了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，清你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：

(1)完成频率分布表(直接写出结果)，并作出频率分布直方图；

(2)若成绩在90.5分以上的学生获一等奖，试估计全校获一等奖的人数，现在从全校所有获一等奖的同学中随机抽取2名同学代表学校参加竞赛，某班共有2名同学荣获一等奖，求该班同学恰有1人参加竞赛的概率.

解：(1)频率分布表如下：

频率分布直方图如图．

(2)获一等奖的概率约为0.04，所以获一等奖的人数估计为150×0.04＝6(人)．

记这6人为A1，A2，B，C，D，E，其中，A1，A2为该班获一等奖的同学．

从全校所有获一等奖的同学中随机抽取2名同学代表学校参加竞赛，对应的样本空间={(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A1，E)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(A2，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)},共有15个样本点．

该班同学中恰有1人参加竞赛，包含8个样本点：(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A1，E)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(A2，E)．

所以该班同学中恰有1人参加竞赛的概率P＝.

四、操作演练  素养提升

1.坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行不放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是(　　)

A．互斥事件　　　      　B．相互独立事件

C．对立事件              D．不相互独立事件

解析：由互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义可知，A1与A2不互斥也不对立，同时A1与A2也不相互独立．

答案：D

2.集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　)

A.　　　　B.　　　  　C.　　　　D.

解析:从A，B中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共有6个样本点，满足两数之和等于4的有(2,2)，(3,1)，有2个样本点，所以P＝＝.

答案:　C

3.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)

A.      B.      C. D.

解析：由题意，从五位大学毕业生中录用三人，对应的样本空间={(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共有10个样本点，其中“甲与乙均未被录用”包含的样本点只有(丙，丁，戊)这1个，故其对立事件“甲或乙被录用”包含的样本点有9个，所求概率P＝.

答案：D

4.某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛，现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4；每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响；现規定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（　　）

A．0.5 B．0.48 

C．0.4 D．0.32

解析：设“第一次投进球”为事件A，“第二次投进球”为事件B，则得2分的概率为P＝P（AB）+P（B）＝0.4×0.6+0.6×0.4＝0.48．

答案：B

五、课堂小结，反思感悟

1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

六、作业布置

完成教材：第263页  复习参考题10    第1，2，3,4,5,6,7,8,9题

 七、课堂记录

八、教学反思