数学九年级上册2.7 弧长及扇形的面积同步达标检测题

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.7弧长及扇形面积》同步练习题（附答案）

一．选择题

1．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（　　）

A．π B．π C．π D．π

2．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路（）的长度为（　　）

A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm

3．如图，若半径为2cm的定滑轮边缘上一点A绕中心O逆时针转动150°（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（　　）

A．5πcm B． C． D．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（　　）

A． B． C． D．

5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（　　）

A．9 B．6 C．3 D．12

6．如图，Rt△BCO中，∠BCO＝90°，∠CBO＝30°，BO＝2cm，将△BCO绕点O逆时针旋转至△B'C'O，点C'在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（　　）

A．πcm2 B． 

C．2πcm2 D．

7．如图，在边长为4的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，求的长为（　　）

A． B． C． D．

二．填空题

8．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 　   　cm．（结果保留π）

9．如图，传送带的一个转动轮的半径为18cm，如果转动轮绕着它的轴心转n°时，传送带上的物品A被传送15πcm（在传送过程中物品A无滑动），则n＝　   　．

10．如图，D是以AB为直径的半圆O的中点，＝2，E是直径AB上一个动点，已知AB＝2cm，则图中阴影部分周长的最小值是 　   　cm．

11．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则重叠部分（即阴影部分）的面积为 　   　．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为 　   　．

13．已知一个扇形的半径为2cm，弧长是，则它的面积为 　   　cm2．

14．如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是 　   　．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 　   　．（结果保留π）

16．如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 　   　．

17．如图，在扇形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，若以点C为圆心，CA为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是 　   　．

三．解答题

18．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至D，使得DC＝CB，延长DA与⊙O交于点E，连接AC，CE．

（1）求证：∠D＝∠E；

（2）若AB＝4，的长度为π，求阴影部分的面积．

19．已知四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的直径AE交BC于点F，已知AD∥BC，AF＝AB．

（1）求证：AE∥CD；

（2）∠BAE＝45°，CD＝，求弧AC的长．

20．平行四边形的对角线AC⊥AB，以AC为直径的⊙O交AD于点E．

（1）如图1，若＝2，求的值．

（2）如图2，若AC＝10，∠ACB＝15°，把边BC下方的弧以BC为对称轴向上翻折，与对角线AC交于点F，求CF的值．

21．如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．

（1）求证：∠ACO＝∠BCP；

（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；

（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

22．如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为2米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地．

（1）若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积．（结果保留π）

（2）为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积．（结果保留π）

参考答案

一．选择题

1．解：∵CA＝CB，CD⊥AB，

∴AD＝DB＝AB′．

∴∠AB′D＝30°，

∴α＝30°，

∵AC＝4，

∴AD＝2，

∴，

∴的长度l＝＝π．

故选：B．

2．解：∵半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，

∴这段弯路（）的长度为：＝40π（m），

故选：C．

3．解：根据题意得：l＝＝（cm），

则重物上升了cm，

故选：C．

4．解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠C＝90°，

∵BA＝BE＝2，BC＝，

∴∠CBE＝30°，

∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，

∴S扇形BAE＝＝，

故选：C．

5．解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠OCE＝45°，

∵OE＝OC，

∴∠OEC＝∠OCE＝45°，

∴∠EOC＝90°，

∴OE垂直平分BC，

∴BE＝CE，

∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，

∴，

故选：A．

6．解：∵将△BCO绕点O逆时针旋转至△B'C'O，∠OBC＝30°，

∴OC＝OC′，∠C′OB′＝∠COB，OB＝OB′＝2cm，S△COB＝S△C′OB′，

∵∠BCO＝90°，OBC＝30°，BO＝2cm，

∴∠COB＝90°﹣∠OBC＝60°，OC＝OB＝1cm，

∴∠COC′＝120°，

∴∠BOB′＝∠COB′＝120°﹣∠C′OB′＝120°﹣60°＝60°，

∴阴影部分的面积S＝S扇形BOB′+S△C′OB′﹣S扇形COC′﹣S△COB

＝S扇形BOB′﹣S扇形COC′

＝﹣

＝﹣

＝π（cm2），

故选：A．

7．解：连接AD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC＝4，

∵D为BC的中点，

∴BD＝CD＝2，AD⊥BC，

∴AD＝＝＝2，

∴的长为＝，

故选：A．

二．填空题

8．解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为120°所对应的弧长，

即＝4π，

故答案为：4π．

9．解：由题意得，＝15π，

解得n＝150，

故答案为：150．

10．解：连接DO，延长DO至F，使得DO＝OF，连接OC、CF、EF、CD，

∵D是以AB为直径的半圆O的中点，

∴∠AOD＝∠BOD＝90°，

∴点D、点E关于AB对称，

∴CE＝EF，

∴CE+DE＝CE+EF≥CF，

当点C、E、F三点依次在同一直线上时，CE+DE＝CF的值最小，

∵＝2，

∴∠COD＝2∠BOC＝60°，

∵CO＝OD＝OF＝1，

∴△OCD为等边三角形，∠F＝∠OCF＝30°，∠OCD＝60°，

∴∠DCF＝90°，DC＝OD＝1，

∴CF＝，

∴CE+DE的最小值为，

∵，

∴图中阴影部分周长的最小值是（+）cm．

故答案为：（+）．

11．解：过O作OD⊥AB于D，交劣弧AB于E，如图：

∵把半径为3的⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，

∴OD＝DE＝，OA＝3，

在Rt△ODA中，sin∠OAD＝＝，

∴∠A＝30°，

∴∠AOE＝60°，

同理∠BOE＝60°，

∴∠AOB＝60°+60°＝120°，

在Rt△ODA中，由勾股定理得：AD＝＝＝，

∵OD⊥AB，OD过O，

∴AB＝2AD＝3，

∴阴影部分的面积S＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×3×＝3π﹣，

故答案为：3π﹣．

12．解：连接AD，OE

∵AB为直径，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∴∠ADF+∠CDF＝90°，

∵DF⊥AC，

∴∠AFD＝90°，

∴∠ADF+∠DAF＝90°，

∴∠CDF＝∠DAC，

∵∠CDF＝15°，

∴∠DAC＝15°，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠OEA＝30°，

∴∠AOE＝120°，

作OH⊥AE于H，

在Rt△AOH中，OA＝4，

∴OH＝sin30°×OA＝2，

AH＝cos30°×OA＝6，

∴AE＝2AH＝12，

∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝﹣＝16π﹣12．

故答案为：16π﹣12．

13．解：扇形的面积＝××2＝（cm2）．

故答案为：．

14．解：如图，∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBE＝∠OCG＝45°，S△OBC＝S四边形ABCD＝4，

∵∠BOC＝∠EOG＝90°，

∴∠BOE＝∠COG，

在△BOE和△COG中，

，

∴△OBE≌△OCG（SAS），

∴S△OBE＝S△OCG，

∴S四边形OECG＝S△OBC＝4，

∵△OBC是等腰直角三角形，BC＝4，

∴OB＝OC＝2，

∴S阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG

＝﹣4

＝2π﹣4，

故答案为：2π﹣4．

15．解：连接OD，OE，

∵OC＝OE，

∴∠OCE＝∠OEC，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠COE+∠OCE+∠OEC，

∴∠A＝∠COE，

∵圆O与边AB相切于点D，

∴∠ADO＝90°，

∴∠A+∠AOD＝90°，

∴∠COE+∠AOD＝90°，

∴∠DOE＝180°﹣（∠COE+∠AOD）＝90°，

∴劣弧的长是＝2π．

故答案为：2π．

16．解：如图，设O′A′交于点T，连接OT．

∵OT＝OB，OO′＝O′B，

∴OT＝2OO′，

∵∠OO′T＝90°，

∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°，

∴S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）

＝﹣（﹣×1×）

＝+．

故答案为：+．

17．解：连接AD，

∵以点C为圆心，CA为半径画弧，与交于点D，AB＝1，

∴AD＝AC＝CD＝1，

∴△ADC是等边三角形，

∴∠DCA＝∠DAC＝60°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣60°＝30°，

∴阴影部分的面积＝S扇形BAD＝＝π，

故答案为：π．

三．解答题

18．解：（1）∵AB是圆O直径，

∴AC⊥BD；

又∵DC＝BC，

∴AC⊥BD，且平分BD，

∴AD＝AB，

∴∠D＝∠B；

∵∠B＝∠E

∴∠D＝∠E．

（2）如图，连接OC，过点O作OF⊥BC于点F．

设∠AOC＝α度，由弧长公式得：

，

∴α＝60，即∠AOC＝60°；

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，而∠AOC＝∠OBC+∠OCB，

∴∠B＝30°，AC＝AB＝2；OF＝OB＝1；

∴BC＝2；

S阴影＝S扇形AOC+S△BOC

＝＝．

19．（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ABC+∠D＝180°，

∵AD∥BC，

∴∠D+∠C＝180°，

∴∠ABC＝∠C，

∵AF＝AB，

∴∠B＝∠AFB，

∴∠AFB＝∠C，

∴AE∥CD；

（2）解：连接BE，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ABE＝90°，

∵∠BAE＝45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∵∠ABC＝∠C，

∴AB＝CD＝BE＝，

∴AE＝＝＝2，

即半径AO＝1，

∵∠BAE＝45°，AB＝AF，

∴∠ABC＝∠AFB＝（180°﹣∠BAE）＝67.5°，

即所对的圆心角的度数为135°，

∴的长为＝π．

20．解：（1）连结OE，

∵＝2，

∴∠AOE＝2∠EOC，

∵∠AOE+∠EOC＝180°，

∴∠EOC＝60°，

∵∠EAC是所对的圆周角，

∴∠EAC＝∠EOC＝30°，

又∵在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥AB，

∴AC⊥CD，

∴；

（2）作∠BCG＝15°，交圆O于点G，连结AG，

由对称性可得CF＝CG，∠ACG＝30°，

∵∠AGC是直径AC所对的圆周角，

∴∠AGC＝90°，

∴CF＝CG＝．

20．（1）证明：∵AB是半圆O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CP是半圆O的切线，

∴∠OCP＝90°，

∴∠ACB＝∠OCP，

∴∠ACO＝∠BCP；

（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，

∵∠ABC＝2∠BCP，

∴∠ABC＝2∠ACO，

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠A，

∴∠ABC＝2∠A，

∵∠ABC+∠A＝90°，

∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，

∴∠ACO＝∠BCP＝30°，

∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，

答：∠P的度数是30°；

（3）解：由（2）知∠A＝30°，

∵∠ACB＝90°，

∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，

∴S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2，

∴阴影部分的面积是π×（）2﹣2＝2π﹣2，

答：阴影部分的面积是2π﹣2．

22．（1）解：当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大面积S＝+

＝13π（平方米），

答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是13π平方米；

（2）解：当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大面积S＝++

＝（平方米），

答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是平方米．