第3讲 实数的运算及分数指数幂（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

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模块一：近似数的精确度
.知识精讲
知识点：有关概念
1．准确数概念：
一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数．
2．近似数概念：
与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）．
☆在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数．
☆取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用）
3．精确度概念：
近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度．
☆近似数的精确度通常有两种表示方法：
精确到哪一个数位；
保留几个有效数字．
4．有效数字概念：
对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．
例题解析
例1.一个正数的平方是3，这个数的准确数_________；近似数（精确到千分之一位）是_______；近似数的有效数字有_______位，有效数字是_______．
【难度】★
【答案】； ； 四； 1、7、3、2．
【解析】，所以有效数字是四位，有效数字是 1、7、3、2．
【总结】本题主要考查了准确度、近似数和有效数字的概念.
例2.写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位?
1)2000； 2）4.523亿；3）；4）0.00125．
【难度】★
【答案】1)有效数字：2、0、0、0，精确到个位；
2）有效数字：4、5、2、3，精确到十万位；
3)有效数字：7、3、3，精确到千位；
4）有效数字：1、2、5，精确到十万分位．
【解析】对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，
叫做这个近似数的有效数字．
【总结】解答此题的关键在于掌握近似数、有效数字与科学记数法的知识点．
例3.用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．
（1）0.008435(保留三个有效数字) ≈_________；
（2）12.975(精确到百分位) ≈_________；
（3）548203(精确到千位) ≈_________；
（4）5365573(保留四个有效数字) ≈_________．
【难度】★
【答案】（1）0.00844； （2）12.98； （3）； （4）．
【解析】（1）0.00844； （2）12.98； （3）； （4）．
【总结】解答本题的关键是理解有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．
例4.已知，按四舍五入法取近似值．
（1）__________（保留五个有效数字）；
（2）_________（保留三个有效数字）；
（3）0.045267_________（保留三个有效数字）．
【难度】★★
【答案】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或．
【解析】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或．
【总结】本题主要考查的是有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．
例5.用四舍五入法得到：小智身高1.8米与小智身高1.80米，两者有什么区别?
【难度】★★
【答案】精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位．
【解析】根据末尾数字所在的数位解答，精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位.
【总结】本题主要考查了精确度的概念．
例6.下列近似数各精确到哪一个数位？各有几个有效数字？
（1）2000 （2）0.6180
（3）7.20万 （4）
解：（1）精确到个位，有4个有效数字：2、0、0、0；
（2）精确到万分位，有4个有效数字：6、1、8、0；
（3）精确到百位，有3个有效数字：7、2、0；
（4）精确到千位，有3个有效数字：5、1、0．
例7：地球表面积约为平方千米，平均每平方千米的地球表面上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧千克煤所产生的能量．一年内，地球从太阳得到的能量约相当于燃烧_______________千克煤产生的能量（保留3个有效数字）．
解：一年内从太阳得到的能量相当于燃烧

例8.废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量)．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为________立方米．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查了科学记数法的表示方法．
模块二：分数指数幂
知识精讲
有理数指数幂
把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：
，，其中、为正整数，．
上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数．
整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂．
有理数指数幂的运算性质：
设，，、为有理数，那么
（1），；
（2）；
（3），．
例题解析
例1.把下列方根化为幂的形式：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【难度】★
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）．
【解析】（1）； （2）；
（3） ； （4）；
（5）； （6）．
【总结】本题主要考查的是将方根化为分数指数幂的运算．
例2.把下列分数指数幂化为方根形式：
（1）；（2）； （3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1） ； （2）；
（3）； （4）．
【总结】本题考查了分数指数幂与根式之间的互换．
例3.化简：
（1）； （2）．
【难度】★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）；
（2）．
【总结】本题主要考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
例4.计算下列各值：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）；
（2）因为，所以， 所以或，
因为，所以． 故当时，原式．
【总结】本题考查了平方根有意义的条件及混合运算．
例5.计算下列各值：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）；
．
【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用公式进行．
例6.计算：
（1）； （2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）；
；
．
例7.已知，求下列各式的值：（1）；（2）.
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）， ，
又， ；
．
【总结】本题主要考查有理数指数幂的化简求值．
例8.若的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】，
．
【总结】本题主要考查了积的乘方的逆运算及分数指数幂和负指数幂的综合运算．
例9.已知，，，，试用的代数式表示下列各数值．
（1）；（2）； （3）； （4）．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）； （2）；
（3）；
（4）．
【总结】本题考查了根式与分数指数幂的相互转化问题．
例10.已知：的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】， 又，
， ，
又， ， ．
【总结】本题主要考查了负整数指数幂及乘法公式的综合应用．
例11.材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为lg28（即lg28=3）．一般地，若（且 ，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为lg381（即lg381=4）；
（1）计算以下各对数的值：lg24=______，lg216=______，lg264=______；
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，lg24、lg216、lg264之间又
满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?
=______；（且，M＞0，N＞0）．
【难度】★★★
【答案】（1）2，4，6； （2），；（3）．
【解析】（1），，；
（2），；
（3）．
【总结】本题考查学生对新概念的理解及运用．
模块三：实数的运算
知识精讲
在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．
实数运算常用到的公式有：
；；；．
例题解析
例1.的整数部分为a，小数部分为b，则=_________．
【难度】★
【答案】．
【解析】，，，．
【总结】本题主要考查了无理数的估算及完全平方公式的运用．
例2计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
．
【总结】本题主要考查了实数的混合运算，注意能简算时要简算．
例3.计算：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】

．
【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用因式分解的思想去化简．
例4.计算：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式
；
（2）原式．
【总结】本题主要考查了实数的混合运算．
例5.已知实数x、y满足，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】，， ，
解得， ．
【总结】本题主要考查了对算术平方根的理解及非负性的综合运用．
例6.已知实数a、b、x、y满足，，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】，，
，，
，
，，， ，
．
【总结】本题主要考查了学生对实数非负性的应用．
例7.先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，使得
，，那么便有：
例如：化简；
解：首先把化为，这里，，由于4+3=7，
即，
∴==
（1）化简：；（2）化简：；（3）化简：．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）根据，可得：，，
，，即，，
；
（2）根据，可得：，，
，，即，，
；
根据，可得：，，
，，即，，
．
【总结】本题主要考查了利用新概念对复合平方根进行化简求值．
例8.已知，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】设，则，
，
，
，
．
【总结】本题主要考查了实数的运算和立方和公式的综合运用．
随堂检测
1.下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（）
A．B．
C．D．
【难度】★
【答案】C
【解析】，故选项A错误； ，故选项B错误；
，故选项D错误．
【总结】本题考查了根式与分数指数幂的互化．
2.下列近似数各精确到哪一个数位?各有几个有效数字?
（1）2015；（2）0.6180；（3）7.20万；（4）．
【难度】★
【答案】（1）精确到个位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有四个有效数字；
（3）精确到百位，有三个有效数字； （4）精确到千位，有三个有效数字．
【解析】（1）精确到个位，有四个有效数字为2、0、1、5；
（2）精确到万分位，有四个有效数字为6、1、8、0；
（3）精确到百位，有三个有效数字为7、2、0；
（4）精确到千位，有三个有效数字为5、1、0．
【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．
3.把下列带根号的数写成幂的形式，分数指数幂化为带根号的形式：
，， ，，，，，．
【难度】★
【答案】；；；；；；；．
【解析】； ； ； ；
； ； ； ．
【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．
4.比较大小：
（1）与； （2）与．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1） ，
；
（2） ， ．
【总结】本题主要考查了利用平方法比较两个无理数的大小．
5.把下列方根化为幂的形式．
（1）；（2）；（3）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）．
【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．
6.计算：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）．
【解析】（1）； （2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【总结】本题主要考查了分数指数幂的运算，注意法则的准确运用．
7.利用幂的性质运算：
（1）；（2）；（3）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）．
【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．
8.计算：
（1）；（2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．
9. 计算：
解：原式=
=
10.
解：原式=
=
=
11. 解方程：
答案：
12.解方程：
答案：
13. 已知、为整数，且满足，求的值。
解析：
14.已知，其中，求．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】， ，
， ，
或（舍去）， ，
．
【总结】本题考查了根式的化简求值问题，注意整体代入思想的运用．
15.化简求值：
（1）已知：，求；；；
（2）已知：，求．
【难度】★★★
【答案】（1），，； （2）．
【解析】（1），；
， ，
， ；
， ；
， ，
，
．
【总结】本题主要考查了有理数指数幂的运算法则及其应用，综合性较强，注意对解题方法的归纳总结．