【题型归类大全】2023年高考一复习学案（理科数学）考点02：命题及其关系、充分条件与必要条件

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[考纲传真]
1.理解命题的概念；
2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
[课程标准]
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性。
内容包括：必要条件、充分条件、充要条件，全称量词与存在
量词，全称量词命题与存在量词命题的否定。
（１）必要条件、充分条件、充要条件
①通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。
②通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。
③通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。
（２）全称量词与存在量词
通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。
（３）全称量词命题与存在量词命题的否定
①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。
②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。
[题型归类]
1．四种命题的相互关系
2．命题的真假判断
3．根据命题的真假求参数的取值范围
4．充分条件、必要条件的判断
5．定义法解决充要条件问题
6．集合法解决充要条件问题
7．等价转化法解决充要条件问题
8．充分条件、必要条件的应用
题型一：四种命题的相互关系
知识与方法
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3.判断四种命题间关系的方法
(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用．
4.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
►例1 命题“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是( )
A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
解析：“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D
►例2命题p：“若a≥b，则a＋b＞2 012且a＞－b”的逆否命题是 ( )
A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＜b
B．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＞b
C．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜b
D．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a≤b
解析：选C “且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜b”．
►例3命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是( )
(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数
（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数
（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数
（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：选B.明确“是”的否定是“不是”，并对原命题的条件和结论分别进行否定，可得否命题为“若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数”.
►例4命题“对任何，”的否定是________.
解析：“任何” 改为“存在”，“”改为“ ”，即“存在，”.
题型二：命题的真假判断
知识与方法
1.命题的真假判断方法
(1)给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．
(2)由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．
►例1 下列命题是真命题的是( )
A．若eq \f(1,x)＝eq \f(1,y)，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则eq \r(x)＝eq \r(y)
D．若x＜y，则x2＜y2
解析：取x＝－1排除B；取x＝y＝－1排除C；取x＝－2，y＝－1排除D，故选A.
►例2在空间中，给出下列四个命题：
①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；
③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；
④两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．
其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解析：对于①，由线面垂直的判定可知①正确；对于②，若点在平面的两侧，则过这两点的直线可能与该平面相交，故②错误；对于③，两条相交直线在同一平面内的射影可以为一条直线，故③错误；对于④，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条与交线垂直的直线，故④正确．综上可知，选D.
►例3下列命题中，真命题是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：选A.当时，函数的图像关于y轴对称，故选A.
►例4下列选项中正确的是( )
A．若x＞0且x≠1，则ln x＋eq \f(1,ln x)≥2
B．在数列{an}中，“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件
C．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”
D．若命题p为真命题，则其否命题为假命题
解析：选B 当0＜x＜1时，ln x＜0，此时ln x＋eq \f(1,ln x)≤－2，A错；当|an＋1|＞an时，{an}不一定是递增数列，但若{an}是递增数列，则必有an＜an＋1≤|an＋1|，B对；全称命题的否定为特称命题，C错；若命题p为真命题，其否命题可能为真命题，也可能为假命题，D错．
题型三：根据命题的真假求参数的取值范围
►例1 已知p：存在 x0 ∈R ，mx＋1≤0 ，q：任意 x∈R，x2＋mx＋1>0.若p 或 q 为假命题，求实数m 的取值范围．
解析：依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时， 则mx2 ＋ 1>0 恒成立， 则有 m≥0；当 q 是真命题时，则Δ ＝m2 －4<0，－ 2因此由p ，q 均为假命题得{m≥0 ， m≤ －2或m≥2 ， 即m≥2.
题型四：充分条件、必要条件的判断
知识与方法
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
eq \([常用结论])
1．充分条件、必要条件的两个结论
(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；
(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．
2．充分条件、必要条件与集合的关系
[规律方法] 充分条件和必要条件的三种判断方法
1定义法：可按照以下三个步骤进行
①确定条件p是什么，结论q是什么；
②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；
③确定条件p和结论q的关系.
2等价转换法：对于含否定形式的命题，如﹁p是﹁q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件.
3集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.
易错警示：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p，而p不能推出q”.
►例1 设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则eq \f(b,a)＝eq \f(d,c)，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.
►例2)设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由x3＞8可得x＞2，从而|x|＞2成立，
由|x|＞2可得x＞2或x＜－2，从而x3＞8不一定成立．
因此“x3＞8”是“|x|＞2”的充分而不必要条件，故选A.
►例3已知p：eq \f(1,x－1)<1，q：x2＋(a－1)x－a>0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，－1] B．[－2，－1]
C．[－3,1] D．[－2，＋∞)
解析：选A 不等式eq \f(1,x－1)<1等价于eq \f(1,x－1)－1<0，即eq \f(x－2,x－1)>0，解得x>2或x<1，所以p为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x2＋(a－1)x－a>0可以化为(x－1)(x＋a)>0，当－a≤1时，解得x>1或x<－a，即q为(－∞，－a)∪(1，＋∞)，此时a＝－1；当－a>1时，不等式(x－1)(x＋a)>0的解集是(－∞，1)∪(－a，＋∞)，此时－a<2，即－2►例4设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析：选A.因为函数在上是减函数，所以.由函数在上是增函数可得：即.所以若，则，而若推不出.所以“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的充分不必要条件.
题型五：定义法解决充要条件问题
知识与方法
定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系．
判断p、q之间的关系，只需判断两个命题A：“若p，则q”和B：“若q，则p”的真假．
(1)若p⇒q，则p是q的充分条件；
(2)若q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；
(4)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；
(5)若p⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
(6)若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．
►例1 设0＜x＜eq \f(π,2)，则“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析： 因为0不等式xsin x<1两边同乘sin x，可得xsin2x不等式xsin2x<1两边同除以sin x，可得xsin x1，故xsin x<1不一定成立，即xsin2x<1⇒/ xsin x<1.
综上，可知“xsin2x<1”是“xsin x<1”的必要不充分条件．
[答案] C
►例2设，则“ ”是“为偶函数”的（ ）
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件
解析：选A.当时，是偶函数，而是偶函数不能得出，故A正确.
►例3方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )．
A．0C．a≤1 D．0解析：当a＝0时，x＝－eq \f(1,2)符合题意．
当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4－4a>0，,\f(1,a)<0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<1，,a<0))⇔a<0；
若方程两根均负，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4－4a≥0，,－\f(2,a)<0，,\f(1,a)>0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤1，,a>0))⇔0综上所述，所求充要条件是a≤1.
题型六：集合法解决充要条件问题
知识与方法
集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．
利用集合间的关系判断充要条件的方法
►例1 若A：lg2a<1，B：x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由lg2a<1，解得0►例2命题“对任意x∈[1,2]，x2－a≤0都成立”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
解析：选C 命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集．
►例3已知α：x≥a，β：|x－1|＜1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，
由|x－1|＜1，得0＜x＜2，
∴β可看作集合B＝{x|0＜x＜2}．
又∵α是β的必要不充分条件，∴B是A的真子集，∴a≤0.
答案：(－∞，0]
题型七：等价转化法解决充要条件问题
知识与方法
等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．
条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假.
►例1 已知条件p：eq \f(4,x－1)≤－1，条件q：x2－x解析：由eq \f(4,x－1)≤－1，得－3≤x<1.
由x2－x当a>1－a，即a>eq \f(1,2)时，不等式的解为1－a当a＝1－a，即a＝eq \f(1,2)时，不等式的解为∅；
当a<1－a，即a由非q的一个充分不必要条件是非p，可知非p是非q的充分不必要条件，即p为q的一个必要不充分条件，即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集．
当a>eq \f(1,2)时，由{x|1－a当a＝eq \f(1,2)时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；
当a综上，a的取值范围是[0,1]．
►例2已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是( )
A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点
B．p：eq \f(f－x,fx)＝1；q：y＝f(x)是偶函数
C．p：cs α＝cs β；q：tan α＝tan β
D．p：A∩B＝A；q：A⊆U，B⊆U，∁UB⊆∁UA
解析：选D 对于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m2－4(m＋3)＞0，从而可得m＜－2或m＞6.所以p是q的必要不充分条件；
对于B，由eq \f(f－x,fx)＝1⇒f(－x)＝f(x)⇒y＝f(x)是偶函数，但由y＝f(x)是偶函数不能推出eq \f(f－x,fx)＝1，例如函数f(x)＝0，所以p是q的充分不必要条件；
对于C，当cs α＝cs β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；
对于D，由A∩B＝A，知A⊆B，所以∁UB⊆∁UA；
反之，由∁UB⊆∁UA，知A⊆B，
即A∩B＝A.所以p⇔q.
综上所述，p是q的充分必要条件的是D.
题型八：充分条件、必要条件的应用
知识与方法
►例1 “直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )
A．－1≤k＜3 B．－1≤k≤3
C．0＜k＜3 D．k＜－1或k＞3
解析：“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的充要条件是eq \f(|1－k|,\r(2))＜eq \r(2)，即－1＜k＜3.
故所求应是集合{k|－1＜k＜3}的一个子集，故选C
►例2已知平面区域Ω1：x2＋y2≤9，Ω2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＋2≥0，,x＋y≤0，,y＋2≥0，))则点P(x，y)∈Ω1是P(x，y)∈Ω2的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 平面区域Ω1：
x2＋y2≤9表示圆上以及内部部分，Ω2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＋2≥0，,x＋y≤0，,y＋2≥0))
表示的可行域如图中三角形部分，
则点P(x，y)∈Ω1是P(x，y)∈Ω2的必要不充分条件．
►例3圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是( )
A．k≤－2eq \r(2)或k≥2eq \r(2) B．k≤－2eq \r(2)
C．k≥2 D．k≤－2eq \r(2)或k>2
解析：选B 若直线与圆有公共点，则圆心到直线kx－y－3＝0的距离d＝eq \f(|－3|,\r(k2＋1))≤1，即eq \r(k2＋1)≥3，解得k≥2eq \r(2)或k≤－2eq \r(2)，∴圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是k≤－2eq \r(2)，故选B.
►例4已知p：实数m满足3a0)，q：方程eq \f(x2,m－1)＋eq \f(y2,2－m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________．
解析：由2－m>m－1>0，解得1解得eq \f(1,3)≤a≤eq \f(3,8)，所以实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,8))).
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且peq \(⇒,/)q
p是q的必要不充分条件
peq \(⇒,/)q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
peq \(⇒,/)q且qeq \(⇒,/)p
p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件
A⊆B
p是q的必要条件
B⊆A
p是q的充分不必要条件
AB
p是q的必要不充分条件
BA
p是q的充要条件
A＝B
记法
条件p、q对应的集合分别为A、B
关系
A⊆B
B⊆A
A B
B A
A＝B
A B且B A
结论
p是q的充分条件
p是q的必要条件
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
p、q之间的关系
和之间的关系
p是q的充分不必要条件
是的必要不充分条件
p是q的必要不充分条件
是的充分不必要条件
p是q的充要条件
是的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
是的既不充分也不必要条件