【题型归类大全】2023年高考一复习学案（理科数学）考点06： 函数的奇偶性与周期性

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[考纲传真]
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
[题型归类]
1．函数奇偶性的判断
2．函数奇偶性的特征
3．函数奇偶性的应用
4．分段函数周期性问题
5．函数周期性的推论与运用
6．函数性质的综合应用——不等式问题
7．函数性质的综合应用——零点问题
8．函数性质的综合应用——交点问题
题型一：函数奇偶性的判断
知识与方法
判断函数奇偶性的方法
(1)判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．
(2)分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
►例1 下列函数：
①f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)；②f(x)＝x3－x；
③f(x)＝ln(x＋eq \r(x2＋1))；④f(x)＝lneq \f(1－x,1＋x).
其中奇函数的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：①f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，
则f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)既是奇函数又是偶函数；
②f(x)＝x3－x的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，
则f(x)＝x3－x是奇函数；
③由x＋eq \r(x2＋1)＞x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋eq \r(x2＋1))的定义域为R，
又f(－x)＝ln (－x＋eq \r(－x2＋1))＝lneq \f(1,x＋\r(x2＋1))＝－ln(x＋eq \r(x2＋1))＝－f(x)，则f(x)＝ln(x＋eq \r(x2＋1))为奇函数；
④由eq \f(1－x,1＋x)＞0，得－1＜x＜1，即f(x)＝lneq \f(1－x,1＋x)的定义域为(－1,1)，
又f(－x)＝lneq \f(1＋x,1－x)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))－1＝－lneq \f(1－x,1＋x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．
►例2(2013·广东高考)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：选C 函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2.
►例3下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 ( )
A．y＝－eq \f(1,x) B．y＝x3＋3x－3－x
C．y＝lg3x D．y＝ex
解析：选B 选项A，y＝－eq \f(1,x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，但其在定义域上不是单调递增函数；选项B，y＝f(x)＝x3＋3x－3－x在其定义域R上是增函数，又f(－x)＝－x3＋3－x－3x＝－(x3＋3x－3－x)＝－f(x)，所以y＝f(x)为奇函数；选项C，y＝lg3x的定义域为(0，＋∞)，是增函数但不是奇函数；选项D，y＝ex在其定义域R上是增函数，但为非奇非偶函数．
►例4若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( )
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
由f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)可知f(x)为偶函数，由g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－
3－x)＝－g(x)可知g(x)为奇函数．
(2)①f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)的定义域为{－1,1}，
又f(－x)＝±f(x)＝0，
则f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)既是奇函数又是偶函数；
②f(x)＝x3－x的定义域为R，
又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，
则f(x)＝x3－x是奇函数；
③由x＋eq \r(x2＋1)＞x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋eq \r(x2＋1))的定义域为R，
又f(－x)＝ln (－x＋eq \r(－x2＋1))＝lneq \f(1,x＋\r(x2＋1))＝－ln(x＋eq \r(x2＋1))＝－f(x)，则f(x)＝ln(x＋eq \r(x2＋1))为奇函数；
④由eq \f(1－x,1＋x)＞0，得－1＜x＜1，即f(x)＝lneq \f(1－x,1＋x)的定义域为(－1,1)，
又f(－x)＝lneq \f(1＋x,1－x)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))－1＝－lneq \f(1－x,1＋x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数
解析：
题型二：函数奇偶性的特征
知识与方法
►例1 已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时， f(x) ＝x2＋eq \f(1,x)，则f(－1)＝( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
解析：选A 因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.
►例2若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
解析：f(x)＝x2＋(a－4)x－4a为二次函数，其图象的对称轴为x＝－eq \f(a－4,2)，因为偶函数的图象关于y轴对称，所以－eq \f(a－4,2)＝0，解得a＝4.
►例3设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
解析：选A 由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数，A项：偶＋偶＝偶；B项：偶－偶＝偶，B错；C项和D项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立．
►例4若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析：由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，即1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，解得a＝0.
答案：0
题型三：函数奇偶性的应用
知识与方法
与函数奇偶性有关的问题及解决方法
(1)已知函数的奇偶性，求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)已知函数的奇偶性求解析式
将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值
常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．
(4)应用奇偶性画图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
►例1 (2013·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(lg210))＝5，则f(lg(lg 2))＝( )
A．－5 B．－1 C．3 D．4
解析：∵f(x)＝ax3＋bsin x＋4，① ∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4，
即f(－x)＝－ax3－bsin x＋4，② ①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③
又∵lg(lg210)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,lg 2)))＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，∴f(lg(lg2 10))＝f(－lg(lg 2))＝5，
又由③式知f(－lg(lg 2))＋f(lg(lg 2))＝8，∴5＋f(lg(lg 2))＝8，∴f(lg(lg 2))＝3.
►例2若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则=（ ）
（A） （B） (C) (D)
解析：
选D.在 ①中令 代替得，即 ②，由①-②得=.
►例3若函数=为奇函数，则=（ ）
（A） （B） （C） （D）1
解析：选A.∵函数为奇函数，∴恒成立．
题型四：分段函数周期性问题
知识与方法
►例1 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋1，－1≤x＜0，,\f(bx＋2,x＋1)，0≤x≤1，))其中a，b∈R.若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，则a＋3b的值为________．
解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，且f(－1)＝f(1)，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，所以eq \f(\f(1,2)b＋2,\f(1,2)＋1)＝－eq \f(1,2)a＋1，即3a＋2b＝－2.①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝eq \f(b＋2,2)，即b＝－2a.②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
►例2定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝( )
A．335 B．338 C．1 678 D．2 012
解析：由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.
►例3已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2－x，x≥0，,2x－1，x<0，))则该函数是 ( )．
A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减
C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减
解析：当x>0时，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．当x＝0时，f(0)＝0，故f(x)为奇函数，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上为增函数，又x≥0时1－2－x≥0，x<0时2x－1<0，故f(x)为R上的增函数．
►例4设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2，1]时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x2－2，－2≤x≤0，,x，0A．0 B．1
C.eq \f(1,2) D．－1
解析：因为f(x)是周期为3的周期函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋3))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2－2＝－1.
题型五：函数周期性的推论与运用
知识与方法
函数周期性的几个重要结论：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)有两条对称轴
(14)偶函数满足
(15)有两个对称中心
(16)奇函数满足
(17)函数有一条对称轴和一个对称中心
►例1 已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A. B.
C. D.
解析：因为满足,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,
,,又因为在R上是奇函数,,得,
,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.
►例2定义在R上的函数满足,则的值为( )
A.-1 B. 0 C.1 D.2
解析：
,由结论
,可知时的周期为,
,,选C.
►例3函数对于任意实数满足条件,若,则＝ .
解析：
,,,又,则,.
►例4奇函数对于任意实数满足条件,当时,若,则＝ .
解析：
,.
题型六：函数性质的综合应用——不等式问题
知识与方法
►例1 奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，若f(x)在[0,2]上单调递减，且f(1＋m)＋f(m)＜0，则实数m的取值范围是________．
解析：因为奇函数f(x)在[0,2]上单调递减，所以函数f(x)在[－2,2]上单调递减．由f(1＋m)＋f(m)＜0得f(1＋m)＜－f(m)＝f(－m)，所以由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤m≤2，,－2≤1＋m≤2，,1＋m＞－m，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤m≤2，,－3≤m≤1，,m＞－\f(1,2)，))所以－eq \f(1,2)＜m≤1，故实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).
►例2已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是________．
解析：∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，
∴函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
∴当a＞0时，由f(a)≥f(2)可得a≥2，
当a＜0时，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
►例3函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选C f(x)的图象如图．
当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；
当x∈(0,1)时，由xf(x)<0得x∈∅；
当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．
故x∈(－1,0)∪(1,3)．
►例4已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,3)))
C．(1,3) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，＋∞))
解析：选A ∵f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，
∴－1∴f(m－2)＋f(2m－3)>0可转化为f(m－2)>－f(2m－3)，即f(m－2)>f(－2m＋3)．
∵f(x)是减函数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1∴1题型七：函数性质的综合应用——零点问题
知识与方法
高考对函数性质综合应用的考查主要有以下几个命题角度：
(1)单调性与奇偶性相结合；
(2)周期性与奇偶性相结合；
(3)单调性、奇偶性与周期性相结合．
与周期性和对称性有关的三条结论
(1)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．
(3)若对于定义域内的任意x都有f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
►例1 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
解析：∵f(x)为奇函数并且f(x－4)＝－f(x)．∴f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，即y＝f(x)的图象关于x＝2对称，并且是周期为8的周期函数．
∵f(x)在[0,2]上是增函数，∴f(x)在[－2,2]上是增函数，在[2,6]上为减函数，据此可画出y＝f(x)的图象，
其图象也关于x＝－6对称，∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8.
►例2设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcs (πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上的零点个数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：由题意知函数f(x)是偶函数，且周期是2.作出g(x)，f(x)的函数图象，如图．由图可知函数y＝g(x)，y＝f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上有6个交点，故函数h(x)＝g(x)－f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上的零点有6个．
►例3已知定义域为R的函数y＝f(x)在[0,7]上只有1和3两个零点，且y＝f(2－x)与y＝f(7＋x)都是偶函数，则函数y＝f(x)在[－2 013,2 013]上的零点个数为( )
A．804 B．805 C．806 D．807
解析：选C 根据条件得出函数的周期，再确定一个周期上的零点个数即可求解．由函数y＝f(2－x)，y＝f(7＋x)是偶函数得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2和x＝7对称，所以周期为10.又由条件可知函数y＝f(x)在[0,10]上只有两个零点1和3，所以函数y＝f(x)在[－2 013，2 013]上有402个周期，加上2 011,2 013两个零点，所以零点个数是402×2＋2＝806.
题型八：函数性质的综合应用——交点问题
知识与方法
►例1 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是( )
A．0 B．0或－eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,4)或－eq \f(1,2) D．0或－eq \f(1,4)
解析：选D ∵f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2.
又0≤x≤1时，f(x)＝x2，可画出函数y＝f(x)在一个周期内的图象如图．
显然a＝0时，y＝x与y＝x2在[0,2]内恰有两个不同的公共点．
另当直线y＝x＋a与y＝x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点，由题意知x2＝x＋a，即x2－x－a＝0，Δ＝1＋4a＝0，则a＝－eq \f(1,4)，此时x＝eq \f(1,2).
综上可知a＝0或－eq \f(1,4).