人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）一课一练

5.6 函数y=Asin(ωx+φ)

1. 由图象求解析式；2. 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性；3. 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用；4. 相位、初相等概念的理解；5. 三角函数图象变换.

一、单选题

1．（2020·镇原中学高一期末）为得到的图象，只需要将的图象（ ）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】D

【解析】

因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D．

2.（2020·阜新市第二高级中学高一期末）为了得到函数的图象，可将的图象（    ）

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

【答案】A

【解析】

由题意得：

向右平移个单位即可得到的图象

故选：A.

3．（2020·山东聊城�高一期末）为了得到函数的图象，可作如下变换（    ）

A．将y＝cosx的图象上所有点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到

B．将y＝cosx的图象上所有点向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到

C．将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到

D．将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到

【答案】A

【解析】

为得到的图象，可将的图象上所有点向左平移个单位长度，

然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到；

也可以将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到.

故选：.

4.（2020·应城市第一高级中学高一月考）已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则的图象（    ）

A．关于点对称 B．关于直线对称

C．关于点对称 D．关于直线对称

【答案】A

【解析】

由题意，平移得函数式为，其为偶函数，∴，由于，∴．

，

，．

∴是对称中心．

故选：A.

5.（2019·四川高考模拟（文））将函数的图象向右平移个周期后得到的函数为，则的图象的一条对称轴可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

的周期为，图象向右平移个周期后得到的函数为，则，由，，得，，取，得为其中一条对称轴.

故选A.

6．（2019·湖南天心�长郡中学高三月考（文））函数的部分图像如图所示，为了得到的图像，只需将函数的图像（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【解析】

由图可知，∵，

∴，解得：，可得，

将代入得：，

∵，

∴，，

故可将函数的图像向左平移个单位长度得到的图像.

故选：B.

7.（2020·四川省南充高级中学高三月考（文））已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位后得函数的图象，则函数的图象（      ）

A．关于直线对称 B．关于直线对称

C．关于点对称 D．关于点对称

【答案】D

【解析】

由题意得，故，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵，，

∴选项A,B不正确．

又，

，

∴选项C,不正确，选项D正确．选D．

8．（2020·河南濮阳�高一期末（文））函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是(    )

A．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到

B．函数的图象关于直线对称

C．函数在区间上是单调递增的

D．函数图象的对称中心为

【答案】D

【解析】

由图象可知A＝2，f（0）＝1，

∵f（0）＝2sinφ＝1，且，

∴，

∴f（x）＝2sin（ωx），

∵f（）＝0且为单调递减时的零点，

∴，k∈Z，

∴，k∈Z，

由图象知，

∴ω，

又∵ω＞0，

∴ω＝2，

∴f（x）＝2sin（2x），

∵函数f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移个单位得，

∴A错，

令2x，k∈Z，对称轴为x，则B错，

令2x,则x，则C错，

令2xkπ，k∈Z，则x＝，则D对，

故选：D．

9．（2020·上海静安�高一期末）对于函数，下列命题：

①函数对任意都有.

②函数图像关于点对称.

③函数图像可看作是把的图像向右平移个单位而得到.

④函数图像可看作是把的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到.

其中正确命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

对①，因为，，

所以为函数的对称轴，

即对任意都有，故①正确.

对②，，

所以为函数的对称中心，故②正确；

对③，的图像向右平移个单位得到

，故③错误；

对④，的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），

得到，故④正确.

故选：C

10．（2020·辽宁辽阳�高一期末）将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象，若在上的最大值为，则的取值个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象．

再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象，

，上，，，

当，即时，则，求得．

当，即时，由题意可得，

作出函数与的图象如图：

由图可知，此时函数与的图象有唯一交点，则有唯一解．

综上，的取值个数为2．

故选：B．

二、多选题

11．（2020·广东高一期末）已知函数f（x）＝sin（ωx+）﹣cos（ωx+）（0＜ω＜6）的图象关于直线x＝1对称，则满足条件的ω的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】

因为，

由，，

因为，所以，，

由题意可得，，得，，

因为，所以或.

故选：BC.

12.（2020·江苏南京�高三开学考试）将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（    ）

A．函数的图象关于直线对称

B．函数的图象关于点(，0)对称

C．函数在区间(，)上单调递增

D．函数在区间(0，)上有两个零点

【答案】ACD

【解析】

可得，当，，故A正确；

当，，故B错误；

当(，)，(，0)，故C正确；

当(0，)，(，)，故D正确．

故选：ACD．

13.（2020·山东高三其他）函数的部分图像如图所示，将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则下列说法正确的是（    ）

A．函数为奇函数

B．函数的最小正周期为

C．函数的图像的对称轴为直线

D．函数的单调递增区间为

【答案】BD

【解析】

由图象可知

，，

∴，则.

将点的坐标代入中，整理得，

∴，即.，∴，

∴.

∵将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，

∴.

∴既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；

∴的最小正周期，故B正确.

令，解得

.则函数图像的对称轴为直线.故C错误；

由，可得，

∴函数的单调递增区间为.故D正确.

故选：BD.

14．（2020·营口市第二高级中学高一期末）已知函数，则（    ）

A．函数在区间上为增函数

B．直线是函数图像的一条对称轴

C．函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到

D．对任意，恒有

【答案】ABD

【解析】

.

当时，，函数为增函数，故A中说法正确；

令，，得，，

显然直线是函数图像的一条对称轴，故B中说法正确；

函数的图像向右平移个单位得到函数

的图像，故C中说法错误；

，故D中说法正确.

故选：ABD.

三、填空题

15．（2019·苏州市相城区陆慕高级中学高三期中）已知函数的图象上每个点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为_______.

【答案】

【解析】

把函数的图象上每个点向左平移个单位长度，
得到函数的图象，

，

则，
故答案为：．

16.（2020·江苏南通�高三其他）已知函数的最小正周期是，若将该函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式________.

【答案】

【解析】

因为函数的最小正周期是，

所以

函数的图象向右平移个单位长度后得到，

因为关于原点对称，

所以

因此

故答案为：

17.（2020·河南开封�高一期末）已知函数，给出下列四个结论：

①函数是最小正周期为的奇函数；

②直线是函数的一条对称轴；

③点是函数的一个对称中心；

④函数的单调递减区间为

其中正确的结论是_________（填序号）.

【答案】②.

【解析】

，

，，函数是最小正周期为，

但不是奇函数，故①不正确；

当时，，故②正确；

当，，所以，

函数的一个对称中心为，故③不正确；

由，

解得，故④不正确；

故答案为：②

18.（2020·上海高三专题练习）要得到函数的图像，需把函数的图像至少向_______平移_______个单位.

【答案】右       

【解析】

由于函数y＝sin（2x）＝sin2（x），故要得到函数y＝sin（2x）的图象，

可以将函数y＝sin2x的图象沿x轴向右平移个单位即可.

故答案为：右；

19．（2018·浙江镇海中学）函数的部分图象如图所示，则________，为了得到的图象，需将函数的图象最少向左平移________个单位长度．

【答案】       

【解析】

由图知，，所以，所以

把点代入，得，所以

即，又，所以

所以

因为，所以要得到函数的图象需将函数的图象最少向左平移个单位长度．

故答案为：；

20．（2020·江苏常熟中学高一月考）函数的振幅为______；将函数的图象右移个单位长度后，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小正值为______.

【答案】       

【解析】

，

故振幅为；

函数的图象右移个单位长度，

，

又函数为偶函数，

所以，

，

当时，即为的最小正值.

故答案为：；.

21．（2020·山东五莲�高三月考）函数的部分图象如图所示，则__________；将函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则__________.

【答案】       

【解析】

根据函数的图象可得，所以，所以，所以，

又因为，所以，所以，，

所以，，

因为，所以.

所以，

将的图象沿x轴向右移个长度单位得函数的图象，

因为函数是偶函数，所以，，

所以，，

因为，所以，.

故答案为：；.

五、解答题

22．（2020·全国高一课时练习）已知函数.

（1）列表并画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；

（2）将函数的图象作怎样的变换可得到的图象？

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）函数的周期

由，解得. 列表如下：

描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图. 图象如下.

（2）先把的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到的图象.

23．已知函数

（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图像；

（2）指出的周期、振幅、初相、对称轴；

（3）说明此函数图像可由上的图像经怎样的变换得到.

【答案】

【解析】

本试题主要考查了三角函数的图象以及性质的综合运用，并考查了三角函数图形的变换问题．

（1）列表

(2)周期T＝，振幅A＝3，初相，

由，得即为对称轴；

（3）①由的图象上各点向左平移个长度单位，得的图象；

②由的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得的图象；

③由的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变），得的图象；

④由的图象上各点向上平移3个长度单位，得＋3的图象．

24．（2020·浙江省杭州第二中学高一期末）已知函数.

（1）画出函数在一个周期上的图像;

（2）将函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数,求在上的值域.

【答案】（1）作图见解析（2）

【解析】

（1）（五点法作图）

（2）,

则,,

所以,

从而在上的值域为.

25．（2020·湖南益阳·期中）已知函数（，）的图象上相邻的最高点和最低点的距离为，且的图象过点.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调递减区间；

（3）求在区间上的值域.

【答案】（1）；（2）（）；（3）.

【解析】

（1）因为两个相邻最高点和最低点的距离为，

可得，解得，

故，即.

又函数图象过点，

故，

又，解得，

故.

（2）令，得，

即：的单调递减区间为（）；

（3）当时，，

根据图像可知，，

所以在区间上的值域为.

26．（2020·四川内江�高一期末（理））已知函数（其中，，，）的部分图象如图所示，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为坐标原点.若，，.

（1）求的大小；

（2）求函数的解析式；

（3）若，，求的值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）在中，,

;

（2）由（1）知，即，

，周期，

即，，

将代入，得，

，，

；

（3），

，

，，

，

.

27．（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）已知函数的部分图象如图所示，点，为图象与轴的交点，为最高点，且为等腰直角三角形．

（1）求的解析式；

（2）求满足不等式的的取值集合．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）因为为图象的最高点，所以．

又为等腰直角三角形，所以．

则函数的周期为8，由，，可得，

所以,

由，得，

则，．，，

又，所以,

所以；

（2），即，

则，，

解得，,

所以不等式的解集为．