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高中数学2.5.1 椭圆的标准方程教课内容ppt课件
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这是一份高中数学2.5.1 椭圆的标准方程教课内容ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了椭圆的定义，知识梳理，注意点，反思感悟，椭圆的标准方程的推导，对方程②两边平方得，b2＋c2，由椭圆的定义知，随堂演练，课时对点练等内容，欢迎下载使用。
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.
2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.
“嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，其主要目的是释放月球车为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验，并对“嫦娥三号”着陆区进行高精度成像.“嫦娥二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是以月球为一个焦点的椭圆，那么椭圆到底有怎样的几何特征，我们该如何研究椭圆呢？就让我们开始今天的探究之旅吧！
问题1 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
如果F1，F2是平面内的两个 ，a是一个常数，且2a |F1F2|，则平面内满足 的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的 ，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的 .
|PF1|＋|PF2|＝2a
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.(2)定值必须大于两定点的距离.(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.
方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆.
定义中到两定点的距离之和是常数(不含变量)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件.
(1)下列命题是真命题的是____.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝ 的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴).
(2)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是A.圆 B.椭圆C.线段 D.射线
连接EA，∵CD垂直平分AB，∴|EB|＝|EA|，设圆的半径为r，则|EO|＋|EA|＝|EO|＋|EB|＝r>|OA|，故点E的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，故选B.
问题2 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示 观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0).
根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}.
对方程③两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)， ④将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a2－c2>0.
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程.
问题3 如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.
求简单的椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
因为椭圆的焦点在y轴上，
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点 ；
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
由a>b>0，知不符合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
确定椭圆标准方程的方法(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式.(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.
(1)已知椭圆 ＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为
(2)椭圆的两个焦点分别为(0，－4)和(0,4)，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为___________.
依题意，c＝4，且焦点在y轴上，又∵2a＝10，∴a＝5，∴b2＝a2－c2＝9，
1.知识清单： (1)椭圆的定义. (2)椭圆的标准方程. (3)椭圆定义及标准方程的应用.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区： (1)椭圆定义中2a>|F1F2|易忽视； (2)易忽视椭圆的标准方程有两种情况. (3)易忽视条件中椭圆定义的使用.
1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是A.椭圆 B.直线C.圆 D.线段
∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，∴动点M的轨迹是线段.
2.已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为
c＝1，由点P(2,0)在椭圆上，可得a＝2，b2＝3，
3.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是A.(0，＋∞) B.(0,2) C.(1，＋∞) D.(0,1)
4.动点P(x，y)的坐标满足＝8，则点P的轨迹为_______.
所以|PA|＋|PB|＝8>4，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.
1.椭圆 ＝1的焦点坐标是A.(±5,0) B.(0，±5)C.(0，±12) D.(±12,0)
椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，所以c2＝a2－b2＝144，所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12).
2.已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为
3.已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是
依题意2c＝6,2a＝10，即a＝5，c＝3，b＝4，但该椭圆的焦点位置不明确，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，
∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝60°.
5.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是A.当a＝2时，点P的轨迹不存在B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
6.(多选)使方程 ＝1表示椭圆的m的值可以是A.2 B.3 C.4 D.0
7.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为 ，则此椭圆的标准方程为___________.
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，
8.设P为椭圆 ＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是____.
|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时取等号.
9.求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2).
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
由题意知，2a＝26，即a＝13，又c∶a＝5∶13，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，
10.已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.
由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|.由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2,0)除外)，
∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，
12.椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m－n>0.
在△F1MF2中，由m2＋n2＝4c2，得(m＋n)2－2mn＝4c2，根据椭圆的定义有m＋n＝2a，所以2mn＝4a2－4c2，故mn＝2b2，即mn＝2，
14.已知P为椭圆 ＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为_____.
由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
由已知得F(c,0)，A(a,0)，B(0,2)，
16.在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝ ，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值.建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程.
以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.
2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.
“嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，其主要目的是释放月球车为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验，并对“嫦娥三号”着陆区进行高精度成像.“嫦娥二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是以月球为一个焦点的椭圆，那么椭圆到底有怎样的几何特征，我们该如何研究椭圆呢？就让我们开始今天的探究之旅吧！
问题1 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
如果F1，F2是平面内的两个 ，a是一个常数，且2a |F1F2|，则平面内满足 的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的 ，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的 .
|PF1|＋|PF2|＝2a
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.(2)定值必须大于两定点的距离.(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.
方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆.
定义中到两定点的距离之和是常数(不含变量)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件.
(1)下列命题是真命题的是____.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝ 的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴).
(2)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是A.圆 B.椭圆C.线段 D.射线
连接EA，∵CD垂直平分AB，∴|EB|＝|EA|，设圆的半径为r，则|EO|＋|EA|＝|EO|＋|EB|＝r>|OA|，故点E的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，故选B.
问题2 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示 观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0).
根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}.
对方程③两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)， ④将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a2－c2>0.
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程.
问题3 如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.
求简单的椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
因为椭圆的焦点在y轴上，
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点 ；
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
由a>b>0，知不符合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
确定椭圆标准方程的方法(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式.(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.
(1)已知椭圆 ＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为
(2)椭圆的两个焦点分别为(0，－4)和(0,4)，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为___________.
依题意，c＝4，且焦点在y轴上，又∵2a＝10，∴a＝5，∴b2＝a2－c2＝9，
1.知识清单： (1)椭圆的定义. (2)椭圆的标准方程. (3)椭圆定义及标准方程的应用.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区： (1)椭圆定义中2a>|F1F2|易忽视； (2)易忽视椭圆的标准方程有两种情况. (3)易忽视条件中椭圆定义的使用.
1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是A.椭圆 B.直线C.圆 D.线段
∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，∴动点M的轨迹是线段.
2.已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为
c＝1，由点P(2,0)在椭圆上，可得a＝2，b2＝3，
3.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是A.(0，＋∞) B.(0,2) C.(1，＋∞) D.(0,1)
4.动点P(x，y)的坐标满足＝8，则点P的轨迹为_______.
所以|PA|＋|PB|＝8>4，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.
1.椭圆 ＝1的焦点坐标是A.(±5,0) B.(0，±5)C.(0，±12) D.(±12,0)
椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，所以c2＝a2－b2＝144，所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12).
2.已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为
3.已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是
依题意2c＝6,2a＝10，即a＝5，c＝3，b＝4，但该椭圆的焦点位置不明确，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，
∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝60°.
5.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是A.当a＝2时，点P的轨迹不存在B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
6.(多选)使方程 ＝1表示椭圆的m的值可以是A.2 B.3 C.4 D.0
7.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为 ，则此椭圆的标准方程为___________.
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，
8.设P为椭圆 ＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是____.
|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时取等号.
9.求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2).
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
由题意知，2a＝26，即a＝13，又c∶a＝5∶13，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，
10.已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.
由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|.由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2,0)除外)，
∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，
12.椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m
在△F1MF2中，由m2＋n2＝4c2，得(m＋n)2－2mn＝4c2，根据椭圆的定义有m＋n＝2a，所以2mn＝4a2－4c2，故mn＝2b2，即mn＝2，
14.已知P为椭圆 ＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为_____.
由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
由已知得F(c,0)，A(a,0)，B(0,2)，
16.在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝ ，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值.建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程.
以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，
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