新教材北师大版步步高学习笔记必修一第七章 2【学案+同步课件】.2 古典概型的应用

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第七章　§2　古典概型
2.2　古典概型的应用
学习目标
1.进一步熟悉古典概型的特点，学会选择简单、适用的概率模型解决实际生活中的相关概率问题.
2.掌握互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率公式.
3.学会利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题.
导语
这节课我们继续探讨与古典概型有关的概率问题.
内容索引
古典概型的实际应用

一
　　盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品.(1)从中取出1只，检验是否为正品后放回，再取出1只进行检验，求连续两次取出的都是正品的概率；
将灯泡中2只正品记为a1，a2,1只次品记为b，第一次取灯泡时有3种等可能的结果，第二次取灯泡时也有3种等可能的结果.故该试验的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}，共有9个样本点，连续两次取得正品的样本点个数为4，
(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率.
“从中一次任取2只”得到的样本空间包含的样本点有3个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)(其中(a1，a2)表示一次取出a1，a2两只灯泡)，“2只都是正品”的事件包含的样本点有1个，即(a1，a2)，
　　甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，求甲站在乙的左边的概率.
方法一　利用树状图来列举样本点，如图所示.
由树状图可看出共有24个样本点.设事件A＝“甲站在乙的左边”，则A事件包含的样本点为(甲乙丙丁)，(甲乙丁丙)，(甲丙乙丁)，(甲丙丁乙)，(甲丁乙丙)，(甲丁丙乙)，(丙甲乙丁)，(丙甲丁乙)，(丙丁甲乙)，(丁甲乙丙)，(丁甲丙乙)，(丁丙甲乙)，共12个.
方法二　因为要计算“甲站在乙的左边的概率”，所以可以只考虑甲、乙两个人排队.所有样本点为(甲乙)，(乙甲)，共2个，事件“甲站在乙的左边”包含1个样本点，即(甲乙).
延伸探究　本例2条件不变，求下列事件的概率：(1)甲在边上；
由例2解析的树状图可知，共有24个样本点.甲在边上有12个样本点：(甲乙丙丁)，(甲乙丁丙)，(甲丙乙丁)，(甲丙丁乙)，(甲丁乙丙)，(甲丁丙乙)，(乙丙丁甲)，(乙丁丙甲)，(丙乙丁甲)，(丙丁乙甲)，(丁乙丙甲)，(丁丙乙甲).
(2)甲和乙都在边上；
甲和乙都在边上有4个样本点：(甲丙丁乙)，(甲丁丙乙)，(乙丙丁甲)，(乙丁丙甲)，
(3)甲和乙都不在边上.
甲和乙都不在边上有4个样本点：(丙甲乙丁)，(丙乙甲丁)，(丁甲乙丙)，(丁乙甲丙)，
反思感悟
(1)“抽取”问题的解题策略抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件；二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响.另外，不放回抽取看作无序或有序抽取均可，有放回抽取要看作有序抽取.
反思感悟
(2)如何建立概率模型(古典概型)①在建立概率模型(古典概型)时，把什么看作一个样本点(即一个试验结果)是人为规定的.我们只要求每次试验有且只有一个样本点出现.对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型.②注意验证是否满足古典概型的两个特征，即样本点的有限性；每个样本点发生的可能性相等.③求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.
　　　2021年7月1日，建党百年盛典，天安门广场上共青团员、少先队员齐诵青春誓言“请党放心，强国有我！”，新的百年，听党话、感党恩、跟党走！给人们留下深刻地印象.表演前，为呈现最佳效果，节目编排人员将4名领诵人员排成一排，则两名女领诵相邻的概率为____.
记女领诵分别为m1，m2，男领诵分别为b1，b2，则样本空间Ω＝{(m1，m2，b1，b2)，(m1，m2，b2，b1)，(m1，b1，m2，b2)，(m1，b1，b2，m2)，(m1，b2，b1，m2)，(m1，b2，m2，b1)，(m2，m1，b1，b2)，(m2，m1，b2，b1)，(m2，b1，m1，b2)，(m2，b1，b2，m1)，(m2，b2，b1，m1)，(m2，b2，m1，b1)，(b1，b2，m1，m2)，(b1，b2，m2，m1)，(b1，m1，b2，m2)，(b1，m1，m2，b2)，(b1，m2，m1，b2)，(b1，m2，b2，m1)，(b2，b1，m1，m2)，(b2，b1，m2，m1)，(b2，m1，b1，m2)，(b2，m1，m2，b1)，(b2，m2，b1，m1)，(b2，m2，m1，b1)}，共有24个样本点，
其中，两名女领诵相邻有{(m1，m2，b1，b2)，(m1，m2，b2，b1)，(m2，m1，b1，b2)，(m2，m1，b2，b1)，(b1，b2，m1，m2)，(b1，b2，m2，m1)，(b1，m1，m2，b2)，(b1，m2，m1，b2)，(b2，b1，m1，m2)，(b2，b1，m2，m1)，(b2，m1，m2，b1)，(b2，m2，m1，b1)}，共12个样本点，
互斥事件的概率

二
问题1　前面我们用集合的形式表示事件C1＝“点数为3”和事件C2＝“点数为4”，并且知道C1和C2是互斥的，你能发现C1∪C2与C1 ，C2之间的概率关系吗？
互斥事件的概率加法公式
知识梳理
P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
P(A)＋P(B)
在同一试验中，对任意两个事件A，B，只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立.
注意点：
　　(1)抛掷一个骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”.已知P(A)＝P(B)＝ ，求出现1点或2点的概率；
设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A，B是互斥事件，
(2)盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球.设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”.已知P(A)＝　，P(B)＝ ，求这3个球中既有红球又有白球的概率.
因为A，B是互斥事件，
反思感悟
应用互斥事件的概率加法公式的关注点(1)公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B).(2)条件：A，B两事件是互斥事件.(3)目的：求互斥的两个事件的并事件的概率.(4)推广：公式可推广为求有限个互斥事件的并事件的概率.
　　　在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：(1)[10,16)；
记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18]内分别为事件A，B，C，D，E.P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)[8,12)；
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)[14,18].
P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.所以年最高水位(单位：m)在[10,16)，[8,12)，[14,18]内的概率分别为0.82,0.38,0.24.
对立事件的概率

三
问题2　若事件F＝“点数为偶数”，事件G＝“点数为奇数”，并且知道F和G是对立的，你能发现F与G之间的概率关系吗？
对立事件的概率公式：P(　)＝ .
知识梳理
1－P(A)
辨析互斥事件与对立事件的思路(1)从发生的角度看①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生.②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.
注意点：
(2)从事件个数的角度看互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.(3)从集合的角度看互斥事件对应集合的交集为空集，对立事件对应集合互为补集，其并集为全集.
注意点：
　　某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25，0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；
设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为A∪B.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)不够7环的概率.
不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面为大于等于7环，即7环、8环、9环、10环，由于这两个事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件.设“不够7环”为事件E，则事件 为“射中7环或8环或9环或10环”，又“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”是彼此互斥的事件.
所以不够7环的概率为0.03.
反思感悟
(1)公式P(A)＝1－P(　)的应用说明①当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，常常使用该公式转化为求其对立事件的概率.②该公式的使用，实际是运用逆向思维(正难则反)，比较适合含有“至多”“至少”“最少”等关键词语型题目.
反思感悟
(2)较复杂的古典概型问题的转化策略①设法把一个复杂事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果.②当直接计算复合条件的事件的概率比较麻烦时，可间接地计算出其对立事件的概率，再用对立事件的概率公式求解.
　　　某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：
(1)求派出医生至多2人的概率；
设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)求派出医生至少2人的概率.
方法一　“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.方法二　“派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
课堂小结
1.知识清单：　 (1)古典概型的实际应用. (2)互斥事件的概率加法公式及应用. (3)对立事件的概率公式及应用.2.方法归纳：树状图法、列举法、转化法.3.常见误区： (1)混淆“放回”与“不放回”抽取，导致列举样本点错误. (2)将事件拆分为若干个事件时出现遗漏，导致计算概率错误.
随堂演练

1.在一个试验中，若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B的关系是A.互斥不对立 B.对立不互斥C.互斥且对立 D.以上答案都不对
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2.若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于A.0.3　　 　B.0.7 　　　C.0.1　　　 D.1
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∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.
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3.某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品.从一箱产品中随机抽取1件进行检测，若“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为A.0.95 　　　 B.0.7 　　　C.0.35 　　　 D.0.05
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设事件A为“抽到一等品”，事件B为“抽到二等品”，事件C为“抽到不合格品”，因为事件A与B是互斥事件，所以P(A∪B)＝0.65＋0.3＝0.95，P(C)＝1－P(A∪B)＝0.05.
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4.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为____.
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5.袋中有标号为1,2,3的3个形状和大小相同的小球，某人每次取出1球，记下标号数字后又放回袋中，则此人两次抽取的小球上数字之和为偶数的概率为_____.
课时对点练

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1.已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)等于A.0.3 　　B.0.6　　 C.0.7 　　 D.0.8
√
因为A与B互斥，B与C对立，所以P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.
2.在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为
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用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率为
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3.某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是A.0.14　　 B.0.20 　　C.0.40 　　D.0.60
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由于成绩为A的有23人，
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4.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为A.60%　　 B.30% 　　 C.10% 　　 D.50%
√
设A＝{甲获胜}，B＝{甲不输}，C＝{甲、乙和棋}，则A，C互斥，且B＝A∪C，故P(B)＝P(A∪C)＝P(A)＋P(C)，即P(C)＝P(B)－P(A)＝50%.
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5.(多选)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.则下列结论正确的是
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将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的样本点为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共有10个.令D表示“此人被评为优秀”的事件，E表示“此人被评为良好”的事件，F表示“此人被评为不合格”的事件，G表示“此人被评为良好及以上”的事件.则事件D含(1,2,3)，只有1个样本点，事件E含(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，共6个样本点.
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6.在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖.若甲、乙两人各抽取1张，则两人都中奖的概率是_____.
用1表示一等奖，2表示二等奖，0表示无奖，样本点为(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共有6个，甲、乙两人各抽取一张奖券，两人都中奖的样本点有(1,2)，(2,1)，共2个，
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8.同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为 ，则5点或6点至少出现一个的概率是_____.
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9.田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A，B，C，田忌的三匹马分别为a，b，c；三匹马各比赛一次，胜两场者获胜.若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A>a>B>b>C>c.(1)正常情况下，求田忌获胜的概率；
比赛配对的样本点共有6个，它们是(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca).
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(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率.
田忌的策略是首场安排劣马c出赛，样本点有2个：(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)，配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜，且获胜的概率为 .
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10.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个球，求下列事件的概率：(1)A＝“取出的两球都是白球”；
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设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球，对应的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共有15个样本点.(1)A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共有6个样本点.
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(2)B＝“取出的两球1个白球，1个红球”；
B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共有8个样本点.
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(3)C＝“取出的两球中至少有一个白球”.
方法一　∵C＝A∪B，且A，B为互斥事件，
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11.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是
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记3个红球分别为a1，a2，a3,2个白球分别为b1，b2.从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的样本点有(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10个.
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12.已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上单调递增的概率是
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∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，∴共含有12个样本点.函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上单调递增，①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的样本点只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；
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13.把10张卡片分别写了0,1,2,3,4,5,6,7,8,9后，任意叠放在一起，从中任取一张，设“抽到大于3的奇数”为事件A，“抽到小于7的奇数”为事件B，则P(A∪B)＝_____.
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因为事件A∪B包含了事件A或事件B中的所有情况，事件A包含的情况为抽到了写有数字5,7,9的卡片；事件B包含的情况为抽到了写有数字1,3,5的卡片.故事件A∪B包含的情况为抽到了写有数字1,3,5,7,9的卡片，
14.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为 ，则参加联欢会的教师共有_____人.
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设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，
15.用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色.则3个矩形颜色都相同的概率为____；3个矩形颜色都不同的概率为_____.
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该事件是古典概型，所有样本点共有27个，如图所示.记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图知，事件A所包含的样本点有3个.
记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B所包含的样本点有6个，
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从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，则有