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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系教案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系教案设计，共14页。教案主要包含了第一课时，教学目标，教学重难点，教学过程，课堂检测，第二课时等内容，欢迎下载使用。
空间点、直线、平面之间的位置关系
【第一课时】
【教学目标】
1．了解平面的概念，会用图形与字母表示平面
2．能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系
3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用
【教学重难点】
1．平面的概念
2．点、线、面的位置关系
3．三个基本事实及推论
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．教材中是如何定义平面的？
2．平面的表示方法有哪些？
3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？
4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？
二、基础知识
1．平面
（1）平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．
（2）平面的画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．
（3）平面的表示方法
我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．
名师点拨：
（1）平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．
（2）平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
2．点、线、面之间的关系及符号表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l
A在l外
A∉l
A在α内
A∈α
A在α外
A∉α
l在α内
l⊂α
l在α外
l⊄α
l，m相交于A
l∩m＝A
l，α相交于A
l∩α＝A
α，β相交于l
α∩β＝l
名师点拨
从集合的角度理解点、线、面之间的关系
（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉ ”表示．
（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉ ”表示．
（3）直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．
3．平面的性质
基本
事实
文字语言
图形语言
符号语言
基本
事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本
事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒
l⊂α
基本
事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
名师点拨
在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如下图①，图②所示：
4．平面性质的三个推论
推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图（1）．
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图（2）．
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图（3）．
三、合作探究
图形、文字、符号语言的相互转化
例1：（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.
（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.
【解】（1）符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．
（2）文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．
[规律方法]
三种语言的转换方法
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．
（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
点、线共面问题
例2：证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明：法一：（纳入平面法）
因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因为l2⊂α，
所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二：（辅助平面法）
因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，
所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
[规律方法]
证明点、线共面的常用方法
（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
三点共线、三线共点问题
例3：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
【证明】连接EF，D1C，A1B，
因为E为AB的中点，
F为AA1的中点，所以EFA1B.
又因为A1BD1C，
所以EFD1C，
所以E，F，D1，C四点共面，
可设D1F∩CE＝P.
又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以据基本事实3可得P∈DA，
即CE，D1F，DA三线交于一点．
[变条件、变问法]若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D、A、M三点共线．
证明：因为D1F∩CE＝M，
且D1F⊂平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面BCDA，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD成立．所以点D、A、M三点共线．
[规律方法]
【课堂检测】
1．能确定一个平面的条件是（ ）
A．空间三个点 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
解析：选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．
2．经过同一条直线上的3个点的平面（ ）
A．有且只有一个 B．有且只有3个
C．有无数个 D．不存在
解析：选C.经过共线3个点的平面有无数个，比如：课本中每一页都过共线的三点．
3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（ ）
A．l⊂α B．l⊄α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：选A.因为M∈a，a⊂α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l⊂α.
4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面（ ）
A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点
解析：选D.根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．
5．说明语句“l⊂α，m∩α＝A，A∉l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形．
解：直线l在平面α 内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．
【第二课时】
【教学目标】
1．了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义
2．了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示
3．了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示
【教学重难点】
1．空间两直线的位置关系
2．直线与平面的位置关系
3．平面与平面的位置关系
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．空间两直线有哪几种位置关系？
2．直线与平面的位置关系有哪几种？
3．平面与平面的位置关系有哪几种？
4．如何用符号和图形表示直线与平面的位置关系？
5．如何用符号和图形表示平面与平面的位置关系？
二、基础知识
1．空间中直线与直线的位置关系
（1）异面直线
①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；
②画法：（通常用平面衬托）
（2）空间两条直线的位置关系
名师点拨
（1）异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
（2）不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
2．空间中直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在
平面α内
直线a在平面α外
直线a与平
面α相交
直线a与
平面α平行
公共点
无数个公共点
有且只有
一个公共点
没有公共点
符号表示
a⊂α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
名师点拨
一般地，直线a在平面α内时，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α相交时，应画成直线a与平面α有且只有一个公共点，被平面α遮住的部分画成虚线或不画；直线a与平面α平行时，应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面α的平行四边形外．
3．空间中平面与平面的位置关系
位置关系
两个平面平行
两个平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点（在一条直线上）
符号表示
α∥β
α∩β＝l
图形表示
名师点拨
（1）画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．
（2）以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线，“两个平面”均指不重合的两个平面．
三、合作探究
空间两直线位置关系的判定
例1：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．
【答案】①平行②异面③相交④异面
[规律方法]
（1）判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4（下节学习）判断．
（2）判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线（如图）．
直线与平面的位置关系
例2：下列命题：
①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；
④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以①是假命题．
因为直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以②是假命题．
因为直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以③是假命题．
因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以④是真命题．
综上，真命题的个数为1.
【答案】A
[归纳反思]
判断直线与平面的位置关系应注意的问题
（1）在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏．
（2）解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
平面与平面的位置关系
例3：已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
【解析】如图，可能会出现以下两种情况：
【答案】C
1．[变条件]在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？
解：如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面，则两平面平行或相交．
2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内有无数条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？
解：如图，α内都有无数条直线与平面β平行．
由图知，平面α与平面β可能平行或相交．
3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内的任意一条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？
解：因为平面α内的任意一条直线与平面β平行，所以只有这两个平面平行才能做到，所以平面α与平面β平行．
[规律方法]
（1）平面与平面的位置关系的判断方法
①平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；
②平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
（2）常见的平面和平面平行的模型
①棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
②长方体的六个面中，三组相对面平行．
点、线、面位置关系图形的画法
例4：如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．
（1）过点G及AC.
（2）过三点E，F，D1.
【解】（1）画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．
（2）画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．
[规律方法]
直线与平面位置关系的图形的画法
（1）画直线a在平面α内时，表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外．
（2）画直线a与平面α相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感．
（3）画直线a与平面α平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．
【课堂检测】
1．不平行的两条直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面
C．平行 D．相交或异面
解析：选D.若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．
2．若M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有（ ）
A．l∥α B．l⊂α
C．l与α相交 D．以上都有可能
解析：选C.由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．故选C.
3．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
解析：选D.如图：
4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（ ）
A．平行 B．直线在平面内
C．相交或直线在平面内 D．平行或直线在平面内
解析：选D.若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行或直线在平面内．
5．已知平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________．
答案：异面
6．下列命题正确的是________．（填序号）
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
③如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交．
解析：①显然是正确的；②中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的．
答案：①
空间点、直线、平面之间的位置关系
【第一课时】
【教学目标】
1．了解平面的概念，会用图形与字母表示平面
2．能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系
3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用
【教学重难点】
1．平面的概念
2．点、线、面的位置关系
3．三个基本事实及推论
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．教材中是如何定义平面的？
2．平面的表示方法有哪些？
3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？
4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？
二、基础知识
1．平面
（1）平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．
（2）平面的画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．
（3）平面的表示方法
我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．
名师点拨：
（1）平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．
（2）平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
2．点、线、面之间的关系及符号表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l
A在l外
A∉l
A在α内
A∈α
A在α外
A∉α
l在α内
l⊂α
l在α外
l⊄α
l，m相交于A
l∩m＝A
l，α相交于A
l∩α＝A
α，β相交于l
α∩β＝l
名师点拨
从集合的角度理解点、线、面之间的关系
（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉ ”表示．
（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉ ”表示．
（3）直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．
3．平面的性质
基本
事实
文字语言
图形语言
符号语言
基本
事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本
事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒
l⊂α
基本
事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
名师点拨
在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如下图①，图②所示：
4．平面性质的三个推论
推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图（1）．
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图（2）．
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图（3）．
三、合作探究
图形、文字、符号语言的相互转化
例1：（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.
（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.
【解】（1）符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．
（2）文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．
[规律方法]
三种语言的转换方法
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．
（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
点、线共面问题
例2：证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明：法一：（纳入平面法）
因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因为l2⊂α，
所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二：（辅助平面法）
因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，
所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
[规律方法]
证明点、线共面的常用方法
（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
三点共线、三线共点问题
例3：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
【证明】连接EF，D1C，A1B，
因为E为AB的中点，
F为AA1的中点，所以EFA1B.
又因为A1BD1C，
所以EFD1C，
所以E，F，D1，C四点共面，
可设D1F∩CE＝P.
又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以据基本事实3可得P∈DA，
即CE，D1F，DA三线交于一点．
[变条件、变问法]若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D、A、M三点共线．
证明：因为D1F∩CE＝M，
且D1F⊂平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面BCDA，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD成立．所以点D、A、M三点共线．
[规律方法]
【课堂检测】
1．能确定一个平面的条件是（ ）
A．空间三个点 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
解析：选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．
2．经过同一条直线上的3个点的平面（ ）
A．有且只有一个 B．有且只有3个
C．有无数个 D．不存在
解析：选C.经过共线3个点的平面有无数个，比如：课本中每一页都过共线的三点．
3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（ ）
A．l⊂α B．l⊄α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：选A.因为M∈a，a⊂α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l⊂α.
4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面（ ）
A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点
解析：选D.根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．
5．说明语句“l⊂α，m∩α＝A，A∉l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形．
解：直线l在平面α 内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．
【第二课时】
【教学目标】
1．了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义
2．了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示
3．了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示
【教学重难点】
1．空间两直线的位置关系
2．直线与平面的位置关系
3．平面与平面的位置关系
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．空间两直线有哪几种位置关系？
2．直线与平面的位置关系有哪几种？
3．平面与平面的位置关系有哪几种？
4．如何用符号和图形表示直线与平面的位置关系？
5．如何用符号和图形表示平面与平面的位置关系？
二、基础知识
1．空间中直线与直线的位置关系
（1）异面直线
①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；
②画法：（通常用平面衬托）
（2）空间两条直线的位置关系
名师点拨
（1）异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
（2）不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
2．空间中直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在
平面α内
直线a在平面α外
直线a与平
面α相交
直线a与
平面α平行
公共点
无数个公共点
有且只有
一个公共点
没有公共点
符号表示
a⊂α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
名师点拨
一般地，直线a在平面α内时，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α相交时，应画成直线a与平面α有且只有一个公共点，被平面α遮住的部分画成虚线或不画；直线a与平面α平行时，应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面α的平行四边形外．
3．空间中平面与平面的位置关系
位置关系
两个平面平行
两个平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点（在一条直线上）
符号表示
α∥β
α∩β＝l
图形表示
名师点拨
（1）画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．
（2）以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线，“两个平面”均指不重合的两个平面．
三、合作探究
空间两直线位置关系的判定
例1：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．
【答案】①平行②异面③相交④异面
[规律方法]
（1）判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4（下节学习）判断．
（2）判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线（如图）．
直线与平面的位置关系
例2：下列命题：
①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；
④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以①是假命题．
因为直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以②是假命题．
因为直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以③是假命题．
因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以④是真命题．
综上，真命题的个数为1.
【答案】A
[归纳反思]
判断直线与平面的位置关系应注意的问题
（1）在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏．
（2）解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
平面与平面的位置关系
例3：已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
【解析】如图，可能会出现以下两种情况：
【答案】C
1．[变条件]在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？
解：如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面，则两平面平行或相交．
2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内有无数条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？
解：如图，α内都有无数条直线与平面β平行．
由图知，平面α与平面β可能平行或相交．
3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内的任意一条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？
解：因为平面α内的任意一条直线与平面β平行，所以只有这两个平面平行才能做到，所以平面α与平面β平行．
[规律方法]
（1）平面与平面的位置关系的判断方法
①平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；
②平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
（2）常见的平面和平面平行的模型
①棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
②长方体的六个面中，三组相对面平行．
点、线、面位置关系图形的画法
例4：如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．
（1）过点G及AC.
（2）过三点E，F，D1.
【解】（1）画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．
（2）画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．
[规律方法]
直线与平面位置关系的图形的画法
（1）画直线a在平面α内时，表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外．
（2）画直线a与平面α相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感．
（3）画直线a与平面α平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．
【课堂检测】
1．不平行的两条直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面
C．平行 D．相交或异面
解析：选D.若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．
2．若M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有（ ）
A．l∥α B．l⊂α
C．l与α相交 D．以上都有可能
解析：选C.由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．故选C.
3．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
解析：选D.如图：
4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（ ）
A．平行 B．直线在平面内
C．相交或直线在平面内 D．平行或直线在平面内
解析：选D.若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行或直线在平面内．
5．已知平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________．
答案：异面
6．下列命题正确的是________．（填序号）
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
③如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交．
解析：①显然是正确的；②中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的．
答案：①
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