2021-2022学年海南省琼海市嘉积二中高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年海南省琼海市嘉积二中高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若复数为虚数单位是纯虚数，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知点，，则与向量同方向的单位向量为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知作用在点的三个力，．，且，则合力的终点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”若为虚数单位，，，且，则的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在，，，中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 的三个内角、、所对的边分别为，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图所示，在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角为，在塔底处测得处的俯角为已知铁塔部分的高为，则山的高度为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 的三个内角为，，，若，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 若点，，分别为的边，，的中点，且，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

11. 下列关于平面向量的说法中不正确的是(    )

A. 已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得
B. 若且，则
C. 若点为的重心，则
D. 若，则是等腰直角三角形

12. 若函数的图象过点，则结论不成立的是(    )

A. 点是的一个对称中心
B. 直线是的一条对称轴
C. 函数的最小正周期是
D. 函数的值域是

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知向量，，且，则______．
14. 已知复数为虚数单位，若，求复数的共轭复数为______．
15. 已知向量，满足，，若的最大值为，则向量，的夹角的最小值为      ，的取值范围为      ．
16. 如图，边长为的正方形的顶点，，分别在轴，轴正半轴上移动，则的最大值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在中，，______求边上的高．
    ，，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
    注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 已知复数其中是虚数单位，．
    若复数是纯虚数，求的值；
    求的取值范围．
19. 在平面直角坐标系中，设向量，，．
    若，求的值；
    设，，且，求的值．
20. 如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点．
    试用向量，表示向量，；
    若，求的值．

21. 已知向量，，函数，且的图象过点和点．
    Ⅰ求，的值；
    Ⅱ将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上的最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间．
22. 如图，海上有，两个小岛相距，船将保持观望岛和岛所成的视角为，现从船上派下一只小艇沿方向驶至处进行作业，且设．
    用分别表示和，并求出的取值范围；
    晚上小艇在处发出一道强烈的光线照射岛，岛至光线的距离为，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为复数为虚数单位是纯虚数，
所以且，解得．
故选B．
复数是纯虚数，实部为虚部不为，求出的值即可．
本题考查复数的基本概念的应用，实部为并且虚部不为，是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：点，，，
与向量同方向的单位向量为，
故选：．
利用单位向量的定义求解．
本题主要考查了求向量的单位向量，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：作用于点的三个力，，，且，
则合力，
设合力的终点为，由题意得：，
即，．
故选：．
先根据向量的加法运算法则求出作用于点的三个力，，的合力，再设合力的终点为，由题意得：，即可得到合力的终点坐标．
本小题主要考查向量在物理中的应用、向量的加法法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，且，
，解得，
故的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为若，，
所以，所以，
所以，，
所以的面积．
故选：．
由已知求出，即得解．
本题考查了解三角形，考查了计算能力，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解： 
由正弦定理可知

选D
利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理可求的和的关系，最后利用正弦定理求得和的比．
本题主要考查了正弦定理的应用．考查了利用正弦定理进行边角问题的互化．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
根据正弦定理得，即，
，
在中，，
故选：．
由已知得，，，根据正弦定理得，进而可求．
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了两角和差的正切公式、诱导公式、倍角公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】
解：，，
，．
则，当且仅当时取等号．
故选：．
由，可得，于是，即可得出．  

9.【答案】 

【解析】解：，，
，故选项A正确，
，故选项B正确，
，，故选项C正确，
，故选项D错误．
故选：．
根据已知条件，运用向量的线性运算公式，即可求解．
本题考查了平面向量的线性运算，考计算量，难度系数低，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，，，，
由正弦定理可得，且，有一解，故A正确；
对于，，，，
由正弦定理可得：，无解，故B错误；

对于，，，，
由正弦定理可得：，，此时，有一解，故C正确；
对于，，，，
由正弦定理可得：，且，
有两个可能值，故D错误．
故选：．
利用正弦定理，结合三角形个数的判断，判断选项的正误．
本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，是基本知识的考查．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，由向量平行的判定定理，可得A正确；对于，由平面向量的数量积定义可得不能得到，故B错；
对于，设线段的中点为，若点为的重心，则，
而，所以，即C正确；

对于，由已知得，，，
又，，，为等腰三角形．
故选：．
根据平面向量共线定理判断；
根据数量积的定义判断；
根据三角形心的三角表示判断；
由二倍角公式及余弦函数的性质判断．
本题主要考查向量的基本性质和数量积公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由函数的图象过点，
可得，即，所以，解得，
所以，
当时，，所以点是的一个对称中心，A错误；
且直线不是的一条对称轴，所以B错误；
函数的最小正周期为，所以C错误；
函数的值域是，所以D正确；
故选：．
根据函数的图象过点求出的值，写出的解析式，再判断题目中的命题是否成立．
本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，向量，，
若，则，
解可得：，
故答案为：．
根据题意，由向量数量积的计算公式可得，计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，，
复数的共轭复数为．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

15.【答案】

【解析】解：设向量，的夹角为，则；
又，，
所以，
即，
解得；
则向量，的夹角的最小值为；
即；
所以，
又，
所以，
所以的取值范围是．
故答案为：，．
设向量，的夹角为，根据题意列不等式求出的取值范围，再计算的取值范围．
本题主要考查了平面向量的数量积与夹角和模长的计算问题，是中档题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题综合考查了数量积运算、同角三角函数基本关系式、倍角公式、正弦函数的单调性有界性，考查了计算能力，属于中档题．
设，可得，，，再利用数量积运算、同角三角函数基本关系式、倍角公式、正弦函数的单调性有界性即可得出．
【解答】
解：设，．
则，，，．
，，

．
，
，
．
．
的最大值为．
故答案为：．  

17.【答案】选择或或 

【解析】解：选择，在中，由正弦定理得，
即，解得；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或舍去；
所以边上的高为．
选择，在中，由正弦定理得，
又因为，所以，即；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或舍去；
所以边上的高为．
选择，在中，由，得；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或舍去；
所以边上的高为．
选择，利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，再计算边上的高．
选择，利用正弦定理得出，由余弦定理求出，再求边上的高．
选择，利用余弦定理列方程求出，再计算边上的高．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
 

18.【答案】解：．
复数是纯虚数，，即；
，
，
的取值范围是． 

【解析】【试题解析】

本题考查复数代数形式的运算，考查复数的概念，考查复数模的求法，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简由实部为且虚部不为列式求得值；
求出，利用配方法求范围．

19.【答案】解：因为，，．
所以，
且．
因为，所以，即，
所以，即            
因为，所以．
故
因为，所以．
化简得，，所以        
因为，所以所以，即 

【解析】本题考查向量的数量积与三角函数的化简求值考查计算能力，属于中档题．
利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可．
通过向量平行，转化求解角的大小即可．
 

20.【答案】解：，
设，，
，
，
，解得，
．


，
则，
，
，． 

【解析】由，即可求出，设，，由向量的线性运算分别求出，，求出，，由此能求出；
利用中结论，结合数量积公式能求出结果．
本题考查向量线性运算法则、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ由题意可得函数，
再由的图象过点和点，可得．
解得，．
Ⅱ由Ⅰ可得
将的图象向左平移个单位后，
得到函数的图象，显然函数最高点的纵坐标为．
图象上各最高点到点的距离的最小值为，
故函数的一个最高点在轴上，
，，结合，可得，
故．
令，，求得，
故的单调递增区间是，． 

【解析】Ⅰ由题意可得函数，再由的图象过点和点，解方程组求得，的值．
Ⅱ由Ⅰ可得，根据函数的图象变换规律求得的图象，再由函数的一个最高点在轴上，求得，可得，令，，求得的范围，可得的增区间．
本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．
 

22.【答案】解：在中，，，
根据余弦定理，可得，
又，，即
在中，，，
由余弦定理，得，即 ，
，可得，
，可得，即，
又，，解得，
，即，
，解之得；
是的中点，可得，
．
又，，得．
设，可得，其中
，
在区间上是增函数，
可得当时，的最大值为，即的最大值为． 

【解析】根据，分别在与中利用余弦定理，可得且两式联解即可得出用表示、的式子，再根据基本不等式与实际问题有意义建立关于的不等式组，解之即可得到的取值范围；
根据是的中线，利用三角形的面积公式算出，解出设，利用导数研究的单调性可得，所以在区间上是增函数，可得当时有最大值，由此可得当时的最大值为．
本题给出实际应用问题，求岛至光线的距离的最大值．着重考查了余弦定理、三角形的面积公式、利用导数研究函数的单调性等知识，考查了解三角形知识在实际问题中的应用，属于中档题．