2022届海南省琼海市嘉积中学高三下学期四校联考数学试题含解析

2022届海南省琼海市嘉积中学高三下学期四校联考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答.

【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是，而全集，，，

所以.

故选：D

2．复数满足，则（为的共轭复数）（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数除法运算及共轭复数概念可得结果.

【详解】由，得，

所以

故选：D

3．平面向量满足，且，则（       ）

A． B．13 C． D．21

【答案】A

【分析】由得到，由向量数量积运算法则求出，从而求出.

【详解】由得：，所以，其中，故.

故选：A

4．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益．已知某种垃圾的分解率与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为，经过24个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解（分解率为）至少需要经过（       ）（参考数据）

A．120个月 B．64个月

C．52个月 D．48个月

【答案】C

【分析】根据题意得：，解方程得，进而解方程即可得答案.

【详解】依题设有，解得，，

故．令，得，

故.

故选：C．

【点睛】本题以垃圾分类为载体，要求考生掌握待定系数法求函数解析式、指数和对数运算，考查运算求解能力，体现了直观想象、数学运算和数学建模的核心素养．本题解题的关键在于根据已知条件待定系数求得，进而利用对数换底公式求解即可.

5．二项式的展开式中，的系数等于（       ）

A．60 B． C．240 D．

【答案】A

【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x的指数等于3，即可求得答案.

【详解】展开式通项为，

令，解得：，所以的系数等于,

故选：A

6．已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】根据图象求出A，最小正周期，进而求出，代入特殊点坐标，求出，从而求出函数解析式.

【详解】由图可知，，所以，解得.

故.因为图象过点，

所以，即，因为，

所以，故

故选：C

7．已知定义在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意；③当时，；若过点的直线与函数的图象在上恰有4个交点，则直线的斜率的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件可知是周期为2的函数，作出函数图像，数形结合即可得解.

【详解】因为函数的图象关于轴对称，所以为偶函数，即，又因为对于任意，所以，

从而，即是周期为2的函数，

结合当时，，可作出在的图像以及直线的图像，如下图所示：

当时，易知，则直线的斜率，

过点的直线与函数的图象在上恰有4个交点，则只需直线斜率的取值范围是.

故选：D.

8．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答.

【详解】令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，

则，且互斥，，，

依题意，，解得，

所以所求近视的概率为.

故选：B

【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.

二、多选题

9．设分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与双曲线交于两点，若为正三角形，则（       ）

A． B．双曲线的离心率

C．双曲线的焦距为 D．的面积为

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性及定义求出正的边长，逐项计算判断作答.

【详解】在正三角形中，由双曲线的对称性知，，，

由双曲线定义有：，因此，，，，

即半焦距，则，A正确；

双曲线的离心率，B正确；

双曲线的焦距，C不正确；

的面积为，D正确.

故选：ABD

10．下列命题中，正确的有（       ）

A．的第75百分位数为96.

B．设一组样本数据的方差为，则数据的方差为1.

C．已知经验回归直线的斜率的估计值是，样本点的中心为，则经验回归直线的方程是.

D．已知随机变量，且，则.

【答案】AD

【分析】根据百分位数的定义可求得第75百分位数为96，判断A;根据方差的计算公式求得数据的方差，判断B;根据样本中心点一定在回归直线上，可判断C;根据正态分布的对称性，可判断D.

【详解】对于A，，从小到大排序后第8个数是96，A正确.

对于B, ，则的平均数为 ，其方差为

，B错误;

对于C,将时代入，错误.

对于D,，，，

P，D正确.

故选：AD

11．如图，棱长为1的正方体中为线段上的动点（不含端点）则下列结论正确的是（       ）

A．直线与所成的角可能是

B．平面平面

C．三棱雉的体积为定值

D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形

【答案】BC

【分析】对于A选项， 建立坐标系，利用坐标法求解；对于B选项，由正方体的性质可知平面，进而可判断；对于C选项，利用等体积法求解即可判断；对于D选项，分别讨论所成的截面图形即可判断.

【详解】解：对于A选项，如图1，建立空间直角坐标系，

则，，

所以，

所以，令，

，

所以在区间上单调递减，

由于，，

所以，即直线与所成的角满足，

又因为，故，故直线与所成的角不可能是，故A选项错误；

对于B选项，由正方体的性质可知平面，所以平面平面，故B选项正确；

对于C选项，三棱雉的体积，是定值，故C选项正确；

对于D选项，设的中点为，当点在线段（不包含端点）上时，此时平面截正方体所得的截面为梯形，如图2；当点在点时，此时平面截正方体所得的截面正三角形；当点在线段（不包含端点）上时，此时平面截正方体所得的截面为等腰三角形，该三角形不可能为直角三角形，故D选项错误；

故选：BC

12．已知，下列不等式恒成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】A选项，构造函数，通过求导研究其单调性得到证明；B选项，构造，通过求导研究其单调性，进行求解；C选项，构造，通过求导研究其单调性，进行求解；D选项，利用中间值比大小.

【详解】令在内单调递增.

时，，即A选项正确；

令在内单调递增，

，即，B选项正确；

令，当时，单调递减，当时，单调递增，与大小不确定，C错误；

当时，，D错误

故选：AB

三、填空题

13．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A={（正，反）}，写出事件A的一个互斥事件___________.（用集合表示，写出一个即可）

【答案】{（正，正）

【分析】根据给定条件，利用互斥事件的定义直接写出事件A的一个互斥事件作答.

【详解】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

其中事件{（正，正），{（反，正），{（反，反）与事件A都不可能同时发生，

所以事件A的一个互斥事件可以是：{（正，正）.

故答案为：{（正，正）

14．若，，则的值等于________.

【答案】

【分析】由题意结合诱导公式可得，由同角三角函数的平方关系可得，再由三角恒等变换可得，代入即可得解.

【详解】因为，所以，

又，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的平方关系及三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

15．已知球为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为1，且球的表面积是，则该正三棱柱的体积为___________.

【答案】

【分析】先求得底面三角形外接圆的半径，再求得三棱柱外接球的半径，从而求得三棱柱的高，求得底面面积，结合棱柱的体积公式求得答案.

【详解】由题意可知：正三棱柱的外接球心在上下底面三角形外心（中心）连线的中点处，

三角形边长为1，故三角形的外接圆半径为；

由球的表面积为，可得，故外接球半径，

所以正三柱的高为，而底面正三角形面积，

故三棱柱的体积，

故答案为：

四、双空题

16．已知是抛物线上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为6，则___________；若过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则这两条切线的斜率之积为___________.

【答案】          0.5

【分析】由抛物线焦半径列出方程，求出，进而求出，设出切线方程，联立抛物线方程后用根的判别式求解.

【详解】由抛物线定义，到抛物线的焦点距离为，得，代入方程得，设过点得切线为，联立抛物线得：，由，得，由韦达定理得：

故答案为：，.

五、解答题

17．在中，内角的对边分别为，已知.

(1)求角A的大小；

(2)若的面积为，且，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理化边为角，得到，求出角A；（2）由面积公式得到，结合余弦定理求出从而求出周长.

【详解】(1)由正弦定理得：，

即，

，

又，故.

(2)由（1）知，

，

，

，故

的周长为

18．①公比为2，且是与的等差中项；②且为递增数列，在①②中任选一个，补充在下列横线上并解答.

已知等比数列中，为数列的前项和，若___________.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，记数列的前项和，求证：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）选条件①，根据给定条件，利用等差中项的定义列式求出首项即可作答.

选条件②，根据给定条件，求出数列的公比并判断作答.

（2）利用（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和推理作答.

【详解】(1)选条件①：因为是与的等差中项，即，依题意，，解得，

所以数列的通项公式是.

选条件②：设公比为，依题意，，解得或，

因为数列是递增数列，于是得，

所以数列的通项公式是.

(2)由（1）知，则，

因此，，

于是有，

因，则有，即有，

所以.

19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面是棱的中点.

(1)证明：平面；

(2)若，且为棱上一点，与平面所成角的大小为，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证；

（2）依题意可得，如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可得到方程，解得，即可得解；

【详解】(1)证明：如图，连接交于点，连接，

因为是的中点，是的中点，所以

又平面，平面，

所以平面

(2)解：因为，所以，所以，故以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，

，

设平面的法向量为，则，即，

故取，设，则

因为直线与平面所成角的大小为，

所以，即

解得，故此时.

20．2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如表：

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；

(2)若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如表：

试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：）.

【答案】(1)；

(2)能盈利，.

【分析】（1）由给定的频率分布直方图，求出抽1件产品是废品的概率，再利用对立事件的概率公式计算作答.

（2）求出每件产品的平均利润的函数式，再借助导数求出最大值作答.

【详解】(1)由频率分布直方图得，抽1件产品为废品的频率为，

依题意，抽1件产品为废品的概率为，设事件的概率为，则，

所以事件A发生的概率.

(2)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润元）的关系如下表所示，

每件产品的平均利润：，

求导得，令，解得，

当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，

因此，当时，取最大值，

所以生产该产品能够实现盈利，当时，每件产品的平均利润达到最大.

21．已知函数.

(1)判断函数的单调性；

(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值.

【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；

(2)3.

【分析】（1）求出函数的导数，再解导数大于0或小于0的不等式即可作答.

（2）将不等式等价变形，分离参数并构造函数，再探讨函数的最小值即可推理作答.

【详解】(1)的定义域为，求导得：，

令，则，令，则，

所以在上单调递增，在上单调递减.

(2)，，

令，，则，

由（1）知，在上单调递增，且，

则在区间内存在唯一的零点，使，即，

则当时，，，有在上单调递减，

当时，，，在上单调递增，

于是得，因此，，

所以整数的最大值为3.

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.

22．如图所示，已知圆，点，点为圆上的动点，线段的垂直平分线和半径相交于点.

(1)当点在圆上运动时，求点的运动轨迹的方程；

(2)判断直线和曲线的位置关系，并给出证明.

【答案】(1)

(2)直线与椭圆相切，证明见解析.

【分析】（1）有椭圆定义可知点点的运动轨迹为椭圆，即可求出方程；

（2）若，或，显然直线与椭圆相切，若，联立直线与椭圆的方程，消化简得到关于的一元二次不等式，而判别式，即可证明结论成立.

【详解】(1)点在线段的垂直平分线上，

.

又点在半径上，且圆的半径为.

故当点在圆上运动时，点满足，

即点的运动轨迹为以为焦点的椭圆，且，

，

因此点的运动轨迹的方程为.

(2)直线与椭圆相切，

证明如下：

若，此时或的方程为或，它们与椭圆相切，

若或，此时的方程为或，

它们与椭圆C相切，

若，设点与点的中点为，

直线的斜率为，则其垂直平分线的斜率为，

直线的方程为，

即          ①，

又点在圆上，          ②，

将②代入①得直线：，

由，得

，

判别式，

          ③

将②代入③解得，

所以直线与椭圆相切，

综上所述：直线与椭圆相切.