苏教版 (2019)必修 第一册6.3 对数函数示范课课件ppt

第二课时　对数的运算性质(二)

课标要求　1.理解积、商、幂的对数，能进行简单的对数运算.2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算.

素养要求　通过掌握对数的运算性质及换底公式，用对数的运算性质进行化简求值，进一步提升学生的数学抽象与数学运算素养；通过用对数解决实际问题，提升学生的数学建模素养.

1.思考　假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，将其化为对数式得x＝log35，从而有＝log35.若将对数的底数2换成c(c>0，c≠1)，＝log35还成立吗？

提示　成立，证明如下：

设 ＝x，则logc5＝xlogc3，

即logc5＝logc3x，

从而有5＝3x，即x＝log35，

所以＝log35(c>0，c≠1).

2.填空　logaN＝，其中a>0，a≠1, N>0，c>0，c≠1.这个公式称为对数的换底公式.

特别地logab·logba＝1(a>0，a≠1，b>0，b≠1).

拓展：loganbm＝logab(a>0，a≠1，b>0，m∈R，n≠0)

温馨提醒　将对数的底数换成任意大于零，且不等于1的实数，特别是将底数换成10或e，即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数运算，就解决了任意底数的对数计算问题.

3.做一做　思考辨析，判断正误

(1)log52＝log2.(　　)

(2)＝log2.(　　)

(3)logaM＋logbN＝loga(MN)(M>0，N>0).(　　)

(4)log32·log23＝1.(　　)

提示　(1)×　log52＝.

(2)×　＝log53.

(3)×　底数都为a才是正确的.

(4)√

题型一　换底公式的直接应用

例1 (1)log29·log34＝(　　)

A.   B. 

C.2   D.4

(2)＝(　　)

A.log54   B.3log52 

C.2   D.3

答案　(1)D　(2)D

解析　(1)原式＝·＝·＝4.

(2)原式＝log28＝3.

思维升华　换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的对数转化为同底数的对数.在应用换底公式时将原对数的底数换成以什么为底数的对数，要由具体已知条件确定，一般换成以10为底的常用对数.

训练1 计算：(log43＋log83)log32＝________.

答案　

解析　原式＝log32

＝log32＝＋＝.

题型二　有附加条件的对数式求值问题

例2 (1)设3a＝4b＝36，求＋的值；

(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.

解　(1)法一　由3a＝4b＝36，

得a＝log336，b＝log436，

由换底公式得＝log363，＝log364，

∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.

法二　由3a＝4b＝36，

两边取以6为底数的对数，

得alog63＝blog64＝log636＝2，

∴＝log63，＝log64＝log62，

∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.

(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，

∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，

∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，

由＋＋＝1，

得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，

∴k＝30，

∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.

思维升华　利用对数式与指数式互化求值的方法

(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.

(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.

训练2 (1)已知2a＝5b＝M，且＋＝2，则M＝________.

(2)若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的是(　　)

A.＋＝2   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝

答案　(1)　(2)B

解析　(1)由2a＝5b＝M，

得a＝log2M，b＝log5M，

故＋＝logM2＋logM5＝logM10＝2，

∴M＝.

(2)∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝lg 2，＝lg 5，

∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，故选B.

题型三　用代数式表示对数

例3 已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.

解　∵18b＝5，∴log185＝b.又log189＝a，

于是log3645＝

＝＝.

思维升华　换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.

训练3 (1)若ln 2＝a，ln 3＝b，则log418＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

(2)已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.

(1)答案　D

解析　log418＝＝＝＝.

(2)解　∵log23＝a，∴＝log32，

又log37＝b，

∴log4256＝＝＝＝＝.

题型四　对数的实际应用

例4 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果保留整数，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

解　假设经过x年，该物质的剩余量是原来的.由题意可知＝，

∴x＝log＝＝＝≈≈4.

故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的.

思维升华　解决对数应用题的一般步骤

训练4 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ表示鱼的耗氧量的单位数.

(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？

(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？

解　(1)由v＝log3可知，

当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s).

所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，

它的游速是1 m/s.

(2)设鲑鱼原来的游速、耗氧量分别为v1，θ1，

提速后的游速、耗氧量分别为v2，θ2.

由v2－v1＝1，即log3－log3＝1，

∴log3＝1，即log3＝2，得＝9.

所以耗氧量的单位数为原来的9倍.

[课堂小结]

1.记牢1个知识点

换底公式.

2.注意2个问题

(1)运用换底公式注意成立条件.

(2)根据不同问题选择公式的正用或逆用.

一、基础达标

1.若log5·log36·log6x＝2，则x＝(　　)

A.9   B. 

C.25   D.

答案　D

解析　由题意知··＝－＝2，∴lg x＝－2lg 5＝lg，∴x＝.

2.已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为(　　)

A.6   B.9 

C.12   D.18

答案　D

解析　∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，

∴＝logk2，＝logk3.

∵2a＋b＝ab，∴＋＝2logk3＋logk2＝logk9＋logk2＝logk18＝1，∴k＝18.

3.设log23＝a，log215＝b，则log59＝(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　log5 9＝

＝＝＝＝.

4.log916·log881＝(　　)

A.18   B. 

C.   D.

答案　C

解析　log916·log881＝·＝·＝.

5.(多选)下列运算正确的是(　　)

A.log34·log49＋2log510＋log50.25＝4

B.log427·log258·log95＝

C.lg 2＋lg 50＝10

D.log(2＋)(2－)－(log2)2＝－

答案　AD

解析　对于A，原式＝·＋log5(100×0.25)＝2＋2＝4，A正确；

对于B，原式＝··＝＝，B错误；

对于C，原式＝lg 100＝2，C错误；

对于D，原式＝－1－＝－，D正确.

选AD.

6.若2a＝3，b＝log32，则ab＝________，3b＋3－b＝________.

答案　1　

解析　∵2a＝3，∴a＝log23，

∴ab＝log23·log32＝log23·＝1，

3b＋3－b＝3log32＋3－log32＝2＋＝.

7.若xlog32＝1，则4x＋4－x＝________.

答案　

解析　因为x＝＝log23，所以4x＋4－x＝22x＋2－2x＝22log23＋2－2log23＝2log232＋2log23－2＝9＋＝.

8.已知log32＝m，则log3218＝________(用m表示).

答案　

解析　log3218＝＝＝＝.

9.计算：(1)log89·log2732；

(2)(log25＋log40.2)(log52＋log250.5).

解　(1)原式＝·

＝·＝.

(2)原式＝(log25＋log220.2)(log52＋log520.5)

＝

＝(log25＋log20.2)(log52＋log50.5)

＝log2(5×0.2)·log5(2×0.5)＝log2(5×5－)·log5(2×2－)

＝log25·log52＝·＝.

10.(1)已知log1227＝a，求log616的值；

(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.

解　(1)由log1227＝a，得＝＝a，

∴lg 2＝lg 3.

∴log616＝＝

＝＝.

(2)法一　原式＝

＝

＝＝13.

法二　原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)

＝(log52＋log52＋log52)＝log25·(3log52)＝×3＝13.

二、能力提升

11.(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　)

A.ab＋bc＝2ac   B.ab＋bc＝ac

C.＝＋   D.＝－

答案　AD

解析　令4a＝6b＝9c＝N(显然N＞0且N≠1)，则a＝log4N，b＝log6N，c＝log9N，∴＝logN4，＝logN6，＝logN9，

∴logN4＋logN9＝2logN6，即＋＝，

∴bc＋ab＝2ac.

12.已知3a＝5b＝c，若c＝3，则25b＝________；若＋＝2，则c＝________.

答案　9　

解析　若c＝3，则5b＝3，所以b＝log53，所以25b＝25log53＝(5log53)2＝32＝9.

因为3a＝5b＝c，所以a＝log3c，b＝log5c，

所以＝，＝.

由＋＝2，即＋＝2.

由换底公式可得logc3＋logc5＝2，

所以logc15＝2，即c2＝15，所以c＝.

13.物理学规定音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10 lg(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40 dB与60 dB之间，则60 dB声音的声波强度I1是40 dB声音的声波强度I2的多少倍？

解　因为η＝10lg ，

所以60 dB声音的声波强度I1＝106·I0，40 dB声音的声波强度I2＝104·I0，

所以＝＝102＝100，

所以60 dB声音的声波强度I1是40 dB声音的声波强度I2的100倍.

三、创新拓展

14.已知lg a和lg b是关于x的方程x2－x＋m＝0的两实根，且关于x的方程x2－(lg a)·x－(1＋lg a)＝0有两个相等实数根，求实数a，b和m的值.

解　由题意得

由③得(lg a＋2)2＝0，所以lg a＝－2.

代入①，得lg b＝1－lg a＝3；

代入②，得m＝lg a·lg b＝(－2)×3＝－6.

所以a＝0.01，b＝1 000，m＝－6.