2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第八章　立体几何与空间向量 高考解答题专项四　第1课时　利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离（课件）

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立体几何中的综合问题考情分析从近两年的新高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.简单几何体的表面积与体积,点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式命题考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.
必备知识1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,
(2)平面的法向量:直线l⊥α平面,取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的法向量.(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.
2.空间位置关系的向量表示
3.利用空间向量求角(1)异面直线所成的角两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说,若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,
(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的
(3)平面与平面的夹角平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cs θ=|cs|
4.利用空间向量求距离(1)两点间的距离
(2)点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离
典例突破例1.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD所成的角为30°.求证:(1)CM∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PAD.
证明 以点C为坐标原点,分别以CB,CD,CP所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,
(2)如图,取AP的中点E,连接BE,
又PA∩DA=A,∴BE⊥平面PAD.又BE⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.
方法总结利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤
对点训练1如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN∥平面A1B1C1;(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.
证明 由题意知AA1,AB,AC两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设正方形AA1C1C的边长为2,则A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1).(1)因为几何体是直三棱柱,所以侧棱AA1⊥底面A1B1C1.
(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).
令x1=2,则平面MBC1的一个法向量为n1=(2,1,-1).同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2=(0,1,1).因为n1·n2=2×0+1×1+(-1)×1=0,所以n1⊥n2,所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.
典例突破例2.如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
(1)证明 连接BD,设AC交BD于点O,则AC⊥BD.由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点,OB,OC,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
(2)解 棱SC上存在一点E使得BE∥平面PAC,此时SE∶EC=2∶1.理由如下:
方法总结存在问题的两种探索方式
对点训练2(2021北京海淀模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,△PBC是等腰三角形,且PB=PC=3.在梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AB=5,AD=4,DC=3.(1)求证:AB∥平面PDC;(2)在线段AP上是否存在点H,使得BH⊥平面ADP?请说明理由.
(1)证明 因为AB∥DC,AB⊄平面PDC,DC⊂平面PDC,所以AB∥平面PDC.(2)解 不存在点H,使得BH⊥平面ADP.取BC中点F,连接AF,PF,在△PBC中,因为PB=PC,所以PF⊥BC.易知AC=AB=5,所以AF⊥BC.又因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,所以PF⊥平面ABCD,所以PF⊥AF.
以F为原点,FA,FB,FP为x,y,z轴建立空间直角坐标系Fxyz,如图,
典例突破例3.(2021天津南开模拟)如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求点D到平面ACE的距离.
(1)证明 因为BF⊥平面ACE,所以BF⊥AE.因为二面角D-AB-E为直二面角,且CB⊥AB,所以CB⊥平面ABE.所以CB⊥AE.因为BF∩BC=B,且BF⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,所以AE⊥平面BCE.
(2)解 以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图.因为AE⊥平面BCE,BE⊂平面BCE,所以AE⊥BE,在Rt△AEB中,AB=2,O为AB的中点,
方法总结利用向量法求点到平面的距离的步骤
对点训练3已知边长为4的正三角形ABC,E,F分别为BC和AC的中点,PA=2,且PA⊥平面ABC,设Q是CE的中点.(1)求证:AE∥平面PFQ;(2)求AE与平面PFQ间的距离.
(1)证明 如图所示,以A为坐标原点,平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴,AC所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.∵AP=2,AB=BC=AC=4,又E,F分别是BC,AC的中点,
∴AE∥FQ.又FQ⊂平面PFQ,AE⊄平面PFQ,∴AE∥平面PFQ.(2)解 由(1)知,AE∥平面PFQ,∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离.设平面PFQ的法向量为n=(x,y,z),