数学九年级上册21.6 综合与实践 获得最大利润获奖教学设计

21．6　综合与实践　获取最大利润

教学目标

【知识与技能】

能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(或小)值，培养学生解决问题的能力．

【过程与方法】

应用已有的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题．

【情感、态度与价值观】

在经历和体验数学知识发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立学好数学的自信心．

重点难点

【重点】

二次函数在最优化问题中的应用．

【难点】

从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解和掌握．

教学过程

一、问题引入

在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可使面积最大、利润最大、材料最省、时间最少、效率最高等问题，这类问题称为最优化问题．其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值．如何利用二次函数分析解决这样的问题呢？

本节课我们来研究二次函数在实际问题中的应用．

做一做：从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是：h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

我们可以借助函数图象解决这个问题，画出函数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象，如图所示，可以看出这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．

因此，当t＝－＝－＝3时，h有最大值＝45，也就是说，小球运动的时间是3 s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45 m.

一般地，当a＞0(或a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低(或高)点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(或大)值.

二、新课教授

问题1：用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少时，场地面积S最大？

师生活动：

学生积极思考，找到等量关系式，并尝试解答．

教师巡视、指导，最后给出解答过程．

解：矩形场地的周长是60 m，一边长l，则另一边长为(－l)，场地的面积S＝l(30－l)，即S＝－l2＋30l(0＜l＜30)．

因此，当l＝－＝－＝15(m)时，S有最大值＝＝225(m2)．

即当l是15 m时，场地面积S最大，最大值是225 m2.

问题2：某商品现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

师生活动：

教师分析存在的问题，书写解答过程．

分析：调整价格包括涨价和降价两种情况．我们先来看涨价的情况．

设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之改变．我们先来确定y随x变化的函数关系式，涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出(300－10x)元．销售额为(60＋x)(300－10x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润为

y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，(0≤x≤30)

即y＝－10x2＋100x＋600

＝－10(x2－10x)＋600

＝－10(x2－10x＋25)＋850

＝－10(x－5)2＋850(0≤x≤30)

所在，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大为850元．

思考：在降价的情况下，最大利润是多少？

(降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大为6 125元．)

思考：由上面的讨论及现在的销售情况，你知道如何定价才能使利润最大了吗？

(在涨价的情况下，定价65元；在降价的情况下，定价57.5元．)

问题3：图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．若水面下降1 m，水面宽度增加多少？

师生活动：

学生完成解答．

教师分析存在的问题，书写解答过程．

分析：我们知道二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．

可设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2.

由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a×22，解得a＝－，

这条抛物线表示的二次函数为y＝－x2.

水面下降1 m，水面所在位置的纵坐标为y＝－3，代入上述表达式得x＝±.

故水面下降1 m，水面宽度增加(2－4)m.

让学生回顾解题过程，讨论、交流、归纳解题步骤：

(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

(2)研究自变量的取值范围；

(3)研究所得的函数；

(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；

(5)解决提出的实际问题．

学生尝试从前面四道题中找到解题规律．

教师补充学生回答中的不足，及时纠正．

三、巩固练习

1．沿墙用长32  m的竹篱笆围成一个矩形的护栏(三面)，怎样围才能使矩形护栏面积最大？最大面积为多少？试画出所得函数的图象．

【答案】围成的矩形一边长为8 m、另一边长为16 m可使矩形护栏的面积最大，最大面积为128 m2.图象略．(注意自变量的取值范围)

2．某旅社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金增加5元，则客房每天出租会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？

【答案】将每间客房的日租金提高到75元时，总收入最高，比装修前的日租金总收入增加750元．

3．某产品每件的成本价是120元，试销阶段，每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y(台)之间的函数关系如下表所示：

并且日销售量y是每件售价x的一次函数．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)为获得最大利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售的利润是多少？

【答案】(1)y＝－x＋200

(2)销售利润S＝(－x＋200)(x－120)，当售价定为每件160元时，每日销售利润最大为1 600元．

四、课堂小结

1．得出用二次函数知识解决实际生活中的最值问题的一般步骤：

(1)列出二次函数的表达式，并根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围；

(2)在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值．

2．解题循环图：