【最新版】高中数学高三培优小题练第17练　导数与函数的单调性

第17练　导数与函数的单调性

考点一　不含参数的函数的单调性

1．函数f(x)＝2x－－3ln x的单调递增区间为(　　)

A.

B.

C.和(1，＋∞)

D.∪(1，＋∞)

答案　C

解析　由f(x)＝2x－－3ln x 得， f′(x)＝2＋－＝，且 x>0，

当f′(x)>0时，解得x>1或 0<x<，

故函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)和.

2．下列函数中，在(0，＋∞)内单调递增的是(　　)

A．f(x)＝－x   B．f(x)＝xex

C．f(x)＝x3－x   D．f(x)＝－x＋ln x

答案　B

解析　由于x>0，对于A选项，f′(x)＝－－1<0，不符合题意；

对于B选项，f′(x)＝(x＋1)ex>0，符合题意；

对于C选项，f′(x)＝3x2－1，f′＝－<0，不符合题意；

对于D选项，f′(x)＝－1＋，f′(2)＝－<0，不符合题意．

3．函数f(x)＝2cos x－cos 2x，x∈(0，π)的单调递增区间为________．

答案　

解析　f′(x)＝－2sin x＋2sin 2x

＝2sin x(2cos x－1)，

∵x∈(0，π)，

∴sin x>0，令f′(x)>0，得cos x>，得0<x<，

∴f(x)的单调递增区间为.

考点二　含参数的函数的单调性

4．函数f(x)＝(x－a)ex＋1，则f(x)的单调递减区间为(　　)

A．(－∞，a)   B．(－∞，a－1)

C．(a－1，＋∞)   D．(a＋1，＋∞)

答案　B

解析　f(x)的定义域为R，

f′(x)＝(x－a＋1)ex，

令f′(x)<0，解得x<a－1.

∴f(x)在(－∞，a－1)上单调递减．

5．已知函数f(x)＝aln x＋x，则下列说法不正确的是(　　)

A．a>0时，f(x)在(0，＋∞)上为增函数

B．a<0时，f(x)在(0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增

C．a＝0时，f(x)在R上为增函数

D．a＝1时，f(x)在定义域内为增函数

答案　C

解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，故C错误；

f′(x)＝＋1＝，

当a≥0时，f′(x)>0，

∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

当a<0时，令f′(x)>0⇒x>－a，

令f′(x)<0⇒0<x<－a，

∴f(x)在(0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增．故A，B，D正确．

6．已知函数f(x)＝(x－a－1)ex－x2＋ax，则下列说法正确的是________．(填序号)

①当a＝1时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增；

②当a＝0时，f(x)在R上单调递增；

③当a>0时，f(x)在(－∞，0)∪(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减；

④当a<0时，f(x)的单调递减区间为(a,0)．

答案　①②④

解析　f(x)的定义域为R，

f′(x)＝(x－a)ex－x＋a＝(x－a)(ex－1)，

当a＝1时，f′(x)＝(x－1)(ex－1)；

当x>1时，f′(x)>0，

∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故①正确；

当a＝0时，f′(x)＝x(ex－1)≥0，∴f(x)在R上单调递增，故②正确；

由单调区间不能并，知③错误；

当a<0时，f′(x)＝(x－a)(ex－1)．

令f′(x)<0⇒a<x<0，

∴f(x)的单调递减区间为(a,0)，故④正确．

考点三　函数单调性的应用

7．(2022·驻马店模拟)若f(x)＝x3－ax2的单调递减区间是(－4,0)，则a的值是(　　)

A．－2   B．2

C．－4   D．4

答案　A

解析　由题意，函数f(x)＝x3－ax2，可得f′(x)＝x2－2ax，

令f′(x)<0，可得x(x－2a)<0，

因为f(x)的单调递减区间是(－4,0)，可得2a＝－4，解得a＝－2.

8．(2022·天津模拟)若函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2]

B.

C.

D．(－2，＋∞)

答案　D

解析　若f(x)在区间内存在单调递增区间，则f′(x)＝＋2ax>0，x∈有解，

故a>－，

令g(x)＝－，

g(x)＝－在上单调递增，

∴g(x)>g＝－2, 故a>－2.

9．(2022·山东省实验中学模拟)已知函数f(x)＝3x＋2cos x，若a＝f()，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c   B．c<b<a

C．b<a<c   D．b<c<a

答案　D

解析　根据题意，函数f(x)＝3x＋2cos x，其导函数f′(x)＝3－2sin x，

则有f′(x)＝3－2sin x>0在R上恒成立，

则f(x)在R上为增函数；

又由2＝log24<log27<3<3，

则b<c<a.

10．若函数f(x)＝ex(sin x＋a)在R上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)

A．(，－1)   B．(－∞，)

C．(－∞，2)   D．[，＋∞)

答案　D

解析　因为f(x)＝ex(sin x＋a)，

所以f′(x)＝ex(sin x＋a＋cos x)．

要使函数在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立．

即sin x＋a＋cos x≥0恒成立．

所以a≥－sin x－cos x，

因为－sin x－cos x＝－sin，

所以－≤－sin x－cos x≤，

所以a≥，即a∈[，＋∞)．

11．(2022·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)＝log2x－x＋1，不等式f(x)>0的解集是(　　)

A．(0,1)

B．(0,1)∪(1，＋∞)

C．(1,2)

D．(0,2)∪(2，＋∞)

答案　C

解析　∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1＝，

∴当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0；

∴f(x)在上单调递增，在上单调递减；

又f(1)＝f(2)＝0，且1<<2，∴f(x)>0的解集为(1,2)．

12．(2022·莱州一中模拟)函数y＝[f(x)]g(x)在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到ln y＝g(x)·ln f(x)，然后两边同时求导得＝g′(x)ln f(x)＋g(x)，于是y′＝[f(x)]g(x)·，用此法探求y＝(x>0)的单调递减区间为(　　)

A．(0，e)   B．(0，e－1)

C．(e－1，＋∞)   D．(e，＋∞)

答案　C

解析　y＝(x＋1)⇒ln y＝ln (x＋1)⇒(ln y)′＝′⇒·y′＝，

于是有y′＝[1－ln(x＋1)]·，当y′<0时，有1－ln(x＋1)<0⇒x>e－1.

13．函数f(x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的必要不充分条件是(　　)

A．a∈

B．a∈

C．a∈(－∞，0)∪

D．a∈(－∞，0)

答案　A

解析　由f(x)＝ax3＋x2＋5x－1，

得f′(x)＝3ax2＋2x＋5，

当a＝0时，由f′(x)＝0，解得x＝－，函数f(x)有两个单调区间；

当a>0时，由Δ＝4－60a>0，解得a<，即0<a<，此时函数f(x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有

3个单调区间；

当a<0时，由Δ＝4－60a>0，解得a<，即a<0，此时函数f(x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间．

综上所述，a∈(－∞，0)∪是函数f(x)＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的充要条件，分析可得a∈是其必要不充分条件．

14．(2022·青铜峡模拟)已知函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f <2f(1)的解集为________．

答案　

解析　函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2的导数为f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＋2x＝x(2＋cos x)，

当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(－x)＝xsin x＋cos(－x)＋(－x)2＝f(x)，

则f(x)为偶函数，即有f(x)＝f(|x|)，

则不等式f(ln x)＋f <2f(1)，即为f(ln x)<f(1)，

即为f(|ln x|)<f(1)，

则|ln x|<1，即－1<ln x<1，解得<x<e，即原不等式的解集.