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【最新版】高中数学高三培优小题练第84练 用样本估计总体
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这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第84练 用样本估计总体，共8页。
考点一 用样本的数字特征估计总体
1．在某次测量中得到A的样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．平均数 B．标准差
C．众数 D．中位数
答案 B
解析 由B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去5，即与A样本不相同，标准差不变，故选B.
2．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本数据如下所示，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
样本：12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68
A．46,45,56 B．46,45,53
C．47,45,56 D．45,47,53
答案 A
解析 由题意可知共有30个数值，所以中位数为第15个数和第16个数的平均值，即eq \f(45＋47,2)＝46；众数是45；极差为68－12＝56.
3．某地区某村前三年的经济收入分别为100,200,300万元，其统计数据的中位数为x，平均数为y.经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这四年里收入的统计数据中，下列说法正确的是( )
A．中位数为x，平均数为1.5y
B．中位数为1.25x，平均数为y
C．中位数为1.25x，平均数为1.5y
D．中位数为1.5x，平均数为2y
答案 C
解析 依题意，前三年经济收入的中位数x＝200，
平均数y＝eq \f(100＋200＋300,3)＝200，
第四年收入为600万元，
故这四年经济收入的中位数为eq \f(200＋300,2)＝250＝1.25x，平均数为eq \f(100＋200＋300＋600,4)＝300＝1.5y.
考点二 频率分布直方图
4．学校举行消防、卫生知识竞赛，将所得成绩制成如图所示的频率分布直方图(假定每个分数段内的成绩均匀分布)，则a等于( )
A．0.200 B．0.020
C．0.150 D．0.015
答案 B
解析 由已知得
(0.008＋0.012＋a＋0.028＋0.032)×10＝1，
解得a＝0.020.
5．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50](单位：元)内，其中支出在[30,50](单位：元)内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为( )
A．100 B．120 C．130 D．390
答案 A
解析 ∵位于10～20,20～30 的小矩形的面积分别为S1＝0.01×10＝0.1，S2＝0.023×10＝0.23,
∴位于10～20,20～30 的数据的频率分别为0.1,0.23，可得位于10～30的前2组数据的频率之和为0.1＋0.23＝0.33，
由此可得位于30～50数据的频率之和为1－0.33＝0.67，
∵支出在[30,50]的同学有 67人，即位于30～50的频数为67，
根据频率计算公式，可得eq \f(67,n)＝0.67，解得n＝100.
6．(2022·大连模拟)供电部门对某社区1 000位居民2021年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是( )
A．12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B．12月份人均用电量不低于20度的有500人
C．12月份人均用电量为25度
D．在这1 000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30,40)内的概率为eq \f(1,10)
答案 C
解析 对于A，根据频率分布直方图知，人数最多的一组是[10,20)，
有0.04×10×1 000＝400(人)，故选项A正确；
对于B,12月份用电量不低于20度的频率是(0.03＋0.01＋0.01)×10＝0.5，
有1 000×0.5＝500(人)，故选项B正确；
对于C,12月份人均用电量为
(5×0.01＋15×0.04＋25×0.03＋35×0.01＋45×0.01)×10＝22(度)，故选项C错误；
对于D，用电量在[30,40)的有0.01×10×1 000＝100(人)，
所以1 000位居民中任选1位，选到的居民用电量在[30,40)内的概率为P＝eq \f(100,1 000)＝eq \f(1,10)，故选项D正确．
7．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为( )
A．62,62.5 B．65,62
C．65,62.5 D．62.5,62.5
答案 C
解析 ∵最高的矩形为第三个矩形，
∴时速的众数的估计值为65.前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4.
∵0.5－0.4＝0.1，eq \f(0.1,0.4)×10＝2.5，
∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5.
考点三 茎叶图、条形图、扇形图、折线图等统计图
8．已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是( )
A．甲命中个数的极差是29
B．乙命中个数的众数是21
C．甲的命中率比乙高
D．甲命中个数的中位数是25
答案 D
解析 由茎叶图可知甲命中个数的极差为37－8＝29，故A正确；易知乙命中个数的众数是21，故B正确；
甲的命中率为
eq \f(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37,40×10)＝0.535，
乙的命中率为
eq \f(9＋11＋13＋14＋18＋19＋20＋21＋21＋23,40×10)＝0.422 5，
所以甲的命中率比乙高，C正确；甲命中个数的中位数为eq \f(22＋24,2)＝23，D不正确．
9．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6 000元，月退休金各种用途占比统计的条形图如图1，该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金各种用途占比统计的折线图如图2.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为( )
图1 图2
A．6 500元 B．7 000元
C．7 500元 D．8 000元
答案 D
解析 由条形图可知，刚退休时的月就医费为6 000×15%＝900(元)，则目前的月就医费为900－100＝800(元)，再由折线图可知，目前月就医费占退休金的10%，所以目前该教师的月退休金为eq \f(800,10%)＝8 000(元)．
10．(2022·洛阳模拟)在全国人民的共同努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制．如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图．
则下列关于甲、乙两省新增确诊人数的说法，不正确的是( )
A．甲省的平均数比乙省低
B．甲省的方差比乙省大
C．甲省的中位数是27
D．乙省的极差是12
答案 C
解析 对于A项，由折线图数据计算可得甲省的平均数比乙省低，故A项正确；
对于B项，由折线图可知，乙省数据的波动范围小于甲省数据的波动范围，
故乙省方差小于甲省的方差，故B项正确；
对于C项，由折线图数据可得甲省的数据从小到大排列为9,11,13,24,27,28,28，
故甲省的中位数为24，故C项错误；
对于D项，由折线图数据可得乙省的极差为29－17＝12，故D项正确．
11．为了更好地支持“中小微企业”发展，某市决定对部分企业的税收进行适当减免．某机构调查了当地的中小微企业的年收入情况，根据所得的数据画出了样本频率分布直方图，下面有三个结论：
①样本数据落在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(300，500))的频率为0.45；
②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受税收减免政策，那么估计当地有55%的中小微企业能享受到这一政策；
③样本的中位数为480万元，
其中正确结论的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 由频率分布直方图可得
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.001＋0.002＋2a＋0.001 5＋0.000 5))×100
＝1，
∴a＝0.002 5.
①∵样本数据落在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(300，500))的频率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.002＋0.002 5))×100＝0.45，∴①正确．
②∵年收入在500万元以内的频率为
(0.001＋0.002＋0.002 5)×100＝0.55，
∴估计当地有55%的中小微企业能享受到税收减免政策，∴②正确．
③∵样本的中位数为400＋eq \f(0.5－0.3,0.25)×100＝480，∴③正确．
∴正确结论的个数为3.
12．(2022·云南师大附中模拟)袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者，是当代神农.50多年来，他始终在农业科学的第一线辛勤耕耘，不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．袁老的科研团队在发现“野败”后，将其带回实验，设计了试验田一、二．通过随机抽样法在两块试验田中分别抽取20株水稻，并统计每株水稻的稻穗数(单位：颗)，得到如图所示的茎叶图，则下列说法错误的是( )
A．试验田二的中位数是246
B．试验田一的标准差小于试验田二的标准差
C．试验田一的平均数eq \x\t(x)1小于试验田二的平均数eq \x\t(x)2.
D．试验田一的众数是215
答案 B
解析 根据茎叶图知试验田二稻穗数的中位数是246，故A正确；
试验田一数据的离散程度较大，所以试验田一稻穗数的标准差大于试验田二稻穗数的标准差，故B错误；
试验田一的数据集中于区间(200,220)，而试验田二的数据集中于区间(240,260)，所以eq \x\t(x)1<
eq \x\t(x)2，故C正确；
试验田一稻穗数的众数是215，故D正确．
13．甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对应的条形图如图：
以下关于这四名同学射击成绩的数字特征判断不正确的是( )
A．平均数相同 B．中位数相同
C．众数不完全相同 D．方差最大的是丁
答案 D
解析 对于A，平均数分别为eq \x\t(x)甲＝4×0.5＋6×0.5＝5，eq \x\t(x)乙＝4×0.3＋5×0.4＋6×0.3＝5，eq \x\t(x)丙＝3×0.3＋4×0.1＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.3＝5，eq \x\t(x)丁＝2×0.1＋4×0.3＋5×0.2＋6×0.3＋8×0.1＝5，故A正确；对于B，甲的中位数为eq \f(4＋6,2)＝5，乙的中位数为5；丙的中位数为5；丁的中位数为5，故B正确；对于C，甲的众数为4和6；乙的众数为5；丙的众数为3和7；丁的众数为4和6，故C正确；对于D，结合图形得方差最大的是丙，故D错误．
14．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是( )
①平均数eq \x\t(x)<3；
②标准差s<2；
③平均数eq \x\t(x)<3；且标准差s<2；
④平均数eq \x\t(x)<3；且极差小于或等于2；
⑤众数等于1且极差小于或等于4.
A．①② B．③④ C．③④⑤ D．④⑤
答案 D
解析 ①错，举反例：0,0,0,0,2,6,6，其平均数eq \x\t(x)＝2<3，但不符合题意；
②错，举反例：6,6,6,6,6,6,6，其标准差s＝0<2，但不符合题意；
③错，举反例：2,2,2,2,2,2,6，平均数eq \x\t(x)<3，且标准差s<2；但不符合题意；
④对，若极差小于2，显然符合条件，
若极差等于2，有可能(1)0,1,2；(2)1,2,3；(3)2,3,4；(4)3,4,5；
在平均数eq \x\t(x)<3的条件下，只有(1)(2)成立，符合条件；
⑤对，在众数等于1且极差小于等于4时，最大数不超过5，符合条件．
考点一 用样本的数字特征估计总体
1．在某次测量中得到A的样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．平均数 B．标准差
C．众数 D．中位数
答案 B
解析 由B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去5，即与A样本不相同，标准差不变，故选B.
2．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本数据如下所示，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
样本：12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68
A．46,45,56 B．46,45,53
C．47,45,56 D．45,47,53
答案 A
解析 由题意可知共有30个数值，所以中位数为第15个数和第16个数的平均值，即eq \f(45＋47,2)＝46；众数是45；极差为68－12＝56.
3．某地区某村前三年的经济收入分别为100,200,300万元，其统计数据的中位数为x，平均数为y.经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这四年里收入的统计数据中，下列说法正确的是( )
A．中位数为x，平均数为1.5y
B．中位数为1.25x，平均数为y
C．中位数为1.25x，平均数为1.5y
D．中位数为1.5x，平均数为2y
答案 C
解析 依题意，前三年经济收入的中位数x＝200，
平均数y＝eq \f(100＋200＋300,3)＝200，
第四年收入为600万元，
故这四年经济收入的中位数为eq \f(200＋300,2)＝250＝1.25x，平均数为eq \f(100＋200＋300＋600,4)＝300＝1.5y.
考点二 频率分布直方图
4．学校举行消防、卫生知识竞赛，将所得成绩制成如图所示的频率分布直方图(假定每个分数段内的成绩均匀分布)，则a等于( )
A．0.200 B．0.020
C．0.150 D．0.015
答案 B
解析 由已知得
(0.008＋0.012＋a＋0.028＋0.032)×10＝1，
解得a＝0.020.
5．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50](单位：元)内，其中支出在[30,50](单位：元)内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为( )
A．100 B．120 C．130 D．390
答案 A
解析 ∵位于10～20,20～30 的小矩形的面积分别为S1＝0.01×10＝0.1，S2＝0.023×10＝0.23,
∴位于10～20,20～30 的数据的频率分别为0.1,0.23，可得位于10～30的前2组数据的频率之和为0.1＋0.23＝0.33，
由此可得位于30～50数据的频率之和为1－0.33＝0.67，
∵支出在[30,50]的同学有 67人，即位于30～50的频数为67，
根据频率计算公式，可得eq \f(67,n)＝0.67，解得n＝100.
6．(2022·大连模拟)供电部门对某社区1 000位居民2021年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是( )
A．12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B．12月份人均用电量不低于20度的有500人
C．12月份人均用电量为25度
D．在这1 000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30,40)内的概率为eq \f(1,10)
答案 C
解析 对于A，根据频率分布直方图知，人数最多的一组是[10,20)，
有0.04×10×1 000＝400(人)，故选项A正确；
对于B,12月份用电量不低于20度的频率是(0.03＋0.01＋0.01)×10＝0.5，
有1 000×0.5＝500(人)，故选项B正确；
对于C,12月份人均用电量为
(5×0.01＋15×0.04＋25×0.03＋35×0.01＋45×0.01)×10＝22(度)，故选项C错误；
对于D，用电量在[30,40)的有0.01×10×1 000＝100(人)，
所以1 000位居民中任选1位，选到的居民用电量在[30,40)内的概率为P＝eq \f(100,1 000)＝eq \f(1,10)，故选项D正确．
7．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为( )
A．62,62.5 B．65,62
C．65,62.5 D．62.5,62.5
答案 C
解析 ∵最高的矩形为第三个矩形，
∴时速的众数的估计值为65.前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4.
∵0.5－0.4＝0.1，eq \f(0.1,0.4)×10＝2.5，
∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5.
考点三 茎叶图、条形图、扇形图、折线图等统计图
8．已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是( )
A．甲命中个数的极差是29
B．乙命中个数的众数是21
C．甲的命中率比乙高
D．甲命中个数的中位数是25
答案 D
解析 由茎叶图可知甲命中个数的极差为37－8＝29，故A正确；易知乙命中个数的众数是21，故B正确；
甲的命中率为
eq \f(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37,40×10)＝0.535，
乙的命中率为
eq \f(9＋11＋13＋14＋18＋19＋20＋21＋21＋23,40×10)＝0.422 5，
所以甲的命中率比乙高，C正确；甲命中个数的中位数为eq \f(22＋24,2)＝23，D不正确．
9．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6 000元，月退休金各种用途占比统计的条形图如图1，该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金各种用途占比统计的折线图如图2.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为( )
图1 图2
A．6 500元 B．7 000元
C．7 500元 D．8 000元
答案 D
解析 由条形图可知，刚退休时的月就医费为6 000×15%＝900(元)，则目前的月就医费为900－100＝800(元)，再由折线图可知，目前月就医费占退休金的10%，所以目前该教师的月退休金为eq \f(800,10%)＝8 000(元)．
10．(2022·洛阳模拟)在全国人民的共同努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制．如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图．
则下列关于甲、乙两省新增确诊人数的说法，不正确的是( )
A．甲省的平均数比乙省低
B．甲省的方差比乙省大
C．甲省的中位数是27
D．乙省的极差是12
答案 C
解析 对于A项，由折线图数据计算可得甲省的平均数比乙省低，故A项正确；
对于B项，由折线图可知，乙省数据的波动范围小于甲省数据的波动范围，
故乙省方差小于甲省的方差，故B项正确；
对于C项，由折线图数据可得甲省的数据从小到大排列为9,11,13,24,27,28,28，
故甲省的中位数为24，故C项错误；
对于D项，由折线图数据可得乙省的极差为29－17＝12，故D项正确．
11．为了更好地支持“中小微企业”发展，某市决定对部分企业的税收进行适当减免．某机构调查了当地的中小微企业的年收入情况，根据所得的数据画出了样本频率分布直方图，下面有三个结论：
①样本数据落在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(300，500))的频率为0.45；
②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受税收减免政策，那么估计当地有55%的中小微企业能享受到这一政策；
③样本的中位数为480万元，
其中正确结论的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 由频率分布直方图可得
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.001＋0.002＋2a＋0.001 5＋0.000 5))×100
＝1，
∴a＝0.002 5.
①∵样本数据落在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(300，500))的频率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.002＋0.002 5))×100＝0.45，∴①正确．
②∵年收入在500万元以内的频率为
(0.001＋0.002＋0.002 5)×100＝0.55，
∴估计当地有55%的中小微企业能享受到税收减免政策，∴②正确．
③∵样本的中位数为400＋eq \f(0.5－0.3,0.25)×100＝480，∴③正确．
∴正确结论的个数为3.
12．(2022·云南师大附中模拟)袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者，是当代神农.50多年来，他始终在农业科学的第一线辛勤耕耘，不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．袁老的科研团队在发现“野败”后，将其带回实验，设计了试验田一、二．通过随机抽样法在两块试验田中分别抽取20株水稻，并统计每株水稻的稻穗数(单位：颗)，得到如图所示的茎叶图，则下列说法错误的是( )
A．试验田二的中位数是246
B．试验田一的标准差小于试验田二的标准差
C．试验田一的平均数eq \x\t(x)1小于试验田二的平均数eq \x\t(x)2.
D．试验田一的众数是215
答案 B
解析 根据茎叶图知试验田二稻穗数的中位数是246，故A正确；
试验田一数据的离散程度较大，所以试验田一稻穗数的标准差大于试验田二稻穗数的标准差，故B错误；
试验田一的数据集中于区间(200,220)，而试验田二的数据集中于区间(240,260)，所以eq \x\t(x)1<
eq \x\t(x)2，故C正确；
试验田一稻穗数的众数是215，故D正确．
13．甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对应的条形图如图：
以下关于这四名同学射击成绩的数字特征判断不正确的是( )
A．平均数相同 B．中位数相同
C．众数不完全相同 D．方差最大的是丁
答案 D
解析 对于A，平均数分别为eq \x\t(x)甲＝4×0.5＋6×0.5＝5，eq \x\t(x)乙＝4×0.3＋5×0.4＋6×0.3＝5，eq \x\t(x)丙＝3×0.3＋4×0.1＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.3＝5，eq \x\t(x)丁＝2×0.1＋4×0.3＋5×0.2＋6×0.3＋8×0.1＝5，故A正确；对于B，甲的中位数为eq \f(4＋6,2)＝5，乙的中位数为5；丙的中位数为5；丁的中位数为5，故B正确；对于C，甲的众数为4和6；乙的众数为5；丙的众数为3和7；丁的众数为4和6，故C正确；对于D，结合图形得方差最大的是丙，故D错误．
14．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是( )
①平均数eq \x\t(x)<3；
②标准差s<2；
③平均数eq \x\t(x)<3；且标准差s<2；
④平均数eq \x\t(x)<3；且极差小于或等于2；
⑤众数等于1且极差小于或等于4.
A．①② B．③④ C．③④⑤ D．④⑤
答案 D
解析 ①错，举反例：0,0,0,0,2,6,6，其平均数eq \x\t(x)＝2<3，但不符合题意；
②错，举反例：6,6,6,6,6,6,6，其标准差s＝0<2，但不符合题意；
③错，举反例：2,2,2,2,2,2,6，平均数eq \x\t(x)<3，且标准差s<2；但不符合题意；
④对，若极差小于2，显然符合条件，
若极差等于2，有可能(1)0,1,2；(2)1,2,3；(3)2,3,4；(4)3,4,5；
在平均数eq \x\t(x)<3的条件下，只有(1)(2)成立，符合条件；
⑤对，在众数等于1且极差小于等于4时，最大数不超过5，符合条件．
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