新教材高中数学人教A必修第一册 模块复习课02 一元二次函数、方程和不等式 PPT课件+课时练习

[对应学生用书P122]

[对应学生用书P122]

一．数或式比较大小问题

数或式比较大小的方法

(1)作差或作商比较法．

(2)找中间量来比较， 往往找1或0.

(3)特值法，对相关的式子赋值计算得出结果．

(4)数形结合法，画出相应的图形， 直观比较大小．

[训练1]　若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A，B的大小关系为________．

解析　因为A－B＝(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)＝x2＋10x＋21－(x2＋10x＋24)＝－3＜0，所以A＜B．

答案　A＜B

[训练2]　已知a＜b＜c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小．[来源:Zxxk.Com]

解　a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)

＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2)

＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)

＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a)

＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a)

＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a)

＝(a－b)(a－c)(b－c)．

∵a＜b＜c，∴a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，

∴(a－b)(a－c)(b－c)＜0.

∴a2b＋b2c＋c2a＜ab2＋bc2＋ca2.

二．不等式的性质及应用

应用时容易出错的不等式的性质

(1)同向不等式可以相加；异向不等式可以相减；

若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d，

若a＞b，c＜d则a－c＞b－d，

但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．

(2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．

若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；

若a＞b＞0,0＜c＜d，则＞.

(3)左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方．

若a＞b＞0，则an＞bn或＞.

(4)若ab＞0，a＞b，则＜，若ab＜0，a＞b，则＞.

[训练3]　若a＞b, x＞y，下列不等式正确的是(　　)

A．a＋x＜b＋y　　 B．ax＞by

C．|a|x≥|a|y　 D．(a－b)x＜(a－b)y

C　[因为当a≠0时， |a|＞0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y.]

[训练4]　已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是(　　)

A．xy＞yz　 B．xz＞yz

C．xy＞xz　 D．x|y|＞z|y|

C　[因为x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，又y＞z，所以xy＞xz.]

[训练5]　下列命题中，正确的是(　　)

A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

B．若ac＞bc，则a＞b

C．若＜，则a＜b

D．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d

C　[取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c＜0时，ac＞bc，则a＜b，∴B错误；∵＜，∴c≠0，又c2＞0，∴a＜b，C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．]

三、利用基本不等式求最值问题

利用基本不等式求最值的方法

基本不等式通常用来求最值问题：

一般用a＋b≥2(a＞0，b＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤2解“定和求积，积最大”问题．

[训练6]　设a，b，c为正实数，且满足a－3b＋2c＝0，则的最小值是________.

解析　因为a，b，c为正实数，a－3b＋2c＝0，所以b＝. 则＝≥＝，当且仅当a＝2c，b＝时取等号，所以的最小值是.

答案　

[训练7]　设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值．

解　∵＋＝3，∴＝1.

∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×

＝≥＝.

当且仅当＝，即y＝2x时，取等号．

又∵＋＝3，∴x＝，y＝.

∴2x＋y的最小值为.

四、利用基本不等式求解实际问题

在实际应用中，经常涉及函数y＝x＋(k＞0)．一定要注意基本不等式适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证．

[训练8]　某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：m/s)、平均车长l(单位：m)的值有关，其公式为F＝.

(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/小时；

(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．

解析　(1)l＝6.05，则F＝＝，由基本不等式v＋≥2＝22，得F≤＝1 900(辆/小时)．

(2)l＝5，F＝＝，由基本不等式v＋≥2＝20，当且仅当v＝时，即v＝10时，等号成立．得F≤＝2 000(辆/小时)，增加2 000－1 900＝100(辆/小时)．

答案　(1)1 900　(2)100

[训练9]　某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)为50＜x≤80时，每天售出的件数为P＝，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？

解　设销售价格为每件x元(50＜x≤80)，每天获得的利润为y元，

则y＝(x－50)·P＝，

令x－50＝t，则x＝50＋t，

∴y＝＝＝≤＝2 500.

当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500.

所以销售价格每件应定为60元．

五、一元二次不等式及其应用

(1)一元二次不等式常与集合运算相结合．

(2)三个二次之间的关系是解决一元二次不等式问题的关键．[来源:学*科*网]

(3)含参数的一元二次不等式恒成立问题是常见题型，关键是等价转化与合理分类．构造函数法与判别式、根与系数的关系是常见思考方向．

(4)高次不等式、分式不等式要等价转化．

[训练10]　若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，则m＝________.

解析　因为ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m＞1，

则解得

答案　2

[训练11]　解关于x的不等式ax2－2ax＋a＋3＞0.

解　当a＝0时，解集为R；

当a＞0时，Δ＝－12a＜0，∴解集为R；

当a＜0时，Δ＝－12a＞0，

方程ax2－2ax＋a＋3＝0的两根分别为，，

∴此时不等式的解集为

.

综上所述，当a≥0时，原不等式的解集为R；

当a＜0时，原不等式的解集为.

六、一元二次函数、方程和不等式

一元二次不等式恒成立可以转化为判别式Δ和开口方向应满足不等式组，也可利用函数最值进行转化，即转化为求函数的最值问题．

[训练12]　若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是__________．

解析　令y＝8x2－(m－1)x＋m－7.

∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，

∴由二次函数图象得

解得

∴m的取值范围是{m|m≥25}．

答案　[25，＋∞)

[训练13]　若不等式x2＋ax＋3－a＞0对于满足－2≤x≤2的一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．

解　设y＝x2＋ax＋3－a，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足－2≤x≤2的一切实数x恒有y＞0，只需满足：

①Δ＝a2－4(3－a)＜0；

②， 或，

解①②得，当－7＜a＜2时，不等式x2＋ax＋3－a＞0对于满足－2≤x≤2的一切实数x恒成立．

[对应学生用书P198]

1．设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝(　　)

A．{x|－1＜x＜3}　　 B．{x|－1＜x＜1}

C．{x|1＜x＜2}　 D．{x|2＜x＜3}

A　[A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}．]

2．若a，b∈R，则下列命题正确的是(　　)

A．若a＞b，则a2＞b2　 B．若|a|＞b，则a2＞b2

C．若a＞|b|，则a2＞b2　 D．若a≠|b|，则a2≠b2

C　[因为a＝1＞b＝－1, a2＝b2，所以A错；因为|a|＝1＞b＝－1, a2＝b2，所以B错；若a＞|b|，则a2＞|b|2＝b2，所以C对；因为a＝－1，b＝1, a≠|b|, a2＝b2，所以D错．]

3．若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于(　　)

A．　 B．　

C．　 D．

A　[由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝.]

4．若＜＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|，②a＜b，③a＋b＜ab，④a3＞b3，则不正确的不等式的个数是(　　)

A．0　 B．1　

C．2　 D．3

C　[由＜＜0可得b＜a＜0，从而|a|＜|b|，①②均不正确；a＋b＜0，ab＞0，则a＋b＜ab成立，③正确；a3＞b3，④正确. ]

5．已知a＞0，b＞0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　)

A．8　 B．7　

C．6　 D．5

C　[∵2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54(当且仅当a＝b时，取等号)．∴9m≤54，即m≤6.]

6．(多空题)一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为__________．

解析　由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)＞2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km, 则原来行驶8天的路程就要用9天多， 即＞9.

答案　8(x＋19)＞2 200　＞9[来源:Zxxk.Com][来源:学科网]

7．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是________．

解析　x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.

答案　k≥4或k≤2

8．若实数a、b满足＋＝，则ab的最小值为________．

解析　∵＋＝，∴a＞0，b＞0，∴＝＋≥2＝2，∴ab≥2，(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2.

答案　2

9．当x＞3时，求的取值范围．

解　∵x＞3，∴x－3＞0.

∴＝＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24.

当且仅当2(x－3)＝，即x＝6时，等号成立．

10．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a＋b＋c＞＋＋.[来源:学科网ZXXK]

证明　∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0.

∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，

即a＋b＋c≥＋＋.

由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．

∴a＋b＋c＞＋＋.

11．已知：a，b，c∈(0，＋∞)．

求证：··≤.

证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，

∴a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0，

∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc＞0.

∴≤，

即··≤.

当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．

解　 (1)设每件定价为t元，依题意，有[8－(t－25)×0.2]t≥25×8，

整理得t2－65t＋1 000≤0，

解得25≤t≤40.

因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．

(2)依题意，当x＞25时，

不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，

等价于x＞25时，a≥＋x＋有解．

∵＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，

∴a≥10.2.

因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．