2020-2021学年24.1.1 圆学案设计

  圆的基本概念和性质—知识讲解（基础）

【学习目标】

1．知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；

2．能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；

3．情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.

【要点梳理】

要点一、圆的定义及性质

1. 圆的定义
【高清ID号：356996       关联的位置名称（播放点名称）：概念、性质的要点回顾】

(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点诠释：
　  ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
  　②圆是一条封闭曲线.

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
要点诠释：
　  ①定点为圆心，定长为半径；
　　②圆指的是圆周，而不是圆面；
　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

2.圆的性质
　　①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
  　②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.

要点诠释：
　　①圆有无数条对称轴；
　  ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.
3.两圆的性质
　   两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.

要点二、与圆有关的概念

1. 弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
　　直径：经过圆心的弦叫做直径.

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
要点诠释：
　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：连结OC、OD
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦.
2. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点诠释：
　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.同心圆与等圆
　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
【高清ID号：356996       关联的位置名称（播放点名称）：概念、性质的要点回顾】

4.等弧
　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
要点诠释：
　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
    ②圆中两平行弦所夹的弧相等.

【典型例题】

类型一、圆的定义

1．（2014秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．

【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.

【答案与解析】

证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．

∵BD，CE是△ABC的高，

∴△BCD和△BCE都是直角三角形．

∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，

∴DF=EF=BF=CF．

∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．

【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.

举一反三：

【变式】下列命题中，正确的个数是（　 ）
　⑴直径是弦，但弦不一定是直径； 　⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；
　⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆 ；　⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.
　　A.1个　　　 B.2个 　　　C.3个　　　 D.4个

【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选C.

类型二、圆及有关概念 

2．判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)
　　①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（  ）
　　②弦是直径；（  ）
　　③长度相等的两段弧是等弧；（  ）
　　④直径是圆中最长的弦. （  ）

【答案】①√ ②× ③×  ④√.
【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确.
【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.

举一反三：

【变式】（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（　　）

A．直径相等的两个圆是等圆

B．长度相等的两条弧是等弧

C．圆中最长的弦是直径

D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧

【答案】B.

提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；

B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；

C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；

D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，

故选：B．

3．直角三角形的三个顶点在⊙O上，则圆心O在           .

【答案】斜边的中点.

【解析】根据圆的定义知圆心O到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.

【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等.

4．判断正误：有、，的长度为3cm, 的长度为3cm，则与是等弧.

【答案】错误.

【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.

【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.

举一反三：

【变式】有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣弧长.”试分析这个观点是否正确.

甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.

乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O中的优弧，中的劣弧，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长.

请你判断谁的说法正确？

【答案】弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行. 乙的观点正确.

类型三、圆的对称性

5．已知：如图，两个以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．求证：AC=BD．

【答案与解析】证明：过O点作OM⊥AB于M，交大圆与E、F两点.如图，

则EF所在的直线是两圆的对称轴，

所以AM=BM，CM=DM，

故AC=BD.

【总结升华】作出与AB垂直的圆的对称轴，由圆的对称性可证得结论.

圆的基本概念和性质—巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题
1.（2015春•张掖校级月考）有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（　　）

　 A．1 B． 2 C． 3 D． 4

2.在⊙O中，，那么(    )

A.AB＝2CD        B.AB＝CD       C.AB＜2CD         D.AB＞2CD

3.过圆上一点可以作出圆的最长的弦有（   ）条.

   A. 1             B. 2            C. 3             D. 4

4．等于圆周的弧叫做（   ）

   A．劣弧          B．半圆         C．优弧          D．圆

5.已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（   ）

A.2                B.3             C.4             D.5

6.已知圆内一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（   ）

A.2               B.3              C.4             D.5

7.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点， 那么这条圆弧所在圆

的圆心是（   ）

A.点P            B.点Q          C.点R           D.点M

8．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（   ）

A．1个           B．2个         C．3个          D．无数个
 

二、填空题

9.（2014春•定陶县期末）下列说法正确的是　     　（填序号）．

①半径不等的圆叫做同心圆；           ②优弧一定大于劣弧； 

③不同的圆中不可能有相等的弦；       ④直径是同一个圆中最长的弦．

10.过已知⊙O上一定点P，可以画半径_____条；弦____条；直径____条.

11.圆是____               ___对称图形.

12. 在平面内到定点A的距离等于3的点组成的图形是                                .

13.已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为________cm．

14. 在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．

15.一个圆的圆心决定这个圆的_________，圆的半径决定这个圆的_________．

三、解答题

16．某市承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图27-11所示，那么运动员公寓应建立在何处？

17．（2014秋•江宁区校级期中）如图，BD=OD，∠AOC=114°，求∠AOD的度数．

18.已知MN=6cm，画出到M点的距离等于4cm的所有点，再画出到N点的距离等于5cm的所有点，指出既到点M的距离等于4cm，又到点N的距离等于5cm的点有几个？试说明你的结论.

19．已知：如图，C是⊙O直径AB上一点，过C作弦DE，使DC=EC，∠AOD=60°，求∠BOE的度数．

【答案与解析】

一、选择题
1.【答案】B；

【解析】①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；

②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；

③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；

④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．其中错误说法的是①③两个．故选：B．

2.【答案】C；

【解析】把两条弦转化到一个三角形中，由三角形两边之和大于第三边得到结论.    

3.【答案】A；

【解析】圆的最长的弦是过该点的直径，只有一条.     

4.【答案】C；

【解析】等于圆周的弧是大于半圆弧，是优弧.

5.【答案】B；

【解析】如图，连结PO并延长交圆O于A、B两点，则PA、PB即为最短弦2、最长弦8，故该圆的半径可求.

6.【答案】D；

7.【答案】B；

【解析】观察网格图不难发现AQ=BQ=CQ，所以圆弧所在的圆心是点Q， 故选B.    

8.【答案】A；

【解析】以定点为圆心，定长为半径作圆，只能作一个，故选A.

二、填空题

9.【答案】④；

【解析】①半径不等的圆叫做同心圆，错误；

②优弧一定大于劣弧，错误；

③不同的圆中不可能有相等的弦，错误；

④直径是同一个圆中最长的弦，正确．

故答案为：④．

10.【答案】1；无数；1；

11.【答案】轴对称图形也是中心；

12.【答案】以A为圆心3为半径的圆； 

13.【答案】8；

14.【答案】重合；

15.【答案】位置，大小.

三、解答题

16. 【答案与解析】

任意作连结A、B、C三点中的两点所成的线段的中垂线的交点.

17．【答案与解析】

解：设∠B=x，

∵BD=OD，

∴∠DOB=∠B=x，

∴∠ADO=∠DOB+∠B=2x，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO=2x，

∵∠AOC=∠A+∠B，

∴2x+x=114°，解得x=38°，

∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠ADO=180°﹣4x=180°﹣4×38°=28°．

18. 【答案与解析】

分别画以M为圆心、以4cm为半径的圆，画以N为圆心、以5cm为半径的圆，

两圆交于A、B两点，则A、B两点即为所求的2个点.

19．【答案与解析】

∵C是⊙O直径AB上一点， DE是弦，DC=EC，

∴由圆的对称性可得点D、E关于直线AB对称，

∵∠AOD=60°，∴∠AOE=∠AOD=60°，

∴∠BOE =180°-60°=120°.