人教版高考物理一轮复习第7章静电场第2讲电场能的性质学案

第2讲　电场能的性质

知识点1　电势能　电势

1．电势能

(1)电场力做功的特点：

电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关。

(2)电势能

①定义：电荷在电场中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。

②电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。

2．电势

(1)定义：试探电荷在电场中某点具有的电势能Ep与它的电荷量q的比值。

(2)定义式：φ＝。

(3)矢标性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。

(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。

3．等势面

(1)定义：电场中电势相等的各点组成的面。

(2)四个特点

①等势面一定与电场线垂直。

②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。

③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。

④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。

知识点2　电势差

1．定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做功与移动电荷的电荷量的比值。

2．定义式：UAB＝。

3．电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。

知识点3　匀强电场中电势差与电场强度的关系

1．电势差与电场强度的关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积。即U＝Ed，也可以写作E＝。

2．公式U＝Ed的适用范围：匀强电场。

思考：电势和电势差与检验电荷有关吗？电场中各点的电势与零电势点的选取有关，电势差与零电势点的选取有关吗？电势降低的方向一定是沿电场线方向吗？

[答案]　无关；无关；不是。

双基自测

一、堵点疏通

1．电场中电场强度为零的地方电势一定为零。(　×　)

2．等势面是客观存在的，电场线与等势面一定垂直。(　×　)

3．电场力做功与路径无关。(　√　)

4．带电粒子仅受电场力作用时，一定从电势能大的地方向电势能小的地方移动。(　×　)

5．由于静电力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关。(　√　)

二、对点激活

1．(多选)某区域的电场线分布如图所示，电场中有A、B两点。设A、B两点的电场强度大小分别为EA、EB，电势分别是φA、φB，则下列判断正确的是(　AD　)

A．EA＜EB　 B．EA＞EB

C．φA＜φB　 D．φA＞φB

[解析]　本题考查对电场强度和电场线的理解。电场线越密集，场强越大，所以EA<EB；沿着电场线方向，电势降低，所以φA>φB故A、D正确。

2．(2020·天津红桥区一模)在静电场中，将一带正电的点电荷从a点移到b点，电场力做了负功，则(　C　)

A．b点的电场强度一定比a点大

B．电场线方向一定从b指向a

C．b点的电势一定比a点高

D．该点电荷的动能一定减小

[解析]　本题考查电场强度、电势等。在静电场中，将一带正电的点电荷从a点移到b点，电场力做了负功，根据功能关系可知，点电荷的电势能增大，由电势能与电势的关系可知，b点的电势一定比a点高，选项C正确；只有电场力做功时点电荷的电势能和动能之和才保持不变，而题述没有明确点电荷是否受到其他力，所以不能判定该点电荷的动能一定减小，选项D错误；根据题述条件，不能判断出电场线方向一定从b指向a，也不能判断出a点与b点电场强度的大小关系，选项A、B错误。

3．(2021·河北唐山月考)空间存在平行于纸面方向的匀强电场，纸面内ABC三点形成一个边长为1 cm的等边三角形。将电子由A移动到B点，电场力做功 2 eV，再将电子由B移动到C点，克服电场力做功1 eV。匀强电场的电场强度大小为(　C　)

A．100 V/m　　 B． V/m

C．200 V/m　 D．200 V/m

[解析]　本题考查电场强度，电场力做功、电势等。根据题述电子由A移动到B点，电场力做功2 eV，可知A、B之间的电势差为－2 V，根据电子由B移动到C点，克服电场力做功1 eV，可知B、C之间的电势差为1 V，由此可知AB的中点与C点等电势，电场线平行于AB，方向由B指向A，由E＝可得E＝200 V/m，选项C正确。

核心考点·重点突破

HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO

考点一　电势差、电势、电势能的理解与应用

1．电势高低的判断

2．电势能大小的判断

例1　(2020·浙江物理7月)空间P、Q两点处固定电荷量绝对值相等的点电荷，其中Q点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势线分布如图所示，a、b、c、d、e为电场中的5个点，设无穷远处电势为0，则(　D　)

A．e点的电势大于0

B．a点和b点的电场强度相同

C．b点的电势低于d点的电势

D．负电荷从a点移动到c点时电势能增加

[解析]　本题考查等量异种点电荷电场的性质。由题图可知，图中的等势线并未相交，且二者连线的中垂线可以延伸到无穷远处，故该图为等量异种点电荷的等势线分布图。已知无穷远处电势为0，则正点电荷形成的电场，在点电荷附近电势大于0，负点电荷形成的电场，在点电荷附近电势小于0，已知Q点处为正电荷，则e点所在直线左侧电势大于0，右侧电势小于0，两电荷连线上电势从左向右降低，a、b两点在同一等势线上，电势相等且大于0，e点的电势为0，b点的电势高于d点的电势，故A、C错误；由电场的叠加原理可知，a、b两点电场强度大小相等，方向不同，故B错误；a点的电势高于c点，由EP＝φq可知，负电荷从a点移到c点时电势能增加，故D正确。

名师点拨　

等量同种点电荷与等量异种点电荷的电场线和等势线立体分布如图所示。等量异种点电荷电场中，正电荷到负电荷的连线上电场强度方向不变，大小先减小后增大，电势一直降低，两电荷连线中垂线上电势为零；等量同种点电荷电场中，两电荷连线上电场强度先减小后增大，中间位置电场强度为零，两侧对称位置场强大小相等，两电荷连线上电势先降低后升高(同为正电荷)或先升高后降低(同为负电荷)，连线中垂线上电势向两侧降低(同为正电荷)或向两侧升高(同为负电荷)。

〔变式训练1〕(多选)某带电金属棒所带电荷均匀分布，其周围的电场线分布如图所示，在金属棒的中垂线上的两条电场线上有A、B两点，电场中另有一点C。已知A点到金属棒的距离大于B点到金属棒的距离，C点到金属棒的距离大于A点到金属棒的距离，则(　BD　)

A．A点的电势高于B点的电势

B．B点的电场强度大于C点的电场强度

C．负电荷在A点的电势能小于其在B点的电势能

D．将正电荷沿AC方向从A点移动到C点，电场力做正功

[解析]　由题图结合电场线的特点可知，该题中金属棒两侧的电场是对称的。根据电场线的疏密表示电场强度的大小，可知B点的电场强度大于C点的电场强度，选项B正确；根据沿着电场线方向电势逐渐降低，可知A点电势低于B点电势，选项A错误；根据电势能与电势的关系可知，负电荷在A点的电势能大于其在B点的电势能，选项C错误；将正电荷沿AC方向从A点移动到C点，电场力做正功，选项D正确。

考点二　电势差与电场强度的关系

1．匀强电场中公式U＝Ed的两个推论

(1)如图甲，C点为线段AB的中点，则有φC＝。

(2)如图乙，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。

2．非匀强电场中公式U＝Ed的定性应用

(1)判断电场强度大小：根据E＝，等差等势面越密，电场强度越大。

(2)判断电势差的大小：根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大。

例2　(2021·河北邢台月考)如图所示，在纸面内有一直角三角形ABC，P1为AB的中点，P2为AP1的中点，BC＝2 cm，∠A＝30°。纸面内有一匀强电场，电子在A点的电势能为－5 eV，在C点的电势能为19 eV，在P2点的电势能为3 eV。下列说法正确的是(　D　)

A．A点的电势为－5 V

B．B点的电势为－19 V

C．该电场的电场强度方向由B点指向A点

D．该电场的电场强度大小为800 V/m

[解析]　本题考查电势和场强。由公式φ＝可知，φA＝＝＝5 V，同理φp2＝－3 V，φc＝－19 V，故A错误。A与P2间的电势差为U＝φA－φp2＝5 V－(－3 V)＝8 V，φB＝φA－4 U＝5 V－4×8 V＝－27 V，故B错误。A点到B点电势均匀降落，设P1与B的中点为P3，该点电势为φp3＝φA－3 U＝5 V－3×8 V＝－19 V＝φc，P3点与C点为等势点，连接两点的直线为等势线，如图虚线P3C所示。由几何关系知，P3C与AB垂直，所以电场线与AB平行，又因为电场线方向由电势高处指向电势低处，所以该电场的电场强度方向是由A点指向B点，故C错误。该电场的场强为E＝＝V/cm＝800 V/m。故D正确。

名师点拨　

根据匀强电场中几个点的电势确定电场强度的大小和方向：

根据匀强电场中几个点的电势确定匀强电场的电场强度的大小和方向是电势差和场强关系的应用，解答这类问题常用的方法是等分法。

(1)匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上间距相同的两点间电势差相等。如果把某两点间的距离等分成n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的，采用这种等分间距求电势问题的方法叫等分法。

(2)若已知电场中某几点的电势，求匀强电场的电场强度的大小和方向时，利用等分法先找出一条等势线，作等势线的垂线就是电场线所在的直线，由电势高的等势线指向电势低的等势线是电场强度的方向，再根据E＝(U是两等势面间的电势差，d是该两等势面间的距离)求电场强度的大小。

〔变式训练2〕(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是(　ABD　)

A．电场强度的大小为2.5 V/cm

B．坐标原点处的电势为1 V

C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV

D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV

[解析]　ac垂直于bc，沿ca和cb两方向的场强分量大小分别为E1＝＝2 V/cm、E2＝＝1.5 V/cm，根据矢量合成可知E＝2.5 V/cm，A项正确；根据在匀强电场中平行线上等距同向的两点间的电势差相等，有φO－φa＝φb－φc，得φO＝1 V，B项正确；电子在a、b、c三点的电势能分别为－10 eV、－17 eV和－26 eV，故电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，C项错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝(－17 eV)－(－26 eV)＝9 eV，D项正确。

考点三　电场中的功能关系

1．求电场力做功的几种方法

(1)由公式W＝Flcos α计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为W＝Eqlcos α。

(2)由WAB＝qUAB计算，此公式适用于任何电场。

(3)由电势能的变化计算：WAB＝EpA－EpB。

(4)由动能定理计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk。

2．电场中的功能关系

(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。

(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。

(3)除重力、弹簧弹力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。

(4)所有外力对物体所做的功等于物体动能的变化。

例3　(多选)如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平。a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)。b固定在M点，a从N点静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q(图中未画出)时速度为零。则小球a(　BC　)

A．从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小

B．从N到P的过程中，速率先增大后减小

C．从N到Q的过程中，电势能一直增加

D．从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量

[延伸思考]　(1)在[例3]中小球a从N到Q的过程中机械能守恒吗？

(2)在[例3]中，若把b球固定在圆心O点(其他条件不变)，小球a从N点静止释放，小球a到达何处时的速度为零？在此过程中机械能守恒吗？为什么？

[解析]　小球a从N点静止释放，过P点后到Q点速度为零，整个运动过程只有重力和库仑力做功，库仑力方向与小球a速度方向夹角一直大于90°，所以库仑力整个过程做负功。小球a从N到Q的过程中，库仑力增大，库仑力与重力的夹角从90°一直减小，所以它们的合力一直增大，故A错误。带电小球a受力如图所示，在靠近N点的位置，合力与速度夹角小于90°，在P点合力与速度夹角大于90°，所以小球a从N到P的过程中，速率应先增大后减小，故B正确。从N到Q的过程中，库仑力一直做负功，所以电势能一直增加，故C正确。根据能量守恒定律可知，P到Q的过程中，动能的减少量等于重力势能和电势能的增加量之和，故D错误。

[延伸思考]　

提醒：(1)机械能不守恒。

(2)小球a到达M点时速度为零，在此过程中机械能守恒，因为库仑力、轨道的支持力都不做功。

名师讲坛·素养提升

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

静电场中的四类图像问题

类型一　E－x图像

1．反映了电场强度随位移变化的规律。

2．E>0表示场强沿x轴正方向；E<0表示场强沿x轴负方向。

3．图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。

例4　(多选)静电场在x轴方向上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷(　BD　)

A．在x2和x4处电势能相等

B．由x1运动到x3的过程中电势能增大

C．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大

D．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小

[解析]　本题考查对电场强度E随坐标x的变化曲线的理解。正点电荷受力方向与电场强度方向相同，在0～x1区域电场力方向沿x轴正方向，x1～∞区域电场力方向沿x轴负方向，则x2～x4区域电场力方向沿x轴负方向，若点电荷由x2运动到x4，则电场力做负功，电势能增加，选项A错误。x1～x3区域电场力方向沿x轴负方向，点电荷由x1运动到x3的过程中，电场力做负功，电势能增大，选项B正确。电场力大小为F＝qE，x1～x4区域电场强度先增大后减小，所以带正电的点电荷由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小，选项D正确，C错误。

类型二　φ－x图像

1．电场强度的大小等于φ－x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零。

2．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。

3．在φ－x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。

例5　电荷量不等的两点电荷固定在x轴上坐标为－3L和3L的两点，其中坐标为3L处的电荷带正电，电荷量为Q。两点电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图所示，其中x＝L处电势最低，电场强度为零，x轴上M、N两点的坐标分别为－2L和2L，则下列判断正确的是    (　B　)

A．两点电荷一定为异种电荷

B．原点O处电场强度大小为

C．负检验电荷在原点O处受到方向向右的电场力

D．负检验电荷由M点运动到N点的过程，电势能先减小后增大

[解析]　本题考查对电势φ随坐标x的变化曲线的理解。由φ－x图像特点可知两点电荷均为正电荷，A错误；设坐标为－3L处的电荷的电荷量为Q′，x＝L处电势最低，电场强度为零，则＝＝0，得Q′＝4Q，故原点O处的电场强度大小为－＝，方向向右，负检验电荷在原点O处受到的电场力方向向左，B正确，C错误；由M点到N点电势先减小后增大，所以负检验电荷由M点运动到N点的过程，电势能先增大后减小，D错误。

类型三　Ep－x图像

1．描述电势能随位移变化的规律。

2．根据电势能的变化可以判断电场力做功的正负。

3．根据W＝ΔEp＝Fx，图像Ep－x的斜率为电场力。

例6　(多选)两个点电荷分别固定于x轴上，电荷量大小分别为Q和2Q，在它们形成的电场中，有一个试探电荷＋q沿x轴从＋∞向坐标原点O运动，其电势能Ep随x变化的关系如图所示，当x→＋∞时，电势能Ep→0；当x→0时，电势能Ep→＋∞。根据图像提供的信息可以确定    (　ACD　)

A．在x0处电场强度为零

B．在x轴上x>x0的部分电场方向向右

C．两个点电荷的电性

D．两个点电荷在x轴上的位置

[解析]　本题根据Ep－x图像考查电荷电性的判断、电场强度。Ep－x图像的切线斜率表示电场力的大小，E＝－＝·，由图像可知，x0处试探电荷所受电场力为零，电场强度为零，A正确。在x轴上从x0到＋∞电势能逐渐增大，说明电场力做负功，所以电场强度的方向向左，B错误。在0<x<x0的范围内，电场强度的方向向右，两个点电荷的合场强在x0处为0，说明两个点电荷一定是一正一负；当x→0时，电势能Ep→＋∞，说明x＝0处一定是正电荷，进而确定出负电荷的位置，C、D正确。

类型四　v－t图像

1．由v－t图像中图线的斜率变化分析带电粒子的加速度a的大小变化；

2．根据牛顿第二定律a＝＝，判断场强E的大小变化；

3．根据v－t图像分析带电粒子做加速运动还是减速运动，结合带电粒子的电性分析场强的方向；

4．由场强的大小和方向分析电场的其他性质，如电场线、等势面的分布及电势的变化等。

例7　(2021·安徽天柱山中学月考)(多选)如图甲所示，Q1、Q2是两个固定的点电荷，一带正电的试探电荷仅在电场力作用下以初速度v0沿两点电荷连线的中垂线从a点开始向上做直线运动，其v－t图像如图乙所示，下列说法正确的是    (　BD　)

A．两点电荷一定都带负电，但电荷量不一定相等

B．t1时刻试探电荷所在位置电场强度一定最大，t1时刻与t2时刻试探电荷在同一位置

C．试探电荷做往复运动，0～t2与t2～t4时间内加速度方向相反

D．t2时刻试探电荷的电势能最大，但加速度不为零

[解析]　本题考查带电粒子在等量点电荷形成的电场中的运动分析。由题图乙可知，粒子先向上做减速运动，再反向做加速运动，且向上运动过程加速度先增大后减小，粒子仅受电场力，则电场力应向下，故两个固定的点电荷均带负电，由于电场线只能沿竖直方向，说明两点电荷带等量电荷，故A错误；由题图乙可知，t1时刻加速度最大，则场强E最大，根据运动的对称性知试探电荷t3时刻回到t1时刻的位置，故B正确；v－t图线的斜率表示加速度，由题图乙可知0～t2与t2～t4时间内加速度方向相同，故C错误；0～t2时间内，电场力做负功，电势能增大，故t2时刻试探电荷的电势能最大，但此时试探电荷仍受电场力作用，则加速度不为零，故D正确。

2年高考·1年模拟

2 NIAN GAO KAO 1 NIAN MO NI

1．(2020·课标Ⅱ，20)(多选)如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则(　ABC　)

A．a、b两点的场强相等

B．a、b两点的电势相等

C．c、d两点的场强相等

D．c、d两点的电势相等

[解析]　本题考查圆环形带电体的电场与电势分布。由题图可知，带电圆环上半部分带正电，下半部分带负电，电势由上至下降低，在圆环上关于ab对称地截取两小段，ab连线直径上的点为等量异种点电荷电场的连线中点，可知ab连线为等势线，电势相等，故B正确；同理可知，c、d两点并不在等势线上，故D错误；由电场叠加原理和对称规律可知，a、b两点电场强度大小相等，方向相同，同理可知，c、d两点电场强度大小相等，方向相同，故A、C正确。

2．(2020·课标Ⅲ，21)(多选)如图，∠M是锐角三角形PMN最大的内角，电荷量为q(q>0)的点电荷固定在P点。下列说法正确的是(　BC　)

A．沿MN边，从M点到N点，电场强度的大小逐渐增大

B．沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小

C．正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大

D．将正电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负

[解析]　本题考查点电荷周围电场的性质、电场力和电势能的分析。根据几何关系可知，沿MN边从M点到N点，线段上的点到P点的距离先减小后增大，且PM<PN。根据E＝可知，沿MN边，从M点到N点，电场强度的大小先增大后减小，故A错误；根据越靠近正电荷电势越高可知，沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小，且有φM>φN，故B正确；根据正电荷在电势高的位置电势能大可知，正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大，将正电荷从电势高处移动到电势低处，电场力做正功，故C正确，D错误。

3．(2020·山东，10)(多选)真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等。一个带负电的试探电荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态。过O点作两正电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d，如图所示。以下说法正确的是(　BD　)

A．a点电势低于O点

B．b点电势低于c点

C．该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能

D．该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能

[解析]　由题意可知O点合场强为零，根据同种电荷之间电场线的分布可知aO之间电场线由a到O，故a点电势高于O点电势，故A错误；根据同种电荷电场线分布可知b点电势低于c点电势，故B正确；根据电场线分布可知负电荷从a到b电场力做负功，电势能增加，即该试探电荷在a点的电势能小于在b点的电势能，故C错误；根据电场线分布可知负电荷从c点到d点电场力做负功，电势能增加，即该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能，故D正确。故选BD。

4．(2020·江苏单科，9)(多选)如图所示，绝缘轻杆的两端固定带有等量异号电荷的小球(不计重力)。开始时，两小球分别静止在A、B位置。现外加一匀强电场E，在静电力作用下，小球绕轻杆中点O转到水平位置。取O点的电势为0。下列说法正确的有(　AB　)

A．电场E中A点电势低于B点

B．转动中两小球的电势能始终相等

C．该过程静电力对两小球均做负功

D．该过程两小球的总电势能增加

[解析]　项沿着电场线方向，电势降低，A正确；由于O点的电势为0，根据匀强电场的对称性φA＝－φB，又qA＝－qB，Ep＝qφ，所以EPA＝EPB，B正确；A、B位置的小球受到的静电力分别水平向右、水平向左，绝缘轻杆顺时针旋转，两小球静电力对两小球均做正功，电场力做正功，电势能减少，CD错误；故选AB。