人教版高考物理一轮复习第5章机械能第1讲功和功率学案

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第1讲 功和功率
知识梳理·双基自测
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理
知识点1 功
1．定义：物体受到力的作用，并在力的方向上发生一段位移，就说力对物体做了功。
2．做功的两个必要条件：
力和物体在力的方向上发生的位移。
3．公式：W＝Flcs α，其中F是恒力，l是位移，α是力F和位移l的夹角。
注意：公式可理解为F·(lcs α)，也可理解为(Fcs α)·l
4．单位：焦耳(J)。
5．功是标量，没有方向，但有正、负。根据W＝Flcs α可知：
(1)当0°≤α<90°时，力对物体做正功，是动力，物体获得动能。
(2)当90°<α≤180°时，力对物体做负功(如－2 J，也称物体克服这个力做了2 J的功)，是阻力，物体向外转移动能。
(3)当α＝90°时，力对物体不做功。
可见，正功、负功表示对物体做功的力是动力或阻力，以及力对物体做功引起能量的转化。
思考：一阵风水平吹过，将熟透的苹果从2 m高的枝头吹落。若苹果重2 N，风力恒为3 N，下落的水平位移为1 m。
(1)苹果下落过程中，重力和风力各做多少功？
(2)重力和风力对苹果做的总功能不能用平行四边形定则来求？若不能应该怎么求？所做总功为多少？总结出两个力的总功的求法。
[答案] (1)重力做功为4 J，风力做功为3 J。(2)不能，各力做功的代数和为总功，总功为7 J。
知识点2 功率
1．公式
(1)P＝eq \f(W,t)，P为时间t内的平均功率。
(2)P＝Fvcs α，α为F与v的夹角。
①若v为平均速度，则P为平均功率。
②若v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
2．物理意义：描述做功的快慢，功率大则做功快，功率小则做功慢。
3．额定功率：机器正常工作的功率，一般在机器的铭牌上标明。
4．实际功率：机器实际工作时输出的功率。要求小于等于额定功率。
思考：汽车以不同方式启动，一次以恒定功率启动，一次匀加速启动。
(1)用公式P＝Fv研究汽车启动问题时，力F是什么力？
(2)以恒定功率启动时，汽车的加速度变化吗？做什么运动？
(3)汽车上坡的时候，司机师傅必须换挡，其目的是什么？
[答案] (1)牵引力 (2)变化，做加速度减小的加速运动 (3)减小速度，增大牵引力。
双基自测
一、堵点疏通
1．一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。( √ )
2．滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定不做功。( × )
3．作用力做正功时，反作用力一定做负功。( × )
4．据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比。( √ )
5．汽车上坡的时候，司机必须换挡，其目的是减小速度，得到较小的牵引力。( × )
二、对点激活
1．如图所示，力F大小相等，物体沿水平面运动的位移l也相同，下列哪种情况F做功最少( D )
[解析] 由公式W＝Flcs α可知，力F对物体所做的功决定于该力及在F方向上发生的位移，与所受其他力无关，且cs α越小，力F做的功越少，故D正确。
2．如图所示，物块A、B在外力F的作用下一起沿水平地面做匀速直线运动的过程中，下列关于A对地面的滑动摩擦力做功和B对A的静摩擦力做功的说法正确的是( C )
A．静摩擦力做正功，滑动摩擦力做负功
B．静摩擦力不做功，滑动摩擦力做负功
C．静摩擦力做正功，滑动摩擦力不做功
D．静摩擦力做负功，滑动摩擦力做正功
[解析] A对地面虽然有摩擦力，但在力的作用下地面没有发生位移，所以滑动摩擦力不做功，B对A的静摩擦力向右，A的位移也向右，所以该静摩擦力做正功，故C正确。
3．在光滑的水平面上，用一水平拉力F使物体从静止开始移动x，平均功率为P，如果将水平拉力增加为4F，使同一物体从静止开始移动x，平均功率为( D )
A．2P B．4P
C．6P D．8P
[解析] 设第一次运动时间为t，则其平均功率表达式为P＝eq \f(Fx,t)；第二次加速度为第一次的4倍，由x＝eq \f(1,2)at2可知时间为eq \f(t,2)，其平均功率为eq \f(4Fx,\f(t,2))＝eq \f(8Fx,t)＝8P，选项D正确。
核心考点·重点突破
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
考点一 功的分析与计算
1．判断力是否做功及做正、负功的方法
2．计算功的方法
(1)恒力做的功
直接用W＝Flcs α计算或用动能定理
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcs α求功，尤其适用于已知质量m和加速度α的情况。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化。
(3)变力做的功
①应用动能定理求解。
②用W＝Pt求解，其中变力的功率P不变。
③当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积。如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等。
④有些变力做功问题通过转换研究对象，可转换为恒力做功，用W＝Flcs α求解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功问题。
⑤在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、梯形、圆等规则的几何图形)。
恒力功的计算
例1 如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是( A )
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L
[解析] 本题考查做功和功率问题。根据功的公式可知，人对车的推力做功W＝FL，故A正确；在水平方向上，由牛顿第二定律可知车对人的作用力为F′＝ma，由牛顿第三定律可知人对车的作用力为－ma，人对车做功W＝－maL，故B错误；人水平方向受到的合力为ma，竖直方向上车对人还有支持力，故车对人的作用力为N＝eq \r(ma2＋mg2)＝meq \r(a2＋g2)，故C错误；对人由牛顿第二定律可得f－F＝ma，则f＝ma＋F，车对人的摩擦力做功为W＝fL＝(F＋ma)L，故D错误。
变力功的计算
例2 如图(甲)所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随坐标x的变化关系如图(乙)所示，图线为半圆。则小物块运动到x0处时F做的总功为( C )
A．0 B．eq \f(1,2)Fmx0
C．eq \f(π,4)Fmx0 D．eq \f(π,4)xeq \\al(2,0)
[解析] 由于F－x图线与x轴包围的面积在数值上等于F做的功。图线为半圆，由图线可知在数值上Fm＝eq \f(1,2)x0，故W＝eq \f(1,2)πFeq \\al(2,m)＝eq \f(1,2)π·Fm·eq \f(1,2)x0＝eq \f(π,4)Fmx0，选项C正确。
〔变式训练1〕(2020·江西丰城九中段考)20世纪五六十年代，人们通常通过“拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用。如图所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F，方向与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r，磨盘绕轴缓慢转动，则在转动一周的过程中推力F做的功为( B )
A．0 B．2πrF
C．2Fr D．－2πrF
[解析] 本题使用微元法考查变力做功问题。由题可知推力的大小始终为F，方向与磨杆始终垂直，即其方向与瞬时速度方向相同，即为圆周切线方向，故推力对磨盘所做的功等于推力的大小与推力作用点沿圆周运动弧长的乘积，由题意知，磨转动一周，弧长L＝2πr，所以拉力所做的功W＝FL＝2πrF，故选项B正确，选项A、C、D错误。
考点二 功率的计算
计算功率的方法
1．平均功率的计算方法
(1)利用 eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)。
(2)利用 eq \x\t(P)＝F·eq \x\t(v)cs θ，其中eq \x\t(v)为物体运动的平均速度，F为恒力。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝F·vcs θ，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度 v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。
例3 (多选)质量为m的物体从距地面H高处自由下落，经历时间t，则下列说法中正确的是( ACD )
A．t秒内重力对物体做功为eq \f(1,2)mg2t2
B．t秒内重力的平均功率为mg2t
C．eq \f(t,2)秒末重力的瞬时功率与t秒末重力的瞬时功率之比为1︰2
D．前eq \f(t,2)秒内重力做功的平均功率与后eq \f(t,2)秒内重力做功的平均功率之比为1︰3
[解析] 物体自由下落，t秒内物体下落h＝eq \f(1,2)gt2，W＝mgh＝eq \f(1,2)mg2t2，故A正确；P＝eq \f(W,t)＝eq \f(\f(1,2)mg2t2,t)＝eq \f(1,2)mg2t，故B错误；从静止开始自由下落，前eq \f(t,2)秒末与后eq \f(t,2)秒末的速度之比为1︰2(因v＝gt∝t)，又有P＝Fv＝mgv∝v，故前eq \f(t,2)秒末与后eq \f(t,2)秒末功率瞬时值之比为P1︰P2＝1︰2，C正确；前eq \f(t,2)秒与后eq \f(t,2)秒下落的位移之比为1︰3，则重力做功之比为1︰3，故重力做功的平均功率之比为1︰3，D正确。
名师点拨 计算功率的基本思路
(1)首先要弄清楚是平均功率还是瞬时功率。
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。求解瞬时功率时，如果F与v不同向，可用力F乘以F方向的分速度，或速度v乘以速度方向的分力求解。
〔变式训练2〕如图所示，四个相同的小球A、B、C、D，其中A、B、C位于同一高度h处，A做自由落体运动，B沿光滑斜面由静止滑下，C做平抛运动，D从地面开始做斜抛运动，其运动的最大高度也为h。在每个小球落地的瞬间，其重力的功率分别为P4、PB、PC、PD。下列关系式正确的是( C )
A．PA＝PB＝PC＝PD
B．PA＝PC>PB＝PD
C．PA＝PC＝PD>PB
D．PA>PC＝PD>PB
[解析] A做自由落体运动，C做平抛运动、D从h高处下落过程竖直方向做自由落体运动，故A、C、D落地时竖直方向的速度大小相同，故落地时的功率P＝mgv相同，B沿斜面下滑，下滑到斜面底端的速度跟A落地时的速度相同，但速度方向与重力方向成一定的夹角，故功率小于A的功率，故C项正确。
考点三 机车启动问题
1．两种启动方式的比较
2．三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m＝eq \f(P,Fmin)＝eq \f(P,F阻)(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝eq \f(P,F)(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。
例4 在港珠澳大桥6.7千米海底隧道的两端各建有一个人工岛，两人工岛及隧道路面可简化成如图所示，各部分的长度已在图中标出，其中倾斜路面与水平路面之间有一小段圆弧连接，重力加速度为g。
(1)假设汽车在倾斜路面上运动所受阻力和在水平路面上运动所受阻力相等。若汽车关闭发动机后刚好能够从左侧倾斜路面向下匀速运动，求汽车关闭发动机以速度v0从左侧倾斜路面的最高点向下运动后，能够在水平路面上运动的距离s(s(2)已知质量为m、额定功率为P的汽车在水平路面上行驶的最大速度为vm1，若汽车在水平路面上以加速度a匀加速启动，求汽车做匀加速运动的时间；
(3)已知质量为m、额定功率为P的汽车在图中右侧倾斜路面上向上行驶的最大速度为vm2，求汽车以额定功率在右侧倾斜路面上向上行驶速度为v1(v1[解析] (1)设左侧倾斜路面与水平路面的夹角为θ，由共点力的平衡条件可得汽车在左侧倾斜路面上运动所受的阻力大小f1＝mgsin θ，sin θ＝eq \f(h,\r(h2＋L\\al(2,1)))
汽车运动到水平路面时速度为v0，由动能定理得－f1s＝0－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，联立解得s＝eq \f(v\\al(2,0)\r(h2＋L\\al(2,1)),2gh)。
(2)汽车启动过程中达到最大速度vm1时，牵引力等于阻力，则P＝f2vm1，解得阻力f2＝eq \f(P,vm1)；
设在匀加速启动过程中，汽车做匀加速运动的牵引力为F，达到额定功率时的速度为v、时间为t，则P＝Fv，v＝at，F－f2＝ma
联立解得t＝eq \f(P,\f(P,vm1)＋maa)＝eq \f(Pvm1,P＋mavm1a)。
(3)由P＝F阻vm2(F阻包含重力沿斜面向下的分力)
解得阻力F阻＝eq \f(P,vm2)
当汽车速度为v1时牵引力F1＝eq \f(P,v1)
由牛顿第二定律有F1－F阻＝ma1
联立解得a1＝eq \f(P,mv1)－eq \f(P,mvm2)。
[答案] (1)eq \f(v\\al(2,0)\r(h2＋L\\al(2,1)),2gh) (2)eq \f(Pvm1,P＋mavm1a) (3) eq \f(P,mv1)－eq \f(P,mvm2)
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
功和功率计算中的两类易错题
一、滑轮两侧细绳平行
例5 如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在拉力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( C )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率为42 W
D．4 s内F的平均功率为42 W
[解析] 由题图乙可知，v－t图像的斜率表示物体加速度的大小，即a＝0.5 m/s2，由2F－mg＝ma可得：F＝10.5 N，A、B均错误；4 s末F的作用点的速度大小为vF＝2v物＝4 m/s，故4 s末F的功率为P＝FvF＝42 W，C正确；4 s内物体上升的高度h＝4 m，力F的作用点的位移l＝2h＝8 m，拉力F所做的功W＝Fl＝84 J，故平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝21 W，D错误。
名师点拨
(1)不计摩擦和滑轮质量时，滑轮两侧细绳拉力大小相等。
(2)通过定滑轮连接的两物体，位移大小相等。
(3)通过动滑轮拉动物体时，注意物体与力的作用点的位移、速度、作用力间的大小关系。
二、滑轮两侧细绳不平行
例6 一木块前端有一滑轮，绳的一端系在右方固定处，水平穿过滑轮，另一端用恒力F拉住，保持两股绳之间的夹角θ不变，如图所示，当用力F拉绳使木块前进s时，力F对木块做的功(不计绳重和滑轮摩擦)是( B )
A．Fscs θ B．Fs(1＋cs θ)
C．2Fscs θ D．2Fs
[解析] 方法一：如图所示，力F作用点的位移l＝2scseq \f(θ,2)，
故拉力F所做的功W＝Flcs α＝2Fscs2eq \f(θ,2)＝Fs(1＋cs θ)。
方法二：可看成两股绳都在对木块做功W＝Fs＋Fscs θ＝Fs(1＋cs θ)，则B正确。
名师点拨
对于通过动滑轮拉物体，当拉力F的方向与物体的位移方向不同时，拉力F做的功可用如下两种思路求解：
(1)用W＝Flcs α求，其中l为力F作用点的位移，α为F与l之间的夹角。
(2)用两段细绳拉力分别所做功的代数和求解。
2年高考·1年模拟
2 NIAN GAO KAO 1 NIAN MO NI
1．(2020·江苏单科)质量为1.5×103 kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20 m/s，受到的阻力大小为1.8×103 N。此时，汽车发动机输出的实际功率是( C )
A．90 W B．30 kW
C．36 kW D．300 kW
[解析] 由于汽车在水平路面上匀速行驶，其受到的合外力为0，即汽车的牵引力F等于其受到的阻力f，F＝f，则汽车发动机输出的实际功率P＝Fv＝fv＝36 kW，C正确。
2．(2020·天津)(多选)复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力F保持不变。动车在时间t内( BC )
A．做匀加速直线运动
B．加速度逐渐减小
C．牵引力的功率P＝Fvm
D．牵引力做功W＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
[解析] 对动车受力分析，由牛顿第二定律可得eq \f(P,v)－F＝ma，可知a随v增大而减小，动车做加速度减小的加速运动，故A选项错误、B选项正确；当动车达到最大速度vm时，牵引力等于阻力F，故P＝Fvm，C选项正确；由动能定理可得W－Wf＝
eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，故选项D错误。
3．(2020·河北冀州中学期中)如图所示，两个完全相同的小球分别从水平地面上A点和A点正上方的O点抛出，O点抛出的小球做平抛运动，A点斜抛出的小球能到达的最高点与O点等高，且两球同时落到水平面上的B点，关于两球的运动，下列说法正确的是( C )
A．两小球应该是同时抛出的
B．两小球着地速度大小相等
C．两小球着地前瞬间，重力的瞬时功率相等
D．两小球做抛体运动过程中重力做功相等
[解析] 从A点抛出的小球做斜抛运动，设O点的高度为h，则从A点抛出的小球的运动时间为t1＝2 eq \r(\f(2h,g))，从O点抛出的小球做平抛运动，小球的运动时间为t2＝ eq \r(\f(2h,g))，两小球同时落地，A点处小球先抛出，则选项A错误；两小球在竖直方向上只受重力，则在B点有vy＝eq \r(2gh)，在水平方向，根据x＝v0t可知从O点抛出小球的水平初速度是从A点抛出小球的水平初速度的2倍，根据vt＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))可知两小球着地时速度大小不相等，根据Py＝mgvy，可知小球着地前瞬间，重力的瞬时功率相等，故选项C正确，B错误；根据WG＝mgh可得从A点抛出的小球重力做功为零，从O点抛出的小球重力做功为mgh，故选项D错误。故选C项。
课程标准
命题热点
1．理解功和功率。了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义。
2．理解动能和动能定理。能用动能定理解释生产生活中的现象。
3．理解重力势能，知道重力势能的变化与重力做功的关系。定性了解弹性势能。
4．通过实验，验证机械能守恒定律。理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题。
5．了解自然界中存在多种形式的能量。知道不同形式的能量可互相转化，在转化过程中能量总量保持不变，能量转化是有方向性的。
6．知道利用能量是人类生存和社会发展的必要条件之一。
7．知道合理使用能源的重要性，具有可持续发展观念，养成节能的习惯。
(1)做功和功率问题。
(2)动能定理的应用。
(3)机械能守恒的条件。
(4)机械能守恒定律与平抛运动、圆周运动的综合。
(5)功能关系与能量守恒。
判断根据
适用情况
根据力和位移的方向的夹角判断
常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断
常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断
常用于变力做功的判断
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图和v－t图
OA
段
过程
分析
v↑⇒F＝eq \f(P不变, v)↓
⇒a＝eq \f(F－F阻,m)↓
a＝eq \f(F－F阻,m)不变⇒
F不变eq \(⇒,\s\up6(v↑))P＝F v↑直到P额＝Fv 1
运动
性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝eq \f(v 1,a)
AB
段
过程
分析
F＝F阻⇒a＝0⇒
v m＝eq \f(P,F阻)
v↑⇒F＝eq \f(P额, v)↓⇒
a＝eq \f(F－F阻,m)↓
运动
性质
以v m匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
无
F＝F阻⇒a＝0⇒
以vm＝eq \f(P额,F阻)匀速运动