人教版高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第1讲曲线运动运动的合成与分解学案

第四章　曲线运动　万有引力与航天

课标解读

第1讲　曲线运动　运动的合成与分解

知识梳理·双基自测

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理

知识点1　曲线运动

1．速度方向

质点在某一点的速度方向，沿曲线上该点的切线方向。

2．运动性质

做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度。

注意：速度改变的运动是变速运动；加速度不变的运动是匀变速运动，匀变速运动分为匀变速直线运动和匀变速曲线运动，；加速度改变的运动是变加速运动，与速度大小如何改变无关。

3．曲线运动的条件：

(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。

(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。

思考：当物体的初速度v0和所受的外力F分别满足下列问题中所给定的条件时，物体的运动情况将会是怎样的？

①v0＝0，F＝0。静止运动

②v0≠0，F＝0。匀速直线运动

③v0≠0，F≠0且恒定，两者方向相同。匀加速直线运动

④v0≠0，F≠0且恒定，两者方向相反。匀减速直线运动

⑤v0≠0，F≠0且恒定，两者方向不在一条直线上。匀变速曲线运动

⑥v0≠0，F≠0不恒定，且大小、方向都随着时间变化。变速曲线运动。

知识点2　运动的合成与分解

1．分运动和合运动的关系

(1)等时性、独立性、等效性

各分运动与合运动总是同时开始，同时结束。经历的时间一定相等；各分运动是各自独立的，不受其他分运动的影响；各分运动的叠加与合运动具有相同的效果。

(2)合运动的性质是由分运动的性质决定的

2．运动的合成与分解

(1)运动的合成

由几个分运动求合运动。合成的方法是平行四边形定则。

(2)运动的分解

已知合运动求分运动，分解时应根据运动的效果确定两分运动的方向，然后由平行四边形定则确定大小，分解时也可按正交分解法分解，运动的分解与合成是互逆运算。

思考：如图所示，在军事演习中，飞机常常一边匀加速收拢绳索提升战士，一边沿着水平方向匀速飞行。

(1)战士在水平方向上和竖直方向上分别做什么运动？

(2)战士的合速度的大小、合位移的大小如何计算？

[答案]　(1)水平方向做匀速直线，竖直方向做匀加速直线

(2)求出分速度、分位移，再利用平行四边形定则求合速度、合位移。

双基自测

一、堵点疏通

1．曲线运动一定是变速运动。(　√　)

2．曲线运动的速度大小可能不变。(　√　)

3．曲线运动的加速度可以为零。(　×　)

4．曲线运动的加速度可以不变。(　√　)

5．合运动不一定是物体的实际运动。(　×　)

6．合运动的速度一定大于分运动的速度。(　×　)

二、对点激活

1．(2021·安徽皖南八校联考)对于做曲线运动的物体，下列说法正确的是(　B　)

A．受合力可能为零

B．加速度可能保持不变

C．一定受到变力的作用

D．加速度方向可能和运动方向相同

[解析]　本题考查物体做曲线运动的条件。物体所受合力为零，物体保持静止或做匀速直线运动，故A错误；物体做曲线运动的条件是合力方向与速度方向不在同一条直线上，即加速度方向与速度方向不在同一条直线上，该合力可以是变力，也可以是恒力，即加速度可能保持不变，如平抛运动，故B正确，C、D错误。

2．某人骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速为4 m/s，那么，骑车人感觉到的风向

和风速为(　D　)

A．西北风　风速为4 m/s

B．西北风　风速为4 m/s

C．东北风　风速为4 m/s

D．东北风　风速为4 m/s

[解析]　以骑车人为参考系，人向正东方向骑行，感觉风刮向正西，风速大小为v1＝4 m/s，当时有正北风，人感觉到的风刮向为正南，风速为v2＝4 m/s，如图所示，可求得人感觉到的风向为东北风，风速为v＝4m/s，D正确。

3．一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1＋ΔF，则质点以后(　B　)

A．一定做匀变速直线运动

B．在相等时间内速度的变化一定相等

C．可能做匀速直线运动

D．可能做变加速曲线运动

[解析]　在互成锐角的恒力F1和F2作用下，质点由静止开始运动，做匀加速直线运动。当保持F1，F2方向不变，F1大小突然增大到F1＋ΔF，则此时合力的方向与速度方向不共线，质点做曲线运动。由于合力恒定，所以质点做匀变速曲线运动，加速度是定值，所以在相等的时间内速度的变化一定相等，故B正确，A，C，D错误。

核心考点·重点突破

HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO

考点一　合运动的性质和轨迹

1．运动类型的判断

(1)判断物体是否做匀变速运动，要分析合力是否为恒力。

(2)判断物体是否做曲线运动，要分析合力方向是否与速度方向成一定夹角。

①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；

②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；

③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。

2．合运动的性质和轨迹的判断

合运动的性质和轨迹，由两个分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定。

(1)根据加速度判定合运动的性质：若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。

(2)根据合加速度的方向与合初速度的方向判定合运动的轨迹：若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上则为直线运动，否则为曲线运动。

(3)合力(或合加速度)方向与轨迹的关系

物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力(或合加速度)方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力(或合加速度)方向指向曲线的凹侧。

例1　(多选)如图所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，若使三角板沿刻度尺向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动，下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断，其中正确的有(　AD　)

A．笔尖留下的痕迹是一条抛物线

B．笔尖留下的痕迹是一条倾斜的直线

C．在运动过程中，笔尖的速度方向始终保持不变

D．在运动过程中，笔尖的加速度方向始终保持不变

[解析]　笔尖水平方向是匀速直线运动，竖直方向是初速度为零的匀加速直线运动，故笔尖做匀变速曲线运动，其轨迹是抛物线，A、D正确。

名师点拨　两个直线运动的合运动性质的判断

根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动，具体分以下几种情况：

〔变式训练1〕(2020·山东实验中学月考)(多选)一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)。关于物体的运动，下列说法正确的是(　BC　)

A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动

B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动

C．物体运动的轨迹是一条直线

D．物体运动的轨迹是一条曲线

[解析]　对应位移时间公式x＝v0t＋at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度v0x＝－4 m/s，v0y＝6 m/s；加速度ax＝－4 m/s2，ay＝6 m/s2。物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故B正确；题中分运动的初速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度和加速度数值和方向也是相同的，故合运动一定是匀加速直线运动，故C正确，D错误。

考点二　运动的合成与分解的应用

1．合运动和分运动的关系

(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)。

(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。

(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。

(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。

2．运动的合成与分解的运算法则

运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。

例2　(2021·重庆垫江中学月考)质量为0.2 kg的物体在水平面上运动，它的两个正交分速度随时间变化的图线分别如图甲、乙所示，由图可知(　B　)

A．第4 s末物体的速度大小为2 m/s

B．最初4 s内物体的位移大小为8 m

C．从开始至第6 s末物体一直做曲线运动

D．最初4 s内物体做直线运动，之后的2 s内物体做曲线运动

[解析]　本题考查运动的合成。由题图可知，第4 s末，vx＝4 m/s，vy＝2 m/s，根据矢量的合成法则可知，第4 s末物体的速度大小v＝＝ m/s＝2 m/s，故A错误。v－t图线与时间轴围成的面积表示物体运动的位移，最初4 s内物体在x方向上的位移x＝×4×4 m＝8 m，在y方向上的位移y＝2×4 m＝8 m，所以最初4 s内物体的位移大小为＝8 m，故B正确。开始时物体的初速度方向沿y方向，加速度方向沿x方向，初速度方向和加速度方向不在同一条直线上，所以物体做曲线运动，第4 s末物体的速度方向与x方向夹角的正切值为＝＝，4 s后物体在x、y方向的加速度大小分别为ax＝ m/s2＝2 m/s2，ay＝ m/s2＝1 m/s2，加速度方向与x方向夹角的正切值为＝，所以速度方向与加速度方向在同一条直线上，所以4～6 s物体做直线运动，故C、D错误。

考点三　绳、杆上速度的分解(牵连速度问题)

解决绳、杆上速度的分解问题，非常重要的一点是清楚绳或杆的特点：(1)不计质量；(2)不可伸长；(3)沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。

解题的一般思路与方法：

合运动→绳拉物体的实际运动速度v

分运动→

方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则。

常见的模型如图所示。

例3　 质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，重力加速度为g。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图)，下列判断正确的是(　B　)

A．P的速率为v

B．P的速率为vcos θ2

C．绳的拉力等于mgsin θ1

D．绳的拉力小于mgsin θ1

[解析]　将小车速度沿绳子和垂直绳子方向分解为v1、v2，P的速率vP＝v1＝vcos θ2，A错误，B正确；小车向右做匀速直线运动，θ2减小，P的速率增大，绳的拉力大于mgsin θ1，C、D错误。

〔变式训练2〕(2020·陕西宝鸡月考)如图所示的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆AB、OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB在竖直面内的圆周

运动可通过连杆AB使滑块在水平横杆上左右滑动。已知OB杆长为L，绕O点沿逆时针方向匀速转动且角速度为ω，当连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β时，滑块的水平速度大小为(　D　)

A．　 B．

C．　 D．

[解析]　设滑块的速度大小为v，A点的速度方向沿水平方向，如图将A点的速度进行分解，根据运动的合成与分解可知，A点在沿杆AB方向的分速度为vA分＝vcos α，B点做圆周运动，实际速度是圆周运动的线速度，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直于杆方向的分速度，如图，设B的线速度为v′，设v′与杆AB夹角为θ，由几何知识可知θ＝β－，则vB分＝v′·cos θ＝v′cos(90°－β)＝v′sin β，v′＝ωL，二者沿杆AB方向的分速度是相等的，即vA分＝vB分，联立可得v＝，故D正确。

名师讲坛·素养提升

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

“小船过河”模型

一条宽为L的河流，水流的速度为v1，船在静水中的速度为v2，船从河的一边渡到对岸。船过河的过程同时参与了两个运动，即船相对于水的运动和随水流的运动，船的实际运动为合运动。船在静水中的速度v2方向取决于船头朝向，船的实际运动方向取决于合速度方向。

1．船过河的最短时间

如图甲所示，设船头斜向上游与河岸成θ角，船在垂直于河岸方向的速度为：v⊥＝v2sin θ，渡河所需时间为：t＝＝，当θ＝90°时，t最小。所以当船头垂直于河岸渡河时，渡河所需时间最短，最短时间为t＝。

2．船过河的最短航程

(1)当v2>v1时，如图乙所示，为了使船过河的航程最短，必须使船的合速度v方向与河岸垂直，则船头指向上游，与河岸成一定的角度θ，cos θ＝。由于0<cos θ<1，因此只有在v2>v1时，船才可以垂直河岸过河。所以当v2>v1时，船头与上游河岸成θ＝arccos的角，船过河的航程最短，最短航程为L。

(2)当v2<v1时，不论船头方向如何，船都会被冲向下游，不可能垂直河岸过河。如图丙所示，设船头与上游河岸成θ角，合速度与下游河岸成α角。由图可知：α角越大，航程越短。以v1的矢尖为圆心、以v2的大小为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，此时cos θ＝。所以当v2<v1时，船头与上游河岸成θ＝arccos的角，船过河的最短航程为：＝L。

(3)当v2＝v1时，最短航程趋近于L。

例4　有甲、乙两只船，它们在静水中航行速度分别为v1和v2，现在两船从同一渡口向河对岸开去，已知甲船想用最短时间渡河，乙船想以最短航程渡河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同。则甲、乙两船渡河所用时间之比为(　C　)

A．　 B．

C．　 D．

[解析]　当v1与河岸垂直时，甲船渡河时间最短；乙船船头斜向上游开去，才有可能航程最短，由于甲、乙两只船到达对岸的地点相同(此地点并不在河正对岸)，可见乙船在静水中速度v2比水的流速v0要小，要满足题意，则如图所示。设河宽为d，甲用时t1＝，乙用时t2＝，则＝，又cos θ＝，tan θ＝，解得＝。

〔变式训练3〕(2020·山东潍坊模拟)如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法正确的是(　B　)

A．小船渡河的轨迹为直线

B．小船在河水中的最大速度是5 m/s

C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度

D．小船渡河的时间是160 s

[解析]　小船在南北方向上为匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，小船的合运动是曲线运动，A错误；当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大为3 m/s，此时小船的合速度最大，最大值vm＝5 m/s，B正确；小船在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m处的速度，C错误；小船的渡河时间t＝＝200 s，D错误。

2年高考·1年模拟

2 NIAN GAO KAO 1 NIAN MO NI

1．(2020·山东临沂期末)如图所示，某河流中水流速度大小恒为v1，A处的下游C处是个旋涡，A点和旋涡的连线与河岸的最大夹角为θ。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为(　A　)

A．v1sin θ　 B．v1cos θ

C．v1tan θ　 D．

[解析]　

如图所示，设小船航行时在静水中的速度为v2，当v2垂直A点与旋涡的连线时速度最小，由三角函数关系可知v2＝v1sin θ，故A正确，B、C、D错误。故选A。

2．(2020·浙江月考)(多选)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，并放入一红蜡块R(R视为质点)。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正向做初速度为零的匀加速直线运动，合速度的方向与y轴夹角为α，则红蜡块R的(　BD　)

A．分位移y与x成正比

B．分位移y的平方与x成正比

C．合速度v的大小与时间t成正比

D．tan α与时间t成正比

[解析]　设运动的时间为t，由运动学公式可得y＝v0t，x＝at2，联立可得x＝，选项A错误，B正确；将蜡块的速度进行分解如图所示，由图中几何关系可得v＝，α逐渐变大，v与t不成正比，at＝v0tan α，a和v0为定值，则tan α与t成正比，选项C错误，D正确。

3．(2020·河南郑州月考)如图所示，开始时A，B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动。下列vB－t图像中，最接近物体B的运动情况的是(　A　)

[解析]　将与物体A相连的绳端速度v分解为沿绳伸长方向的速度v1和垂直于绳方向的速度v2，则物体B的速度vB＝v1＝vsin θ，在t＝0时刻θ＝0°，vB＝0，C项错误；之后随θ增大，sin θ增大，B的速度增大，但开始时sin θ变化快，速度增加得快，图线的斜率大，随θ增大，速度增加得慢，若绳和杆足够长，则物体B的速度趋近于A的速度，只有A项正确。

4．(2020·河北辛集中学阶段考试)如图所示，某次足球训练，守门员将静止的足球从M点踢出，球斜抛后落在60 m外地面上的P点，发球的同时，前锋从距P点11.5 m的N点向P点做匀加速直线运动，其初速度为2 m/s，加速度为4 m/s2，当其速度达到8 m/s后保持匀速直线运动，若前锋恰好在P点追上足球，球员和球均可视为质点，忽略球在空中运动时的阻力，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　C　)

A．前锋加速的距离为7 m

B．足球在空中运动的时间为2.3 s

C．足球运动过程中的最小速度为30 m/s

D．足球上升的最大高度为10 m

[解析]　前锋做匀加速直线运动的初速度为2 m/s，加速度为4 m/s2，末速度为8 m/s，根据速度与位移的关系式可知，v2－v＝2ax1，代入数据解得x1＝7.5 m，A错误；前锋和足球运动时间相等，前锋加速运动时间t加＝＝1.5 s，匀速运动时间t匀＝＝0.5 s，故足球在空中运动的时间为2 s，B错误；足球水平方向上做匀速直线运动，位移为60 m，时间为2 s，故运动过程中的最小速度为30 m/s，C正确；足球竖直方向上做竖直上抛运动，根据运动的对称性可知，上升时间为1 s，最大高度hm＝gt2＝5 m，D错误。