人教版高考物理一轮复习第5章机械能及其守恒定律第1节功和功率学案

第1节 功和功率

[高考备考指南]

第1节　功和功率

一、功

1．做功两因素

力和物体在力的方向上发生的位移。

2．公式：W＝Flcos_α

(1)α是力与位移方向之间的夹角，l是物体对地的位移。

(2)该公式只适用于恒力做功。

3．功的正负的判断方法

二、功率

1．定义：功与完成这些功所用时间的比值。

2．物理意义：描述做功的快慢。

3．公式

(1)P＝，P为时间t内的平均功率。

(2)P＝Fvcos α(α为F与v的夹角)。

①v为平均速度，则P为平均功率。

②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。

4．额定功率与实际功率

(1)额定功率：动力机械长时间正常工作时输出的最大功率。

(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率。

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功。 (×)

(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。 (√)

(3)滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定做负功。 (×)

(4)据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比。(√)

(5)汽车上坡的时候，司机必须换挡，其目的是减小速度，得到较大的牵引力。(√)

(6)公式P＝Fv中的F是物体受到的合外力。 (×)

2．(人教版必修2P59T1改编)如图所示，力F大小相等，物体运动的位移s也相同，哪种情况F做功最少(　　)

A　　　　　　　B

C　　　　　　　D

[答案]　D

3．(人教版必修2P63T3改编)关于功率公式P＝和P＝Fv的说法正确的是(　　)

A．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率

B．由P＝Fv只能求某一时刻的瞬时功率，不可以求平均功率

C．由P＝Fv知，随着汽车速度增大，它的功率也可以无限增大

D．由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比

D　[P＝只适用于求平均功率，P＝Fv虽是由前者推导得出，但可以用于求平均功率和瞬时功率，选项A、B错误；汽车运行时不能长时间超过额定功率，故随着汽车速度的增大，它的功率并不能无限制的增大，选项C错误；当功率一定时，速度越大，牵引力越小；速度越小，牵引力越大，故牵引力与速度成反比，选项D正确。]

4．(粤教版必修2P67T5)用起重机将质量为m的物体匀速吊起一段距离，那么作用在物体上的各力做功情况应是下列说法中的哪一种(　　)

A．重力做正功，拉力做负功，合力做功为零

B．重力做负功，拉力做正功，合力做正功

C．重力做负功，拉力做正功，合力做功为零

D．重力不做功，拉力做正功，合力做正功

C　[物体匀速上升，重力方向与位移方向相反，重力做负功，拉力竖直向上，拉力方向与位移方向相同，拉力做正功，物体做匀速直线运动，处于平衡状态，所受合力为零，则合力做功为零，故A、B、D错误，C正确。]

功的分析与计算　

1．物体在大小相等的力F作用下，分别在粗糙的水平地面上发生了一段位移x，其力与速度方向夹角如图所示，则下列判断正确的是(　　)

A．甲图中力F做负功

B．乙图中合外力做功最多

C．丙图中摩擦力做功最多

D．三个图中力F做功相同

B　[根据W＝Fxcos α，甲中F与位移x的夹角为30°，力F做正功，乙中F与x的夹角为150°，力F做负功，丙中F与x的夹角为30°，力F做正功，这三种情形下力F和位移x的大小都是一样的，将力沿着水平和竖直方向正交分解，水平分力大小相同，只有水平分力做功，竖直分力不做功，故三种情况下力F做功的大小是相等的，但乙图中力F做功的性质与其他两个不同，选项A、D错误；将力F正交分解可知，竖直方向上甲对地面的压力最大，故甲受到的摩擦力大于乙、丙受到的摩擦力，而对乙分析可知，摩擦力与拉力的方向相同，故乙中合外力最大，所以乙图中合外力做功最多，选项B正确；由B的分析可以知道，甲中摩擦力最大，故甲中摩擦力做功最多，选项C错误。]

2．如图所示，粗糙的斜面在水平恒力的作用下向左匀速运动，一物块置于斜面上并与斜面保持相对静止，下列说法中不正确的是(　　)

A．斜面对物块不做功

B．斜面对地面的摩擦力做负功

C．斜面对物块的支持力做正功

D．斜面对物块的摩擦力做负功

B　[斜面对物块的作用力可以等效为一个力，根据平衡条件，这个力与物块的重力大小相等，方向相反，与位移方向的夹角为90°，所以不做功，选项A正确；地面受到摩擦力作用，但没有位移，所以斜面对地面的摩擦力不做功，选项B错误；斜面对物块的支持力与位移方向的夹角小于90°，做正功，而斜面对物块的摩擦力与位移方向的夹角大于90°，做负功，所以选项C、D正确。]

3．(2019·福建邵武七中期中)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．人对车的推力F做的功为FL

B．人对车做的功为maL

C．车对人的作用力大小为ma

D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L

A　[根据功的公式可知，人对车的推力做功W＝FL，故A正确；在水平方向上，由牛顿第二定律可知车对人的作用力为F′＝ma，由牛顿第三定律可知人对车的作用力为－ma，人对车做功为W＝－maL，故B错误；人水平方向受到的合力为ma，竖直方向上车对人还有支持力，故车对人的作用力为N＝＝m，故C错误；对人由牛顿第二定律可得f－F＝ma，则f＝ma＋F，车对人的摩擦力做功为W＝fL＝(F＋ma)L，故D错误。]

1．功的正负的判断方法

(1)恒力做功正负的判断：依据力与位移的夹角来判断。

(2)曲线运动中做功正负的判断：依据F与v的方向的夹角α来判断。0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。

2．恒力做功的计算方法

3．合力做功的计算方法

方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功。适用于F合为恒力的过程。

方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3…求合外力做的功。

功率的分析与计算　

1．平均功率的计算方法

(1)利用＝。

(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。

2．瞬时功率的计算方法

(1)利用公式P＝F·vcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。

(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。

(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。

[题组训练]

1．(2020·江苏南通二模)引体向上是中学生体育测试的项目之一，引体向上运动的吉尼斯世界纪录是53次/分钟。若一个普通中学生在30秒内完成12次引体向上，该学生此过程中克服重力做功的平均功率最接近于(　　)

A．5 W  B．20 W  C．100 W  D．400 W

C　[学生体重约为50 kg，每次引体向上上升高度约为0.5 m，引体向上一次克服重力做功为W＝mgh＝50×10×0.5 J＝250 J，全过程克服重力做功的平均功率为＝＝ W＝100 W，故C正确，A、B、D错误。]

2．质量为m的物体从距地面H高处自由下落，经历时间t，则下列说法中不正确的是(　　)

A．t秒内重力对物体做功为mg2t2

B．t秒内重力的平均功率为mg2t

C．秒末重力的瞬时功率与t秒末重力的瞬时功率之比为1∶2

D．前秒内重力做功的平均功率与后秒内重力做功的平均功率之比为1∶3

B　[物体自由下落，t秒内物体下落h＝gt2，Wt＝mgh＝mg2t2，故A正确；P＝＝＝mg2t，故B错误；从静止开始自由下落，前秒末与后秒末的速度之比为1∶2(因v＝gt∝t)，又有P＝Fv＝mgv∝v，故前秒末与后秒末功率瞬时值之比为P1∶P2＝1∶2，C正确；前秒与后秒下落的位移之比为1∶3，则重力做功之比为1∶3，故重力做功的平均功率之比为1∶3，D正确。]

3．(2019·江苏金陵中学高考模拟)如图所示，两个完全相同的小球分别从水平地面上A点和A点正上方的O点抛出，O点抛出小球做平抛运动，A点斜抛出的小球能达到的最高点与O点等高，且两球同时落到水平面上的B点，关于两球的运动，下列说法正确的是(　　)

A．两小球应该是同时抛出

B．两小球着地速度大小相等

C．两小球着地前瞬间，重力的瞬时功率相等

D．两小球做抛体运动过程重力做功相等

C　[从水平地面上A点抛出的小球做斜抛运动，设O点与水平地面的高度为h，所以从水平地面上A点抛出的小球的运动时间为t1＝2，从O点抛出的小球做平抛运动，小球的运动时间为t2＝，故选项A错误；两小球在竖直方向上有vy＝，在水平方向根据x＝v0t可知从水平地面上A点抛出的小球的水平初速度是从O点抛出的小球做平抛运动的初速度的，根据vt＝可知两小球着地速度大小不相等，根据Py＝mgvy可知两小球着地前瞬间重力的瞬时功率相等，故选项C正确，B错误；根据WG＝mgh可得从水平地面上A点抛出的小球的重力做功为零，从O点抛出的小球的重力做功为mgh，故选项D错误。]

求解功率时应注意的三个问题

(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。

(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。

(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。

机车启动问题　

1．两种启动方式

2．三个重要关系式

(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝。

(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v＝<vm＝。

(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移、速度或时间。

[典例示法]　某汽车发动机的额定功率为120 kW，汽车质量为5 t，汽车在运动中所受阻力的大小恒为车重的0.1倍。(g取10 m/s2)

(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车速度达到10 m/s时，其加速度是多少？

(2)若汽车以恒定加速度0.5 m/s2启动，则其匀加速过程能维持多长时间？

思路探究：(1)达到最大速度时，汽车处于匀速运动状态。

(2)以加速度0.5 m/s2匀加速启动时，达到匀加速的最大速度时功率达到额定功率。

[解析]　(1)当汽车的加速度为零时，汽车的速度v达到最大值vm，此时牵引力与阻力大小相等，故最大速度为

vm＝＝＝ m/s＝24 m/s

v＝10 m/s时的牵引力

F1＝＝ N＝1.2×104 N

由F1－Ff＝ma得a＝＝ m/s2

＝1.4 m/s2。

(2)当汽车以a′＝0.5 m/s2的加速度启动时的牵引力

F2＝ma′＋Ff＝(5 000×0.5＋0.1×5×103×10)N＝7 500 N

匀加速运动能达到的最大速度为

v′m＝＝ m/s＝16 m/s

由于此过程中汽车做匀加速直线运动，满足v′m＝a′t，

故匀加速过程能维持的时间

t＝＝ s＝32 s。

[答案]　(1)24 m/s　1.4 m/s2　(2)32 s

机车启动问题的三点注意

(1)在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力或阻力，所以P＝Ffvm只体现了一种数量关系用于计算，即牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度。

(2)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速运动，匀变速直线运动的公式不再适用，启动过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。

(3)以恒定加速度启动只能维持一段时间，之后又要经历非匀变速直线运动，所以匀变速直线运动的公式只适用于前一段时间，不可生搬硬套。

[跟进训练]

　恒定功率启动

1．质量为m的汽车沿平直的公路行驶，在时间t内，以恒定功率P由静止开始经过距离s达到最大速度vm。已知汽车所受的阻力Ff恒定不变，则在这段时间内发动机所做的功W可用下列哪些式子计算(　　)

A．W＝Ffs　　 B．W＝Ffvmt

C．W＝Ffvmt   D．W＝mv

C　[发动机的功率恒定，经过时间t，发动机做的功为W＝Pt，汽车从静止到最大速度vm的过程中，由动能定理可知W－Ffs＝mv，故W＝mv＋Ffs，A、D错误；速度达到最大时，牵引力等于Ff，P＝Ffvm，所以W＝Ffvmt，B错误，C正确。]

　恒定加速度启动

2．(2019·芜湖模拟)一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，之后起重机保持该功率不变，继续提升重物，最后重物以最大速度v2匀速上升，不计钢绳重力。则整个过程中，下列说法正确的是(　　)

A．钢绳的最大拉力为

B．重物匀加速过程的时间为

C．重物匀加速过程的加速度为

D．速度由v1增大至v2的过程中，重物的平均速度<

B　[匀加速过程物体处于超重状态，钢绳拉力较大，匀加速运动阶段钢绳的拉力为F＝，故A错误；根据牛顿第二定律可知F－mg＝ma，结合v＝at解得a＝－g，t＝，故B正确，C错误；在速度由v1增大至v2的过程中，重物做加速度减小的变加速运动，平均速度>，故D错误。]

　机车启动中的图象问题

3．(2019·吉林五地六校合作体联考)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v­t图象如图所示。已知汽车的质量为m＝1×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g取10 m/s2，则以下说法正确的是(　　)

A．汽车在前5 s内的牵引力为5×102 N

B．汽车速度为25 m/s时的加速度为5 m/s2

C．汽车的额定功率为100 kW

D．汽车的最大速度为80 m/s

C　[由图象可知匀加速直线运动的加速度为a＝＝ m/s2＝4 m/s2，根据牛顿第二定律得F－f＝ma，解得牵引力为F＝f＋ma＝0.1×1×104 N＋1×103×4 N＝5×103 N，故A错误。额定功率为P＝Fv＝5 000×20 W＝100 kW，故C正确。当车的速度是25 m/s时，牵引力F′＝＝ N＝4 000 N，此时车的加速度a′＝＝ m/s2＝3 m/s2，故B错误。当牵引力与阻力相等时，速度最大，最大速度为vm＝＝＝ m/s＝100 m/s，故D错误。]