1.3不等式 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
- 已知，，，且，则下列命题正确的是( )
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
- 下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
- 已知，且，则下列命题正确的是( )
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
- 设，，为实数，且，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
- 若，则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
- 若，，则下列不等式正确的是
A. B. C. D.
- 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区阴影部分和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和如图所示当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为( )
A. B. C. D.
- 下列三个不等式中( )
；
；
恒成立的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
- 设，且，则( )
A. B. C. D.
- 设，且，则( )
A. B.
C. D.
- 若，则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
- 受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分別为，，甲有一半的时间以速度米秒奔跑，另一半的时间以速度米秒奔跑；乙全程以速度米秒奔跑；丙有一半的路程以速度米秒奔跑，另一半的路程以速度米秒奔跑其中，则下列结论中一定成立的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 判断正误：
，( )
若且，则一定有( )
，( )
如，，则( )
- 已知，为实数，且，，则 填“”“”或“”
- 某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比如果在距离车站处建仓库，则土地费用和运输费用分别为万元和万元若要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站 处．
- 设，是非零实数，若，则不等式；；中一定成立的是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
- 若，比较与的大小．
已知，，是不全相等的正实数，求证：．
- 已知函数．
求不等式的解集；
若的最小值为，且，证明：． - 已知，，求的取值范围；
已知，为正数，且，求证：． - 已知，．
判别和的大小关系；
若，求的最小值．
- 已知，，比较与的大小．求下列不等式的解集
． - 已知，，比较与的大小．求下列不等式的解集
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础题．
通过不等式的性质和代入特值逐项分析即可．
【解答】
解：当时，选项A，B错误，
：例如，满足，但是，故C错误，
：若，则，由不等式的性质可得，故D正确，
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
选项A可举推翻；选项B、均可举反例；选项D可由不等式的性质进行判断，由此得出正确结论．
【解答】
对于选项，若，则命题错误，故A选项错误；
对于选项，取，，满足，但，故B选项错误；
对于选项，取，，，则满足，但，故C选项错误；
对于选项，由不等式的性质可知该选项正确，故D正确．
故选D ．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础题．
通过不等式的性质和代入特值逐项分析即可．
【解答】
解：当时，选项A，B错误
：例如，满足，但是，故C错误；
：若，因为，由不等式的性质可得，故D正确，
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质，属于基础题．
通过特殊值法和作差法进行判断即可．
【解答】
解：因为，
对于项，当时，，不成立，故A项错误
对于项，，故B项正确
对于项，因为，故C项错误
对于项，，故D项错误．
故选B．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式基本性质的应用，属于基础题．
举反例判断，利用指数函数的性质判断，作差法判断．
【解答】
解：对于选项A：当或时，不等式无意义，故A错误；
对于选项B：当时，不等式不成立，故B错误；
对于选项C：是单调递增的，当时，，故C不成立；
对于选项D：当时，，故D正确．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的性质，不等关系的应用，来比较大小．
【解答】
解：，
，
，
，
，
．
故选C．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，注意使用条件：一正二定三相等，为基础题．
设，利用核心喷泉区的面积为，表示出，进而可得整个项目占地面积关于的函数解析式，利用基本不等式即可得到结论．
【解答】
解：设，知 ，
整个项目占地面积为
．
当且仅当，即时取等号．
当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：，
，，，，，正确；
，显然当时，不等式不成立，故不正确；
，，，，正确．
故选：．
利用作差法直接证明不等式成立即可；
显然当时，不等式不成立；
利用不等式的性质可得，进一步得到．
本题考查了不等式的基本性质，基本不等式和作差法证明不等式，属中档题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质，基本不等式，是基础题．
由不等式的性质，基本不等式，逐一判断即可．
【解答】
解：因为，且，
所以，解得，故A正确；
因为，所以，所以，故B错误
因为，所以，故C正确；
因为，
当且仅当，即，时，等号成立，
此时满足，且，
所以，
因为，故D错误．
故选AC．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质，基本不等式，是基础题．
由不等式的性质，基本不等式，逐一判断即可．
【解答】
解：因为，且，所以，故A正确；
因为，所以，所以，故B错误
因为，所以，故C正确；
因为，
当且仅当，即，时，等号成立，
此时满足，且，
所以，故D正确．
故选ACD．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的性质，比较大小，基本不等式，属于基础题．
对于，由可得，由此可判定与大小；对于，由可得，，利用基本不等式可判定；对于，由可得的符号；对于，由可得，即可判定．
【解答】
解：对于，，，，故A正确；
对于，，，，
，当且仅当时等号成立，又，，故B正确；
对于，，，，即，故C错误；
对于，，，则，所以，故D错误．
故选AB．
12.【答案】
【解析】
【分析】本小题主要考查速度公式的应用和函数模型的选择与应用、增长率的概念、比较法等基础知识，考查数学建模能力，属于中档题．
分别列出，，的表达式，根据基本不等式逐一判断即可．
【解答】
解：由题可得甲所用时间，乙所用时间，丙所用时间，
易知，故，当仅当时取“”，即A正确，B错误；
又，所以，故C正确，
，，
取，此时，故D错误．
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等关系，属于基础题．
利用不等关系的性质，逐一判断即可．
【解答】
解：令，，，则且，故错误；
由不等式同向可加性知结论正确；
由不等式的传递性知结论正确；
由于，故，由不等式两边同乘正数，不等号方向不变知，结论正确．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】设仓库到车站的距离为，每月土地费用为，每月货物的运输费用为，由题意可设， ，把，与，分别代入上式得，， ，，费用之和 ，当且仅当，即时，等号成立．当仓库建在离车站处两项费用之和最小．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了通过作差法利用不等式的基本性质比较两个数的大小方法以及特殊值法，属于基础题．
通过取特殊值可否定，，；通过作差利用不等式的基本性质可证明成立．
【解答】
解：，取，，
则，，不成立；
取，，
则，，
不成立；
而且，是非零实数，
，
．
故只有：一定成立．
故答案为：．
17.【答案】解：作差，
因为，则，，，
所以，即．
当且仅当等号成立 ，
当且仅当等号成立 ，
当且仅当等号成立 ，
，
又因为，，是不全相等的正实数，故等号取不到，
所以 ．
【解析】本题考查了比较大小、不等式性质和基本不等式，是基础题．
由作差法，作差，可得结论；
由基本不等式证明，注意等号成立条件即可．
18.【答案】解：由，得，
则 或 或
解得：，
故不等式的解集是；
证明：，
故，
，
故，，
，
当且仅当，即，时取“”，
故．
【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法，利用不等式性质及基本不等式证明，属于中档题．
分段去掉绝对值，分别解出各段的范围，取并集可得
利用不等式的性质及基本不等式进行证明可得．
19.【答案】解：，
因为，所以，
又，所以，
所以．
证明：因为，为正数，且，
，
当且仅当即时取等号．
【解析】本题考查不等式的性质，属于基础题．
由，再根据不等式性质得到，以及，由此即可得到答案．
本题考查运用基本不等式证明不等式，属基础题．
由题意可得，由基本不等式可得．
20.【答案】证明：
，当且仅当时取等号，
；
由，，，
则，当且仅当时取得等号，
此时的最小值为；
因为，，．
所以，
所以，，
当且仅当，即，时取最小值．
【解析】本题考查利用作差法比较大小和利用基本不等式求最值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
由作差比较法和完全平方公式，结合非负数概念，即可得证；
运用基本不等式，可得，然后解不等式，求出的最小值．利用乘法和基本不等式求最值即可得的最小值．
21.【答案】解：，
因为，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以；
解：，
解得，
所以不等式的解集为；
解得，
所以不等式的解集为．
【解析】本题考查利用作差法比较大小，不等式的性质，属于基础题．
直接利用作差法比较即可．
本题考查一元二次不等式和分式不等式的求解，属于基础题．
把不等式化为即可求解；
由即可求出结果
22.【答案】解：，
因为，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以；
解：，
解得，
所以不等式的解集为；
解得，
所以不等式的解集为．
【解析】本题考查利用作差法比较大小，不等式的性质，属于基础题．
直接利用作差法比较即可．
本题考查一元二次不等式和分式不等式的求解，属于基础题．
把不等式化为即可求解；
由即可求出结果
