新高考数学模拟卷分类汇编（四期)专题10《计数原理与概率统计》(2份打包，解析版+原卷版)

专题10  计数原理与概率统计

1．（2021·广东中山一中模拟）为提高学生的身体素质，加强体育锻炼，高三（1）班A，B，C三位同学进行足球传球训练，约定：球在某同学脚下必须传出，传给另外两同学的概率均为，不考虑失球，球刚开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题可知，开始在A同学脚下，5次传球共有32种可能，

，

其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，

∴球回到A同学脚下的概率为.

故选：B.

2．（2021·广东肇庆一中模拟）某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如下表：

若与的线性回归方程为，预测当工作时间为小时时，工资大约为（    ）

A．元 B．元 C．元 D．元

【答案】B

【解析】由表格数据知：，，

，线性回归方程为，

，即当工作时间为小时时，工资大约为元.

故选：B.

3．（2021·湖南永州一中高三月考）“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则（    ）

A．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍

B．该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的

C．该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的

D．该直播间第三季度服装收入高于前两个季度的服装收入之和

【答案】B

【解析】对于选项A，因为该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，所以第三季度的总收入是第一季度的倍，故A错误；

对于选项B，设第一季度的总收入为a，则第二季度、第三季度的总收入分别为，

第二季度的化妆品收入为，第三季度的化妆品收入为，

所以第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的，故B正确；

对于选项C，第一季度的化妆品收入为，所以第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的，故C错误；

对于选项D，第一、二季度服装收入和为，第三季度服装收入为，故D错误.

故选：B

4．（2021·湖南郴州一中高三月考）食用油有两种制取工艺：压榨法和浸出法.压榨法由于不涉及添加任何化学物质，榨出的油各种成分保持较为完整，但缺点是出油率低；浸出法制油粕中残油少，出油率高，油料资源得到了充分的利用.我国植物油料种类繁多，而压榨法和浸出法这两种油脂制取工艺分别适用于不同的油料，常见的采用压榨油的有芝麻油､花生油等，常见的采用浸出油的有油菜籽油，大豆油等.现有4个完全相同的不透明油桶里面分别装有芝麻油､花生油､油菜籽油､大豆油，从中任取一桶，则下列两个事件互为对立事件的是（    ）

A．“取出芝麻油”和“取出花生油” B．“取出浸出油”和“取出大豆油”

C．“取出油菜籽油”和“取出大豆油” D．“取出压榨油”和“取出浸出油”

【答案】D

【解析】对于A：现有4个完全相同的不透明油桶里面分别装有芝麻油、花生油、油菜籽油、大豆油，所以“取出芝麻油”和“取出花生油”互斥但不对立；

对于B：“取出浸出油”和“取出大豆油”不互斥，也不对立；

对于C：现有4个完全相同的不透明油桶里面分别装有芝麻油、花生油、油菜籽油、大豆油，“取出油菜籽油”和“取出大豆油” 互斥但不对立；

对于D：“取出压榨油”和“取出浸出油”是食用油的两种制取工艺，所以是对立事件.

故选：D

5．（2021·福建泉州科技中学高三月考）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理可求解，由题设，四棱锥S - ABCD的顶点S, A, B所染的颜色互不相同,它们共有种染色方法；

当染好时，不妨设所染颜色依次为1, 2, 3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4,则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法,即当S, A, B染好时，C, D还有7种染法.

故不同的染色方法有种.

故选：C

6．（2021·辽宁丹东一中高三期中）高三（1）班男女同学人数之比为，班级所有同学进行踢毽球（毽子）比赛，比赛规则是：每个同学用脚踢起毽球，落地前用脚接住并踢起，脚接不到毽球比赛结束.记录每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为，方差为，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为，方差为，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【解析】设男同学为人，女同学为人，则全班的平均数为，

设男同学为，，，，女同学为，，，，则，所以男同学的方差①，女同学的方差②；由①可得，即，由②可得，即，所以全班同学的方差为

即

故选：D

7．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）为了支援山区教育，现在安排名大学生到个学校进行支教活动，每个学校至少安排人，其中甲校至少要安排名大学生，则不同的安排方法共有（    ）种

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】若甲校分名大学生，此时有种分配方法；

若甲校分名大学生，此时有种分配方法.

综上所述，共有种分配方法.

故选：C.

8．（2021·山东淄博一中高三月考）投壶是我国古代的一种娱乐活动，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”.“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，未投中（0筹）的概率为.乙的投掷水平与甲相同，且甲､乙投掷相互独立.比赛第一场，两人平局；第二场甲投中“有初”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意题，要使三场比赛结束时，甲获胜，第第三局甲、乙获得的筹数可能为：（5,0），（6,0），（10,0），（10,2），（10,4），（10,5），

甲、乙对应的投中情况可能为（散射，未投中），（双耳，未投中），（依杆，未投中），（依杆，有初），（依杆，贯耳），（依杆，散射），

所以甲获胜的概率为： .

故选：C

9．（2021·山东滨州一中高三月考）设随机变量服从正态分布，若，则的值为（    ）

A． B． C．3 D．5

【答案】A

【解析】由题意，根据正态分布的对称性

故选：A

10．（2021·湖南永州一中高三月考）永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为（    ）

A．480 B．240 C．384 D．1440

【答案】A

【解析】

第一步，将《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《女书表演》四个节目排列，有种排法；

第二步，将《祁阳小调》、《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有种插法；

所以共有种不同的安排方法.

故选：A

11．（2021·江苏扬州大学附属中学高三月考）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C．事件B与事件相互独立 D．，，两两互斥

【答案】AD

【解析】由题意知，，两两互斥，故D正确；

，，，，故A正确；

，，

，

所以B与不是相互独立事件，故B，C不正确．

故选：AD．

12．（2021·江苏海安高级中学高三月考）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．若A，B独立，则

D．若A，B互斥，则

【答案】BCD

【解析】选项A中：，故选项A错误, 选项B正确；选项C中：A，B独立，则，则，故选项C正确；选项D中：A，B互斥，，则根据条件概率公式，故选项D正确，故选：BCD

13．（2021·广东福田一中高三月考）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图（如图）：

根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（    ）

A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B．该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元

C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

D．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

【答案】ABC

【解析】对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户得频率为，所以比率估计为6%，故A正确；

对于B，因为，所以该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元，故B正确；

对于C，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间频率为，所以估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故C正确；

对于D，该地农户家庭年收入的平均值为

，

所以估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元，故D错误.

故选：ABC.

14．（2021·广东普宁市华侨中学高三期中）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，

则下列说法中正确的是（    ）

附：若随机变量X服从正态分布，则.

A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩

B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩

C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近

D．若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587

【答案】ACD

【解析】由图象可知，甲的图象关于对称，乙的图象关于对称，

所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，

故选项A正确，B错误；

因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，

所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右，

则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，

故选项C正确；

若，则甲同学成绩高于80分的概率约为，

故选项D正确．

故选：ACD．

15．（2021·广东湛江一中高三月考）某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

由直方图推断，下列选项正确的是（    ）

A．直方图中的值为0.38

B．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒

C．由直方图估计本校高三男生100米休能测试成绩不大于13秒的人数为54

D．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒

【答案】BC

【解析】

A：因为频率直方图中，所有小矩形的面积之和为1，

所以，

因此本选项说法不正确；

B：分布在小组的矩形面积最大，因此众数出现在这个小组内，因此估计众数为

，因此本选项说法正确；

C：高三男生100米休能测试成绩不大于13秒的小组有：，，，

频率之和为：，因此估计估计本校高三男生100米休能测试成绩不大于13秒的人数为，所以本选项说法正确；

D：设中位数为，因此有，

所以本选项说法不正确，

故选：BC

16．（2021·广东惠州一中高三月考）某种产品的价格（单位：元/）与需求量（单位：）之间的对应数据如下表所示：

根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论正确的是（    ）

A．与正相关 B．与负相关

C．样本中心为 D．该产品价格为35元/时，日需求量大约为

【答案】BC

【解析】由表格数据，随着价格的增加，需求量随之减少，所以与负相关.

因为，，

故样本中心为

由回归直线必过样本点的中心，

所以有，解得，

所以当时，，日需求量不为最大

故选：BC

17．（2021·湖南郴州一中高三月考）给出下列命题，其中正确命题是（    ）

A．若样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，则样本数据，，…，的平均数为3

B．随机变量的方差为，则

C．随机变量服从正态分布，，则

D．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，用表示出现正面向上的次数，则

【答案】BCD

【解析】

对于选项A：

由，得：

，

所以选项A错误；

对于选项B：

由，得：

，

所以选项B正确；

对于选项C：

因为随机变量服从正态分布，

所以，

又因为，

则，

由正态分布的对称性可得：

，

故选项C正确；

对于选项D：

将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，则

正面向上的次数服从二项分布，

所以，

故选项D正确.

故选：BCD.

18．（2021·福建省福州外国语学校高三月考）下列说法中，正确的命题是（    ）

A．已知随机变量X服从正态分布N（2，），P（X<4）=0.8，则P（2<X<4）=0.2

B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱

C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为y=+，若=1，=3，则=1

D．若样本数据2+1，2+1，……，2+1的方差为8，则数据，…，的方差为2

【答案】CD

【解析】

A. 已知随机变量服从正态分布，，则，所以，

所以,

∴，故A错误；

B. 线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B错误；

C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则，故C正确；

D. 设数据，，…，的方差为,样本数据，，…，的方差为8，则，即数据，，…，的方差为2，故D正确.

故选：CD.

19．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度随时间变化的函数模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据，，，，绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个函数模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，函数模型一：；函数模型二：，下列说法正确的是（    ）

A．变量与具有负的相关关系

B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况

C．若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点

D．当时，通过函数模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为0.1

【答案】ABD

【解析】观察散点图，变量与具有负的相关关系，A正确；

由于函数模型二中的函数，在时，函数单调递减，可得B正确；

若选择函数模型二，利用最小二乘法求出的回归方程一定经过，C错误；

由于残差=真实值-预测值，因此残差为，故D正确.

故选: ABD.

20．（2021·广东惠州一中高三月考）一张方桌有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个位置上，则与相邻的概率为___________.

【答案】

【解析】BCD三人随机坐到其他三个位置上，共有种等可能情况，

要使与不相邻，则必坐在的对面，此时与的坐法共有2种情况，

所以根据古典概型求概率公式可知与相邻的概率为.

故答案为：