新高考数学模拟卷分类汇编（四期)专题11《数列》解答题(2份打包，解析版+原卷版)

专题11 数列解答题

1．（2021·河北大名一中高三月考）已知数列满足，且.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）记，数列的前n项和为.

【答案】

（1）证明见解析

（2）①当n为奇数时，；②当n为偶数时，.

【解析】

（1）

，

，即，

数列是以为公差的等差数列.

（2）由（1）可知数列是以为公差的等差数列，且，

，

，

①当n为奇数时，

②当n为偶数时，

2．（2021·河北唐山一中高三期中）为等差数列的前项和，且，，记，其中表示不超过的最大整数，如，.

（1）求，，；

（2）求数列的前项和.

【答案】

（1），，

（2）

【解析】

（1）由题意得可得：，所以，

所以，

所以，所以，，.

（2）由（1）知：，

当时，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

所以.

3．（2021·河北衡水中学高三月考）对于正项数列，定义为数列的“匀称”值.

（1）若数列的“匀称”值，求数列的通项公式；

（2）若数列的“匀称”值，设，求数列的前项和及的最小值.

【答案】（1）；（2），.

【解析】

（1）当时，由

得

当时，

当时，

即，检验时，成立

；

（2）当时，由

得

当时，

当时，

即，检验时，成立

当为奇数时，当为偶数时，

令，则

所以数列为递增数列，即数列为递增数列

当时，

4．（2021·福建福州三中高三月考）已知数列的前n项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）当时，，解得，

当时，，则，即，

又，则，

∴（常数），故是以为首项，以3为公比的等比数列，

∴数列的通项公式为．

（2）由（1）可得：，

∴，

设，则

∴，

∴，又，

∴

5．（2021·福建·福清西山学校高三期中）已知数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列前n项和.

【答案】

（1）

（2）

【解析】

（1）当时，；

由已知得，

于是，

即，

又也满足上式，

所以.

（2）由（1）知，

而

当n为奇数时，

，

当n为偶数时，

.

综上，.

6．（2021·山东滕州一中高三期中）在数列中，且成等差数列.

（1）求；

（2）求的和.

【答案】

（1），，

（2）

【解析】

（1）由于成等差数列，所以，

，

所以.

（2）

①，

②，

两式相减得，

所以数列是首项为，公差为的等差数列.

所以

7．（2021·山东昌乐二中高三月考）已知公差不为零的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列.

（1）求数列通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】

（1）

（2）

【解析】

（1）由题意知，

解得，，或，（舍去），

所以.

（2），将这个数列分为两部分，一部分是等差数列，一部分是等比数列，根据等差数列和等比数列求和公式得到：

.

8．（2021·湖南永州·高三月考）已知数列满足，.

（1）求；

（2）记，证明：数列为等比数列.

【答案】（1）6；（2）详见解析.

【解析】

（1）因为已知数列，满足，.

所以，

，

；

（2），

，

所以，

，

，

猜想数列是以4为首项，以2为公比的等比数列，

证明如下：

，

，

，

，

所以数列是以4为首项，以2为公比的等比数列.

9．（2021·湖南郴州一中高三月考）设数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项的和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）法一：∵，∴，

两式相减得：，即，∴.

∴，

而满足上式，∴.

法二：∵，∴，

两式相减得：，即，∴，

∴，

∴数列是以1为首项，以0为公差的等差数列，

∴，

∴.

当时，满足上式，

∴.

（2）法一：由（1）知，，∴，

∴，

即数列是以4为公差的等差数列.

∴.

法二：由（1）知，

∴

.

10．（2021·广东福田一中高三月考）已知是等差数列，，．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前15项和．

【答案】

（1）

（2）

【解析】

（1）利用已知条件解方程得到基本量 ，再利用公式写通项公式即可；

（2）先代入化简，分类讨论去绝对值，再分组可求前15项和.

（1）

设等差数列的公差为d，由条件得，

解得．故．

（2）由（1）可知，其中

故的前15项和

11．（2021·广东肇庆一中模拟）已知等差数列中，，公差，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项.

（1）求的值；

（2）设中不包含的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，求.

【答案】

（1）

（2）

【解析】

（1）由不可能删去首项和末项，分别讨论删去、，利用等比中项可得答案；

（2）由求得，根据、中的项可得前100项是的前107项去掉的前7项后构成的，所以求出前107项去掉的前7项后可得答案.

（1）

不可能删去首项和末项，否则等差数列中连续三项构成等比数列则，而已知，不合题意；若删去，则，即，所以，

因为，所以，舍去；

若删去，则，即，所以，

因为，所以，符合题意，故.

（2）

由（1）知，，

所以，即的公比为2，首项为10，

所以，即，是数列中的第项，

设数列的前项和为，数列的前项和为，

因为，，

故前100项是的前107项去掉的前7项后构成的，

则.

12．（2021·广东惠州高三月考）已知数列是公比为2的等比数列，其前项和为，，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由，，成等差数列，且公比，

所以，

即，

整理得，解得，

所以数列的通项公式为.

（2）.

所以为等比数列，令，故为等差数列

因此分组求和可得：

13．（2021·广东湛江一中高三月考）已知等差数列满足．数列的前项和为，且．

（1）求数列与的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）；；（2）．

【解析】（1）设的公差为因为，所以

又由，得，

所以．

数列的前项和为，且①，当时，②

①-②，得，当时，满足，所以．

（2）因为，

所以③

④

③-④，得，

所以．

14．（2021·江苏海安高级中学高三月考）设各项均为正数的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．

（1）求数列的公差；

（2）数列满足，且，求数列的通项公式．

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】

（1）根据，，成等比数列可得，利用表示出和，解方程组可求得，结合可得结果；

（2）由（1）可得，整理得，可知数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到结果.

（1）

（1）设等差数列的公差为，

，，成等比数列，，即，

又，解得：或；

当时，，与矛盾，，

即等差数列的公差；

（2）

由（1）得：，，即，

，又，解得：，

数列是以为首项，为公比的等比数列，

，整理可得：.

15．（2021·江苏如皋中学高三月考）已知数列的前项和为，，.

（1）若成等差数列，求的值；

（2）若为等比数列，求.

【答案】

（1）；

（2） .

【解析】

（1）依题意表示出、，再根据等差中项的性质得到方程，解得即可；

（2）根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，再代入检验即可；

（1）

解：由得：

当时，，所以；

当时，，所以  ，

因为成等差数列，所以，即，

所以 ；

（2）因为为等比数列，所以成等比数列，

所以，即，所以等比数列的公比，所以，

经验：当时，满足题意，

综上所述： .

16．（2021·江苏苏州中学高三月考）在①，②，③中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题.已知公差不为0的等差数列，且___________.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）．

【解析】

（1）选①②：因为是等差数列，且，，

所以，解得，，所以.

选①③：所以，解得，，所以.

选②③：因为是等差数列，且，

所以，解得，，所以.

（2）因为，所以，

所以.

17．（2021·重庆市涪陵实验中学高三期中）已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1），；（2），.

【解析】

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，

依题意有，

由，又，

解得，

∴，

即，

 ；

（2）∵，

∴前项和

.

∴前项和，.

18．（2021·重庆八中高三月考）在①，，②，③，，这三个条件中任选一个，补全下列试题后并完成解答（选择多个条件并分别解答的按第1个给分）

设等差数列的前n项和为，且___________.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前n项的和.

【答案】

（1）答案见解析

（2）.

【解析】

（1）若选①，设等差数列的公差为d，因为，，所以，解得，所以，

所以数列的通项公式为；

若选②，当时，由得，所以，

当时，满足，

所以数列的通项公式为；

若选③，设等差数列的公差为d，因为，，所以，解得，所以，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）得，所以，所以

，

所以，上面两式相减得：

，

所以.

19．（2021·重庆一中高三月考）已知数列满足，且，，.

（1）求数列的前三项，，；

（2）是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，求证：.

【答案】

（1），，

（2）存在，

（3）证明见解析

【解析】

（1）由题意知，∴.同理可得，.

（2）假设存在实数满足题意，则必是与无关的常数，

而，∴.

∴存在实数，使得数列为等差数列，且.

（3）由（2）知数列是等差数列，其首项为2，公差为1，则，

∴，

∵数列的前项和为，

∴.

20．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知等比数列的公比和等差数列的公差为，等比数列的首项为，且，，成等差数列，等差数列的首项为.

（1）求和的通项公式；

（2）若数列的前项和为，求证：.

【答案】

（1）

（2）具体见解析.

【解析】

（1）根据题意，，

则，所以，.

（2）由（1），，

所以……①

则……②，

①-②得，，

所以.