北师大版数学七上 第五章 一元一次方程 知识归纳

《第五章 一元一次方程》知识归纳

（一）、方程的有关概念

1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.

2.一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.

例如：1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程.

3.方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.

注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.

（二）、等式的性质

等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.

等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c

等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么.

（三）、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．

（四）、去括号法则

1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.
2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．

（五）、解方程的一般步骤

1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数).
2. 去括号(按去括号法则和分配律).
3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号).
4. 合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)
5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=.

一、列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题：弄清题意．

（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．

（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．

（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．

（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．

二、一元一次方程的实际应用

1. 和、差、倍、分问题：增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量

（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.

（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.

2. 等积变形问题： （1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：  ①形状面积变了，周长没变； ②原料体积＝成品体积. 

（2）常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．     ①圆柱体的体积公式       V=底面积×高＝S·h＝hr2 

②长方体的体积       V＝长×宽×高＝abc 

3. 工程问题：  

工程问题：工作量＝工作效率×工作时间

完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

4.行程问题：  

路程＝速度×时间   时间＝路程÷速度   速度＝路程÷时间  

（1）相遇问题：  快行距＋慢行距＝原距  

（2）追及问题：  快行距－慢行距＝原距 

 （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 

   抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

5. 商品销售问题 

（1）商品利润率＝商品利润/商品成本价×100% 

 （2）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 

 （3）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 

（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．有关关系式：商品售价=商品标价×折扣率 

（5）商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价 

6.储蓄问题

⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税

⑵利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率（20%）

（3）利润＝每个期数内的利息/本金×100%

7. 数字问题

（1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）

（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.