七上数学 第1章 有理数 知识总结

第一章知识归纳

一、有理数基本概念

1.正数与负数

我们把以前学过的数大于零叫做正数。有时在正数前面也加上“+”（正）号。 如+0.5、+3、+1/2……“＋”号可以省略。

我们把在以前学过的数（0除外）前面加上负号“-”的数叫做负数。如－３、－０.５、-2/3……          

0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界。

正数与负数可以用来表示具有相反意义的量。

相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量。与一个量成相反意义的量不止一个。

2．有理数

正整数、0统称自然数；正整数、0、负整数统称整数；正分数和负分数统称分数。

整数和分数统称有理数

整数可以看做分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式。

可以这样说:有理数都能写成分数的形式；能写成分数（分子分母互质）形式的数是有理数.

有理数的分类（两种）

                   正整数          

         整数       零         

有理数             负整数                  

         分数      正分数     

                   负分数

  正整数

     正有理数    正分数

有理数   零         

         负有理数    负整数

            负分数

3. 数轴  

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的三要素：原点、正方向、单位长度

任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。

数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.

4.相反数

一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的左右，表示－a和a，我们说这两点关于原点对称.

只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）

正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0.

在一个数前面添上“-”号,表示这个数的相反数.

5.绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。对任意有理数，总有。

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。  （互为相反数的两个数的绝对值相等。）

6.比较大小

（1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

（2）方法总结：

两个正数比较大小，与小学一致； 正数与零比较，正数大于零； 正数与负数比较，正数大于负数； 负数与零比较，负数小于零； 两个负数比较，绝对值大的反而小。

二、 有理数的加减法

1.有理数的加法

有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）

（1）       同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）       异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）       互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）

（4）       一个数同0相加，仍得这个数。

有理数的加法运算律：

（1）       两个数相加，交换加数的位置，和不变。即；

（2）       三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即。

2.有理数的减法

有理数的减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数。即。

注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。

3.有理数的加减混合运算

规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算

（为了书写简便，可以把已经统一为加法运算的式子中各个加数的括号和它前面的加号省略，写成省略加号的和的形式。）

步骤：（1）减法化加法；

     （2）省略括号和加号；

     （3）运用加法运算律使计算简便；

     （4）运用有理数加法法则进行计算。

 注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：

（1）同号的先结合；（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；（3）互为相反数的两数相结合；（4）能凑成整数的两数相结合；（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。

三、有理数的乘除法

1.有理数的乘法

有理数的乘法法则：

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

（2）任何数同0相乘，都得0.

倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。

（数的倒数是）

多个有理数相乘的法则及规律：

    （1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。

（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.

注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。

2.有理数的乘法运算律

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即。

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即。

乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即。

3.有理数的除法

有理数除法法则：（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。

（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何不为0的数，都得0。

步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。

4.有理数的乘除混合运算

运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。

（注：带分数应首先化为假分数进行运算）

5.有理数的四则混合运算

运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。

注：除法一般先化为乘法，带分数化为假分数，合理使用运算律。

四、有理数的乘方

1.乘方

一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可以读作的次幂。

乘方的规律：

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.

2.有理数的混合运算

运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；

（2）同级运算,从左到右进行；

（3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。

3.科学记数法

把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1.）

把还原成原数时，只需把的小数点往前移动位。

4.近似数和有效数字

在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.）

一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。

精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。