初中数学华师大版九年级上册第24章 解直角三角形综合与测试单元测试一课一练

华师大版初中数学九年级上册第24章《解直角三角形》单元测试卷

考试范围：第24章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图是某晾衣架的侧面示意图，根据图中数据，则、两点间的距离是(    )

A.
B.
C.
D.

2. 如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳两条尺长和相等可测量零件的内孔直径如果：：，且量得，则零件的厚度为(    )

A.
B.
C.
D.

3. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学九章算术中记载的一种测量古井水面以上部分深度的方法．若有一口井截面如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得直径尺，尺，记木杆长度为尺，井深为尺，则井深尺与木杆长度尺之间函数关系的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，，，为的中点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，将其绕点逆时针旋转得到，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 由个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点，，都在格点上，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，，，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，等于(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形若腰的坡度为，顶宽是，路基高为，则路基的下底宽是(    )
    
     

A.  B.  C.  D.

11. 身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为、、线与地面所成的角度分别为、、假设风筝线是拉直的，则三人所放的风筝．(    )

A. 甲的最高 B. 乙的最低 C. 丙的最低 D. 乙的最高

12. 如图，坡角为的斜坡上两树间的水平距离为，则两树间的坡面距离为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，光源在水平横杆的上方，照射横杆得到它在平地上的影子为点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，不难发现已知，，点到横杆的距离是，则点到地面的距离等于______
14. 如图，在四边形中，对角线于，，，点、分别是、的中点，若，则的长为______．

15. 在中，若，，且为锐角，则             
16. 如图，在中，，若，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆的高度，在某一时刻测得米长的竹竿竖直放置时影长米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，他测得落在地面上的影长为米，落在斜坡上的影长为米，，求旗杆的高度？

18. 如图，小明想用太阳光的照射来测量一大楼的高度．大楼被太阳照射后，其影子投射到与大楼平行的墙面的影子为，小明从大楼向墙面移动，当小明移动到点时，恰好使自己的影子与大楼的影子重叠，且高度相同．此时，测得影子，，点、、在同一直线上，已知小明身高，请你求出大楼的高度．

19. 如图，在中，点是边上的中点，点是边上的点，且
    用尺規完成以下基本作图：作的角平分线交于，连接不写作法和结论，保留作图痕迹
    根据中作图，求证：．

20. 如图，在中，，点为边的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为点，，连接，求证：．

21. 如图，在中，，是斜边上的中线，，．
    求证：四边形是菱形；
    过点作，垂足为点，若点是的中点，，求的长．

22. 计算：．
23. 九龙鼎是洛阳的一座标志性建筑，代表东周、东汉、魏、西晋、北魏、隋、唐、后梁、后唐等个朝代在这里建都．如图，某中学九年级数学兴趣小组想测量九龙鼎的高度，小明在九龙鼎前的一座写字楼的处仰望顶端，测得仰角为，小亮在写字楼前处，测得九龙鼎的顶端的仰角为，点，，在同一条直线上，米，米，求九龙鼎的高度．
    参考数据；，，，

24. 八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口处向正北方向走了米，到达菜园处锄草，再从处沿正西方向到达果园处采摘水果，再向南偏东方向走了米，到达手工坊处进行手工制作，最后从处回到门口处，手工坊在基地门口北偏西方向上．求菜园与果园之间的距离．结果保留整数
    参考数据：，，，，，
     

25. 如图，海岸线上有两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正东方向，与灯塔相距海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔的北偏东方向，与灯塔相距的处；乙船位于灯塔的北偏东方向，与灯塔相距的处．求：
    甲船与灯塔之间的距离；
    两艘货船之间的距离．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由相似三角形对应高的比等于相似比得，，
解得．
答：、两点间的距离为，
故选B．
根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：：：，，
∽，
：，
，
，
某零件的外径为，
零件的厚度为：，
故选：．
根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得的值．
本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
，
故选：．
根据相似三角形的性质求得函数的解析式，即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，正比例函数的图象，正确地求得函数的解析式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
为的中点，
，
．
故选：．
利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边上的中线的性质解决问题即可．
本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，是斜边上的中线，
，
，
，
．
故选：．
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，确定为等腰三角形，已知，然后利用直角为度，可以求出的度数．
考查直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形的性质，能灵活运用．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
将其绕点逆时针旋转得到，
．
故选：．
首先利用直角三角形的性质求出，然后利用旋转的性质可以求出的度数．
本题考查了旋转的性质，也利用了直角三角形的性质，题目比较简单．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，延长于点，

网格是由个形状相同，大小相等的菱形组成，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
故选：．
延长于点，根据菱形的性质可得：是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，进而可得，进而可得的值．
本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、锐角三角函数，熟练掌握相关理论是解答关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，，
故选：．
根据余弦的定义解答即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故选：．
首先利用勾股定理计算出的长，再根据正切定义可计算出答案．
此题主要考查了勾股定理，以及正切定义，关键是掌握正切：锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查等腰梯形的性质和坡度问题；注意坡度垂直距离：水平距离，梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形．利用相应的性质求解即可．
【解答】
解：如图：由题意可得：，，

腰的坡度为：，
，
，
，
四边形是等腰梯形，
，，
，，
，
在和中，

≌，
，
．
故选A．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查解直角三角形的应用，学生对坡度坡角的运用及多方案的选择能力．
利用所给角的正弦值求出每个小朋友放的风筝高度，比较即可．
【解答】
解：甲放的高度为：米；
乙放的高度为：米；
丙放的高度为：米
所以乙的最高．
故选D．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对直角三角形的坡度坡角及三角函数的运用熟记特殊三角函数值，利用的余弦，结合图形可得，将的值代入即可求出．
【解答】
解：，， 
，

故选

13.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，
，
∽，，
∽，
，
即：，
解得．
故答案为：．
易得∽，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比可得与间的距离．
考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形对应边的比等于对应高的比．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
在中，点是的中点，
，
同理可得：，
由勾股定理得：，
故答案为：．
根据直角三角形的性质分别求出、，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质，根据直角三角形的性质分别求出、是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值和三角形内角和定理求解即可．
【解答】
解：，，且为锐角，
，，
则，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
．
故答案为：．
根据三角函数的定义即可得到．
本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若，则，熟知相关定义是解题关键．
 

17.【答案】解：延长交的延长线于点，过点作于点，
米，，
，
同一时刻物高与影长成正比，
，解得，
，
，，
∽，
，即
米．
答：旗杆的高度约为米． 

【解析】延长交的延长线于点，过点作于点，根据勾股定理求出的长，再由同一时刻物高与影长成正比得出的长，根据可知∽，由相似三角形的对应边成比例即可得出的长．
本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：过点作于点，交于点．
由题意可得，四边形、是矩形．
，，．
．
依题意知：，
，
，，
即．
答：大楼的高度为． 

【解析】过点作于点，交于点，证得，利用相似三角形的对应边的比相等列式求解即可．
考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确的作出辅助线构造相似三角形，难度不大．
 

19.【答案】解：如图，为所作；

证明：，平分，
为的中线，
即，
点是边上的中点，
为的中位线，
． 

【解析】利用基本作图作出的平分线即可；
先根据等腰三角形的性质得到，则可判断为的中位线，然后根据三角形中位线定理得到结论．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和三角形中位线定理．
 

20.【答案】证明：，点为边的中点，
，
绕点顺时针方向旋转，得到，
，，，
，，
即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】先根据斜边上的中线性质得到，再根据旋转的性质得到，，，则，，然后证明≌，从而得到结论．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质．
 

21.【答案】证明：是斜边上的中线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
解：如图，连接，

四边形是菱形，
，，，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，． 

【解析】由直角三角形的性质可得，先证四边形是平行四边形，由菱形的判定可得结论；
先证是等边三角形，可得，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键．
 

22.【答案】解：


． 

【解析】首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

23.【答案】解：过点作于点．

则米，，，，
设米，则米，
在中，，
米，
米，
在中，
，
解得，
九龙鼎的高度约为米． 

【解析】过点作于点，则米，，，，设米，则米，在中，，则米，可得米，在中，，求解即可．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：过点作于点，过点作于点，如图所示：

则四边形是矩形，
，，
根据题意，米，，
米，
米，
米，
米，，
米，
米，
米，
菜园与果园之间的距离为米． 

【解析】过点作于点，过点作于点，可知四边形是矩形，根据题意，在中，根据和求出和的长，再在中，根据求出的长，进一步即可求出的长．
本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形运用三角函数是解题的关键．
 

25.【答案】解：连接，

，，
是等边三角形，
，
答：甲船与灯塔之间的距离是；
过作于，

由得，，，，
中，，
，
，
，
答：两艘货船之间的距离是． 

【解析】连接，由图可得，是等边三角形，进而可得的长度；
过作于，根据角的余弦求出，再根据勾股定理可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．