2023年高考数学一轮复习单元质检卷四三角函数解三角形含解析新人教A版理

单元质检卷四　三角函数、解三角形

(时间:120分钟　满分:140分)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.(2021山东威海模拟)已知一个等腰三角形是黄金三角形,其底与腰的长度的比值为黄金比值(即黄金分割值,该值恰好等于2sin 18°),则sin 100°cos 26°+cos 100°sin 26°=(　　)

A.- B.

C.- D.

2.(2021全国乙,文6)cos2-cos2=(　　)

A. B. C. D.

3.(2021山东青岛一模)已知角θ终边上有一点Ptanπ,2sin-π,则cosθ的值为(　　)

A. B.- C.- D.

4.(2021湖北黄冈中学高三月考)在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c=(　　)

A. B. C.6 D.5

5.(2021四川眉山三诊)已知函数f(x)=sin4x-,若将f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,且函数g(x)的图象关于y轴对称,则φ的最小值是(　　)

A. B. C. D.

6.(2021全国甲,理9)若α∈,tan 2α=,则tan α=(　　)

A. B. C. D.

7.(2021山东莱州一中高三月考)若函数y=cosωx(ω>0)的图象在区间-上只有一个对称中心,则ω的取值范围为(　　)

A.(1,2] B.[1,2) C.(1,3] D.[1,3)

8.(2021湖南长沙模拟)如图,A,B,C是半径为1的圆周上的点,且∠BAC=,AB+AC=,则图中阴影区域的面积为(　　)

A. B.

C. D.

9.(2021江西南昌一模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,cos C=,a2+b2=68,则△ABC的面积为(　　)

A.2 B. C.4 D.2

10.(2021四川德阳三诊)设函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<的图象关于直线x=对称,它的最小正周期是π,则下列说法正确的个数为(　　)

①将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y=2sin ωx的图象;②f(x)的图象过点(0,1);③f(x)的图象的一个对称中心是,0;④f(x)在上单调递减.

A.1 B.2 C.3 D.4

11.(2021广西南宁二中高三月考)如图所示,在四边形ABCD中,AC=AD=CD=7,∠ABC=120°,sin ∠BAC=,则BD=(　　)

A.6 B.9 C.7 D.8

12.(2021安徽合肥一中高三月考)函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则下列说法错误的是(　　)

A.函数f(x)的图象可由y=Acos(ωx)的图象向右平移个单位长度得到

B.函数f(x)在区间-上是单调递增的

C.函数f(x)在区间-,0上的值域为[-2,]

D.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(2021江苏南通模拟)已知角α的终边经过点(-3,4),则cos+α的值是　　　　　　. 

14.(2021河北唐山模拟)若<α<2π,化简=　　　　. 

15.(2021陕西西北工大附中高三月考)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标保持不变)得到g(x)=sin的图象,则f(x)的解析式为　　　　　. 

16.(2021山东滨州二模)最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题,故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图,树顶A离地面a米,树上另一点B离地面b米,在离地面c(c<b)米的C处看此树,离此树的水平距离为　　　　　　米时看A,B的视角最大. 

三、解答题:共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(15分)(2021山东济南二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC恰好满足下列四个条件中的三个:①cosA=;②cosB=-;③a=;④b=1.

(1)请指出这三个条件;

(2)求边c.

18.(15分)(2021山西太原三模)如图,A,B,C为山脚两侧共线的三点,在山顶P处测得这三点的俯角分别为α=30°,β=45°,γ=30°,现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE,经测量AD=100 m,BE=33 m,BC=100 m.

(1)求PB的长;

(2)求隧道DE的长.(精确到1 m)

附:≈1.414;≈1.732.

19.(15分)(2021安徽池州一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的函数解析式;

(2)在△ABC中,角A为三角形内角且f(A)=1,AD是△BAC的角平分线,AB=1,AC=3,求AD的长度.

20.(15分)(2021北京海淀模拟)在四边形ABCD中,∠ABD=30°,∠BCD=120°.

(1)从下列三个等式中再选择两个作为条件,剩余的一个作为结论,要求构成一个真命题,并给出证明;

①AB+AD=6;②BD=AD;③AB=4sin∠ADB.

备选:从上述三个等式中再选择两个作为条件,剩余的一个作为结论,构成一个命题,判断该命题的真假并给出证明;

(2)在(1)中真命题的条件下,求△BCD周长的最大值;

(3)在(1)中真命题的条件下,连接AC,求△ABC面积的最大值.

答案：

1.D　解析:由已知可得2sin18°=,故sin18°=,

则sin100°cos26°+cos100°sin26°=sin126°=sin(36°+90°)=cos36°

=1-2sin218°=1-2×2=

2.D　解析:原式=cos2-cos2=cos2-sin2=cos

3.D　解析:因为tan=tanπ+=tan,

sin-=sin-2π-π+=sin-π+=-sinπ-=-sin=-,

即2sin-=-1,所以P(,-1).

所以cosθ=

4.B　解析:因为sinA=6sinB,由正弦定理可得a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1.

因为C=60°,所以c2=a2+b2-2abcosC,即c2=62+12-2×1×6=31,解得c=

5.B　解析:函数f(x)=sin4x-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sin2x-,

再向右平移φ个单位长度,得到函数g(x)=sin2(x-φ)-=sin2x-2φ-.

由g(x)的图象关于y轴对称,故-2φ-+kπ,k∈Z,即φ=-,k∈Z,

又φ>0,所以当k=-1时,φ=-

6.A　解析:由题意,因为,所以cosα>0,所以,解得sinα=,则cosα=,所以tanα=

7.A　解析:∵y=cosωx(ω>0)在区间-上只有一个对称中心,

∴cosωx=0在该区间只有一个零点,又ωx∈-,

1<ω≤2.

8.A　解析:如图所示,

设圆心为O,连接OA,OB,OC,BC,因为∠BAC=,所以∠BOC=,

所以∠OBC=∠OCB=,BC=

在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos=(AC+AB)2-3AC·AB,

因为AB+AC=,所以AC·AB=1,

所以S△ABC=AC·ABsin,S△OBC=OB·OCsin,

扇形OBC的面积为S=12=,

所以图中阴影区域的面积为S=S△ABC+S扇形OBC-S△OBC=

9.B　解析:由,可得,即,

所以=a,即c=ab.

又a2+b2=68,cosC=,所以c2=a2+b2-2abcosC=68-2c,

即2c2+c-136=0,解得c=8或c=-(舍去),所以ab=8.

又C为三角形内角,故sinC=,

所以△ABC的面积为S△ABC=absinC=

10.B　解析:由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为π,可得=π,所以ω=2.

因为图象关于直线x=对称,所以2+φ=+kπ,k∈Z,

所以φ=-+kπ,k∈Z,又-<φ<,所以φ=,

所以f(x)=2sin2x+.

对于①,将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=2sin2x-+=2sin2x-的图象,

所以①错误;

对于②,f(0)=2sin=1,所以f(x)的图象过点(0,1),所以②正确;

对于③,f=2sin=0,所以,0是f(x)的图象的一个对称中心,所以③正确;

对于④,当x∈,可得2x+,所以f(x)在上先增后减,所以④不正确.

11.D　解析:由正弦定理,得,所以,所以BC=5.

由AC=AD=CD=7,可得∠ADC=60°,又∠ABC=120°,

所以A,B,C,D四点共圆,∠DBC=∠DAC=60°,

由余弦定理,得cos∠DBC=,所以BD=8.

12.D　解析:根据图象可得A=2,f(0)=,所以2cosφ=,故φ=±结合图象可得φ=-,又ω,所以ω=2,所以函数的解析:式为y=2cos2x-.

对于A,f(x)=2cos2x-=2cos2x-,故可由y=2cos(2x)的图象向右平移个单位长度得到f(x)的图象,故A正确;

对于B,f(x)的单调递增区间为-+kπ,+kπ(k∈Z),故-是它的一个单调递增区间,而-⊆-,故B正确;

对于C,x∈-,0,所以2x--,-,结合余弦函数的图象可得y∈[-2,],故C正确;

对于D,f=2cos=2cos=0,不是函数的最值,故直线x=不是函数f(x)图象的对称轴,故D错误.

13　解析:因为角α的终边经过点(-3,4),所以sinα=,

所以cos+α=sinα=

14.-　解析:

=

=

=,

=

=,

又<α<2π,=-

15.f(x)=sin2x-　解析:将g(x)=sin图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标保持不变),得到h(x)=sin2x+,再将h(x)的图象向右平移个单位长度得到f(x)=hx-=sin2x-.

16.　解析:过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,如图所示,

则BD=b-c,AD=a-c,

设∠BCD=α,∠ACB=β,CD=x,

在△BCD中,tanα=,

在△ACD中,tan(α+β)=,

所以tanβ=tan[(α+β)-α]=,

当且仅当x=,即x=时等号成立,

所以tanβ取最大值时,∠ACB=β最大,

所以当离此树的水平距离为米时看A,B的视角最大.

17.解:(1)由①知A=,由②知B=,根据三角形内角和定理可知①②不能同时选,再由③④知a>b,

所以A>B,故只能选①不能选②,所以选①③④.

(2)(方法1)因为cosA=,所以A=

又因为,且a=,b=1,

所以sinB=,所以B=,所以C=,所以c==2.

(方法2)因为a2=b2+c2-2bccosA,且cosA=,a=,b=1,

所以c2-c-2=0,所以c=2.

18.解:(1)由题意,β=45°,γ=30°,所以∠BCP=30°,

∠BPC=15°,又BC=100,

所以,即,

得PB=50()≈193m.

(2)因为α=30°,β=45°,所以A=30°,∠APB=105°,

所以,即,

得AB==25(8+4)≈373m,

所以DE=AB-AD-BE=373-100-33=240m.

19.解:(1)由图可知A=2,,即T=π,根据T=,得ω=2,

由f=2得2+φ=+2kπ,k∈Z,又因为|φ|<,所以φ=

所以函数f(x)的解析:式为f(x)=2sin2x+.

(2)由f(A)=1可得A=,

因为AD为∠BAC的角平分线,所以∠BAD=∠DAC=

又因为S△ABC=S△ABD+S△ACD,

即AB·AC·sin∠BAC=AB·AD·sin∠BAD+AC·AD·sin∠CAD,

将AB=1,AC=3代入可得AD=

20.解:(1)①②⇒③为假命题,证明如下:

在△ABD中,∵BD=AD,∠ABD=30°,由正弦定理,知sinA=sin∠ABD=,

∵0°<A<180°,∴∠A=60°或∠A=120°.

当∠A=60°时,∠ADB=90°,

∴AB=2AD,

又AB+AD=6,∴AB=4,AD=2,此时sin∠ADB=1,

∴AB=4sin∠ADB成立.

当∠A=120°时,∠ABD=∠ADB=30°,∴AB=AD.

又AB+AD=6,∴AB=AD=3,此时sin∠ADB=,AB≠4sin∠ADB.

故①②⇒③为假命题.

②③⇒①为假命题,证明如下:

∵AB=4sin∠ADB,∠ABD=30°,由正弦定理,得,

∴AD=sin∠ABD=4=2,∴BD=AD=2

,∴sinA=

∵0°<A<180°,∴∠A=60°或∠A=120°.

当∠A=60°时,∠ADB=90°,此时AB=4,∴AB+AD=6.

当∠A=120°时,∠ADB=30°,此时AB=AD=2,∴AB+AD≠6.

故②③⇒①为假命题.

①③⇒②为真命题,证明如下:

由正弦定理,得,

∴AD=sin∠ABD=4=2.

∵AB+AD=6,∴AB=4,

∴sin∠ADB=1,∴∠ADB=90°,

∴BD=AB·cos30°=2AD,证毕.

(2)由(1)知,△ABD为直角三角形,且AB=4,BD=2,AD=2,

在△BCD中,由余弦定理,得cos∠BCD=,即-,

整理得(BC+CD)2=BC·CD+12≤2+12,

(BC+CD)2≤12,∴BC+CD的最大值为4,当且仅当BC=CD=2时,等号成立.

∴△BCD的周长最大值为4+2

(3)由(1)知BD=2,AB=4,∠ABD=30°.

设BC=m,m∈(0,2),∠DBC=α,0°<α<60°.

在△BCD中,,即,

可得m=4sin(60°-α),

∴△ABC的面积S=AB·BC·sin∠ABC=4msin(30°+α)=4×4sin(60°-α)·sin(30°+α)=8sin(60°-α)·cos(60°-α)

=4sin(120°-2α).

∵0°<α<60°,∴0°<120°-2α<120°.

∴当120°-2α=90°,即α=15°时,△ABC的面积取得最大值4.